Absolute waarde

$x \to [ABS] \to | x |$

Welke uitvoeren geeft deze functie bij de volgende invoeren: $‐ 5$ , $π$ , $‐ \sqrt{7}$ , ?

Bij welke invoeren geeft deze functie $4 \frac{1}{2}$ als uitvoer?

Welke uitvoer geeft deze functie bij invoer $3 - π$ ?
Kies uit $3 - π$ en $π - 3$ .

Welke uitvoer geeft deze functie bij invoer $\sqrt{2} - 1,4$ ?
Kies uit $\sqrt{2} - 1,4$ en $1,4 - \sqrt{2}$ .

Welke uitvoer geeft deze functie bij invoer $\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$ ?
Kies uit $\frac{1}{6} - \frac{1}{5}$ en $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ .

Welke uitvoer geeft deze functie bij invoer ${(‐ 1,1)}^{7}$ ?
Kies uit ${(‐ 1,1)}^{7}$ en ${(1,1)}^{7}$ .

Beschrijf de functie $[ABS]$ met formules; onderscheid twee gevallen.

Teken in één figuur de grafieken van de volgende kettingen:
$[ABS] \to [MIN 2]$ en $[MIN 2] \to [ABS]$
Maak tabellen op klad.

Ook van de kettingen:
$[ABS] \to [MAAL \frac{1}{2}]$ en $[MAAL \frac{1}{2}] \to [ABS]$

Ook van de kettingen:
$[ABS] \to [TEGEN] \to [MIN 1]$ en $[ABS] \to [MIN 1] \to [TEGEN]$

Van de eerste ketting, dat is $[ABS] \to [MIN 2]$ , kan de uitvoer $y$ alle waarden aannemen die groter dan of gelijk aan $‐ 2$ zijn, en geen andere. Kortweg: $y \geq ‐ 2$ .

Noteer zo ook voor de andere vijf kettingen welke waarden de uitvoer kan aannemen.

Even de notatie met $| |$ oefenen:

Wat is $| ‐ 3,5 |$ , $| 0 |$ en $|$ $|$ ?

Vul in:
$| ... | = \frac{1}{2}$ en ook $| ... | = \frac{1}{2}$ ?

Voor welke getallen $x$ geldt:
$| x | = 2$ ?
$| x | = 0$ ?
$| x | = ‐ 2$ ?

Voor welke getallen $x$ geldt:
$| x - 7 | = 2$ ?
$| x - 7 | = 0$ ?
$| x - 7 | = ‐ 2$ ?

Geef voor elk van de zes kettingen van de vorige opgave een formule: $y$ uitgedrukt in $x$ .

$A$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt: $| x | \leq 3$ ,
$B$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt: $1 < | x |$ ,
$C$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt: $1 < | x | \leq 3$ .

Kleur de plaatjes van $A$ , $B$ en $C$ op de getallenlijn; gebruik open en dichte rondjes.

Beschrijf deze verzamelingen zonder absolute-waardestrepen; gebruik zonodig "en" en "of".

$D$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt: $1 \leq x^{2} < 4$ .

Kleur het plaatje van $D$ op de getallenlijn.

Beschrijf $D$ zonder kwadraat, maar met absolute-waardestrepen.

Op een dag is het temperatuurverschil tussen Amsterdam en Brussel $5 ° C$ .
In Amsterdam wijst de thermometer $26 ° C$ aan.

Wat kan de temperatuur in Brussel zijn?

Om het verschil tussen twee temperaturen aan te geven, trekt men de laagste van de hoogste af. Het verschil is dus altijd positief of nul.

Neem de tabel over en vul hem verder in:

De temperatuur in Amsterdan noemen we $a$ , die in Brussel $b$ en het temperatuurverschil tussen Amsterdam en Brussel $v$ (alle drie in $° C$ ).

Neem over en vul in:
als $a > b$ is het temperatuurverschil ... ,
als $a < b$ is het temperatuurverschil ... ,
als $a = b$ is het temperatuurverschil ... .

Met behulp van absolute-waardestrepen kun je dit in één keer opschrijven:

Neem over en vul in:
voor alle waarden van $a$ en $b$ is het temperatuurverschil ... .

De afstand van de getallen $‐2$ en $3$ op de getallenlijn is $5$ .

