30.4 Functies in ruimere zin >

Hoofdstukken > Functies

We hebben ons tot nu toe beperkt tot functies met reële getallen als invoer en uitvoer. In het vervolg van deze paragraaf bekijken we functies waarbij de invoer en uitvoer ook andere dingen kunnen zijn.

Functies bij familierelaties

We werken met de verzameling mensen die leven of ooit geleefd hebben.
$V$ is de functie die aan een mens zijn/haar vader toevoegt.
Dus: $x \to [V] \to v a d e r v a n x$ .
$M$ is de functie die aan een mens zijn/haar moeder toevoegt.
Dus: $x \to [M] \to m o e d e r v a n x$ .
Merk op dat een mens maar een vader en een moeder heeft; dus zijn $V$ en $M$ inderdaad functies.

Waarom kunnen we niet spreken van de functie die aan een mens zijn/haar grootvader toevoegt?

Door met $V$ en $M$ kettingen te maken, krijg je nieuwe functies die aan mensen mensen toevoegen.

Beschrijf in woorden wat de volgende kettingen doen:
$V \to M$ ,
$M \to V$ ,
$V \to V \to V$ .

Het probleem van de twee grootvaders en twee grootmoeders bestaat niet in het Deens. Daar is:

mormor = de moeder van de moeder
morfa = de moeder van de vader
famor = de vader van de moeder
fafa = de vader van de vader

Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 - 1859

Het woord "functio" wordt voor het eerst gebruikt door G.W. Leibniz in 1673 en is afgeleid van het Latijnse werkwoord fungor, wat betekent "ik voer een taak uit". Een functie "doet" dus iets (bijvoorbeeld " $5$ erbij optellen" of "het omgekeerde nemen").
In 1718 definieert de Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli een functie als "een variabele grootheid die is samengesteld uit andere grootheden en constanten".
In 1755 geeft L. Euler een heel andere richting aan het begrip functie: "Als een hoeveelheid zo afhangt van een andere hoeveelheid dat, als deze laatste verandert, de eerste mee verandert, dan is de eerste hoeveelheid een functie van de laatste."

De moderne, formele definitie van functie hebben we te danken aan Dirichlet (1805-1859): "Een functie van A naar B kan worden beschouwd als een "machientje" dat aan ieder element van A een uniek element van B toevoegt."

Verwisselingen

We bekijken alle rijtjes van vier cijfers. Bijvoorbeeld: $0117$ , $4444$ , $9876$ .

Hoeveel van die rijtjes zijn er?

We bekijken drie functies waarbij zowel de invoer als uitvoer rijtjes van vier cijfers zijn.

De functie $F$ keert de volgorde om.
Bijvoorbeeld: $9876 \to [F] \to 6789$ .
De functie $G$ verwisselt de middelste twee cijfers.
Bijvoorbeeld: $9876 \to [G] \to 9786$ .
De functie $H$ zet het laatste cijfer vooraan.
Bijvoorbeeld: $9876 \to [H] \to 6987$ .

Omschrijf de volgende kettingen in woorden:
$H \to H \to H$ ,
$F \to F$ ,
$F \to G \to F$ .

Nu omgekeerd. Door handig twee of meer van de functies $F$ , $G$ en $H$ te combineren, kun je de drie kettingen in de vragen c, d en e maken. Pas op: het zijn best lastige puzzels. Er zijn meerdere goede antwoorden mogelijk.

Welke ketting verwisselt het voorste en achterste cijfer (en laat de andere twee op hun plaats)?

Welke ketting verwisselt het voorste twee cijfers (en laat de achterste twee op hun plaats)?

Welke ketting verwisselt het eerste en het derde cijfer en ook het tweede en het vierde cijfer?

Meetkundige functies

In het midden van het plaatje hiernaast zie je een cirkel. De tekening buiten die cirkel ziet er op het eerste gezicht vreemd uit. Het is een zogenaamde anamorfose. Om te zien wat het plaatje voorstelt, moet je het "binnenstebuiten keren". Dat doe je door een kegelvormige spiegel op de cirkel te plaatsen. Binnen de cirkel zie je dan het normale plaatje. Een anamorfose is dus een met opzet vervormd plaatje: je moet er iets mee doen om de voorstelling normaal te zien. Anamorfosen waren vooral populair in de achttiende eeuw. Grieks: ana = opnieuw, terug; morphè = vorm, gedaante.
Zie bijvoorbeeld Anamorfosen of Wat zijn anamorfosen.
Zie ook de illustratie aan het eind van deze paragraaf.