Wat is de afstand op de getallenlijn van de getallen $4$ en $‐3$ ? En van $‐3$ en $‐1$ ?

$a$ en $b$ zijn twee getallen. Hun afstand op de getallenlijn vind je door het kleinste getal van het grootste af te trekken. De afstand is dus altijd positief of nul.

Neem over en vul in:
als $a > b$ is hun afstand ... ,
als $a < b$ is hun afstand ... ,
als $a = b$ is hun afstand ... .

Neem over en vul in, mét absolute-waardestrepen:

voor alle getallen $a$ en $b$ is hun afstand ... .

$E$ is de verzameling getallen $x$ die op afstand groter dan $2$ van het getal $1$ afliggen.

Kleur het plaatje van $E$ .

Beschrijf de verzameling $E$ met behulp van absolute-waardestrepen.

Twee auto’s rijden tussen $10.00$ en $10.12$ uur over Rijksweg A12 van Utrecht naar Arnhem, elk met een constante snelheid. Bekijk hun tijd-afstand-grafieken. $x$ is het aantal minuten over $10$ uur, $y$ is de afstand vanaf Oudenrijn in km. Voor beide grafieken is $y$ een functie van $x$ .

Geef formules van deze functies.

De onderlinge afstand (in km) van de auto’s noemen we $a$ . Ook $a$ is een functie van $x$ .

Wat is die onderlinge afstand op de volgende tijdstippen? Aflezen uit de grafieken.

$x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$a$

Teken de grafiek van de onderlinge afstand.

Geef een formule van $a$ als functie van $x$ ; onderscheid twee gevallen.

Je kunt ook $a$ als functie van $x$ beschrijven met één formule; met absolute-waarde.

Welke formule is dat?

Teken de grafiek van de functie $y = x + | x |$ .
Maak een tabel op klad.

Ook van $y = \frac{| x |}{x}$ .
Neem voor $x$ ook getallen dicht bij $0$ , bijv. $\frac{1}{4}$ en $‐ \frac{1}{4}$ .

Welke waarden neemt $y$ aan bij deze functies?

Teken de grafieken van de volgende functies in één figuur. Gebruik kleuren. Maak eventueel tabellen op klad.
$y = | x |$
$y = | x - 2 |$
$y = | x | - | x - 2 |$

Welke waarden neemt $y$ aan bij deze functies?

Teken de grafieken van de volgende functies in één figuur. Gebruik kleuren. Maak eventueel tabellen op klad.
$y = x^{2} - 4$
$y = | x^{2} - 4 |$

Welke waarden neemt $y$ aan bij deze functies?

Teken de grafieken van de volgende functies in één figuur. Gebruik kleuren. Maak eventueel tabellen op klad.
$y = 3 - | x |$
$y = | 3 - | x ||$

Welke waarden neemt $y$ aan bij deze functies?

Als $| A | = 5$ , dan $A = 5$ of $A = ‐ 5$ .
Deze stap gebruiken we bij het oplossen van de volgende vergelijkingen.

Voorbeeld 1
Los op:
$| 3 x + 4 | = 5$

$3 x + 4 = 5$	of	$3 x + 4 = ‐ 5$
$3 x = 1$	of	$3 x = ‐ 9$
$x = \frac{1}{3}$	of	$x = ‐ 3$

Voorbeeld 2
Los op:
$| x^{2} - 11 | = 5$

$x^{2} - 11 = 5$	of	$x^{2} - 11 = ‐ 5$
$x^{2} = 16$	of	$x^{2} = 6$
$x = 4$ of $x = ‐ 4$	of	$x = \sqrt{6}$ of $x = ‐ \sqrt{6}$

Los op:

$| x^{2} - 2 | = 7$

$| 2 x - 7 | = 13$

$| x^{3} - 2 x | = 0$

$| x^{2} - 3 x + 1 | = 1$

$| x^{2} - 5 x | = ‐ 6$

$| x^{2} - 5 x | = 6$

De functie INT

Tot 01 januari 2015 kon je parkeergeld betalen met de chipknip. De automaat rekende met hele kwartieren. Eén kwartier kostte $50$ eurocent. De parkeertijd wordt dus naar boven afgerond op een geheel aantal kwartieren.

Hoeveel kostte $52$ minuten parkeren?

Welke parkeertijden kostten $€ 2,50$ ?