We gaan een andere manier van binnenstebuiten keren bekijken. Als "spiegel" nemen we een cirkel met straal $3$ cm. Het middelpunt noemen we $M$ .

Op de horizontale raaklijn aan de cirkel zijn de punten $A$ t/m $F$ aangegeven. We gaan deze zes punten spiegelen in de cirkel. Voor $A$ en $B$ is dat al gedaan: $A'$ en $B'$ zijn de spiegelbeelden.
Het spiegelbeeld $A'$ van punt $A$ vind je als volgt:

meet de afstand van $A$ tot $M$ : $6$ cm;
bereken $\frac{9}{afstand A M}$ , in dit geval $\frac{9}{6} = 1,5$ ;
teken punt $A'$ op lijnstuk $A M$ op deze berekende afstand van $M$ , dus $A'$ ligt op $1,5$ cm van $M$ .

Algemeen: afstand $X' M = \frac{9}{afstand X M}$ .

Ga door meting na dat punt $B'$ goed getekend is.

Teken op het werkblad de spiegelbeelden van $C$ , $D$ , $E$ en $F$ .

De punten $A'$ t/m $F'$ liggen op een cirkel.

Teken die cirkel.

We gaan nu binnenstebuiten keren met een rechte lijn als spiegel. De lijn $m$ is evenwijdig aan de spiegel, op afstand $3$ cm ervan.

Van punt $P M$ is het spiegelbeeld $P'$ al getekend.
$P'$ vind je als volgt: meet de afstand van $P$ tot $m$ : $6$ cm. Dan ligt $P'$ op de loodlijn vanuit $P$ op $m$ , op afstand $\frac{9}{6}$ cm van $m$ .
Algemeen: afstand van $P'$ tot $m = \frac{9}{afstand van P tot de spiegel}$ .

Teken op het werkblad van nog enkele hoekpunten het spiegelbeeld. Teken daarna de hele beeldfiguur van het mannetje.

Het binnenstebuiten keren is een functie die aan een punt in het platte vlak een ander punt toevoegt. Deze functie heet inversie (in een cirkel of in een lijn).

Gegeven is een lijn $k$ in het platte vlak. We bekijken een "lachspiegeleffect": elk punt wordt $3$ keer zo ver van de lijn $k$ afgelegd. Daardoor wordt een figuur in één richting opgerekt. Van punt $P$ is het beeldpunt $P'$ al getekend.

Teken op het werkblad de beeldfiguur van de letter W, van de cirkel (dat is een ellips), en van beide vierkanten.

Wat voor soort bijzondere vierhoeken zijn de beeldfiguren van de vierkanten?

De figuren zijn in één richting $3$ keer zo lang gemaakt. We noemen deze functie: de lijnvermenigvuldiging met factor $3$ ten opzichte van lijn $k$ .

$T$ is de translatie (verschuiving) " $3$ naar rechts, $2$ omhoog". De pijl geeft deze translatie aan. $R$ is de rotatie (draaiing) om het draaipunt, $90 °$ tegen de klokrichting in. De boog geeft deze draaiing aan.

We bekijken de ketting $R \to T$ . In het rooster zie je hoe je het beeldpunt $P'$ van $P$ vindt.

Pas op het werkblad de ketting $R \to T$ toe op de oker rechthoek. Kleur de beeldfiguur rood.

Pas op het werkblad de ketting $T \to R$ toe op de oker rechthoek. Kleur de beeldfiguur blauw.

Je ziet dat $R \to T$ en $T \to R$ verschillende functies zijn.

Beschrijf elk van de kettingen $T \to T$ en $R \to R$ in woorden.

We bekijken vier afbeeldingen:

De lijnvermenigvuldiging met factor $2$ ten opzichte van de $x$ -as.
De verschuiving " $2$ naar links, $4$ omhoog".
De spiegeling in de lijn $x = y$ .
De draaiing om $(0,0)$ over $90 °$ tegen de klokrichting in.

Van een punt $P$ is het beeldpunt $P'$ steeds aangegeven.

Zeg voor elk van de vier functies wat de coördinaten van $P'$ zijn, als $P (3,2)$ .

Zeg voor elk van de vier functies wat de coördinaten van $P'$ zijn, als $P (x, y)$ .

Een meetkundige functie koppelt aan punten weer punten. We kunnen een meetkundige functie beschrijven door te zeggen wat er met elk punt gebeurt.

De invoer wordt wel origineel genoemd, de uitvoer beeld. Een meetkundige functie heet ook wel afbeelding.