De parkeertijd noemen we $t$ (in kwartieren); de parkeerkosten noemen we $k$ (in euro’s).

Teken de grafiek van $k$ als functie van $t$ .

De grafiek verloopt “trapsgewijs”: als de parkeertijd $t$ toeneemt, kunnen de kosten $k$ eerst gelijk blijven, en dan ineens verspringen. Een paar seconden langer parkeren, kan dus $50$ eurocent meer kosten.
Dergelijke trapsgewijze grafieken komen wel vaker voor, met name bij tarieven.

Ken jij nog een paar voorbeelden?

Dat in de grafiek “trappen” zitten, komt doordat je moet afronden. Je moet de parkeertijd naar boven afronden op een geheel aantal kwartieren: zoveel keer $50$ -eurocent kost het.

Als je $3,68$ afrondt naar beneden op een geheel getal, krijg je $3$ . We zeggen ook wel: $3$ is het gehele deel van $3,68$ . En $0,68$ is de rest (het breukdeel) van $3,68$ .

De afrondfunctie die aan een getal zijn gehele deel koppelt, heet Integer (het Engelse woord voor geheel). Op een programmeerbare rekenmachine zit deze functie ook, meestal onder de naam Integer. De functie rondt consequent naar beneden af, ook bij negatieve getallen. Dus $‐ 3,14 \to [INT] \to ‐ 4$ .

Even oefenen: Wat is de uitvoer van INT bij de onderstaande acht invoeren?

$19,4$	$19$	$\sqrt{17}$	$π$
$‐19,4$	$‐19$	$‐ \sqrt{17}$	$-π$

Teken de grafiek van de functie $[INT]$ .

Bij elke $€ 7,50$ aan boodschappen krijg je bij een kruidenier een zegeltje.

Iemand doet voor $€ 23, -$ aan boodschappen.

Hoeveel zegeltjes krijgt hij?

Iemand krijgt vier zegeltjes.

Voor welke bedragen kan hij boodschappen gedaan hebben?

Noem het bedrag (in euro's) van de boodschappen $b$ en het aantal zegeltjes $z$ .
Dus: $b \to z$ .

Geef een ketting die $b$ omrekent in $z$ ; gebruik $[INT]$ .

15s

16s

Van $3,14$ is het gehele deel $3$ en de rest $0,14$ .

Laat $x$ een getal zijn tussen $3$ en $4$ . Wat is het gehele deel van $x$ en wat is de rest van $x$ (uitgedrukt in $x$ )?

We bekijken de functie: $getal \to de rest$ .

Hoe kun je met behulp van $INT (x)$ de rest van $x$ vinden?

Teken de grafiek van deze functie.

Welke waarden kan de rest van een getal aannemen?

Functies in de economie

Op een veiling worden tomaten verhandeld: tuinders bieden tomaten aan, winkeliers kopen ze op. Hoeveel tomaten de tuinders naar de veiling brengen (het aanbod), hangt af van de prijs die ze voor de tomaten ontvangen. De prijs bepaalt ook hoe groot de vraag is.

Welk effect zal een prijsverhoging hebben op het aanbod? En op de vraag?

$p$ is de prijs van een kg tomaten.
De aanbodfunctie voegt aan de prijs $p$ het aanbod $q_{1}$ toe (in honderden kg).
Dus: $p \to q_{1}$ .
De vraagfunctie voegt aan de prijs $p$ het aanbod $q_{2}$ toe (in honderden kg).
Dus: $p \to q_{2}$ .
Deze functies hangen in de praktijk af van allerlei factoren. Om economische verschijnselen beter te kunnen verklaren, wordt in de economie de werkelijkheid vereenvoudigd tot een model.
In het meest eenvoudige model gebruikt men lineaire functies, dus functies waarvan de grafiek een rechte lijn is.

We nemen als voorbeeld: $q_{1} = 2 p + 5$ en $q_{2} = ‐ 3 p + 30$ .

Teken de grafieken van deze functies in een figuur.

In normale omstandigheden is de tomatenmarkt in evenwicht. Vraag en aanbod zijn dan precies gelijk: er is geen tekort en ook geen overschot.

Bereken de evenwichtsprijs en de evenwichtshoeveelheid in ons voorbeeld.

Soms zijn de omstandigheden niet normaal. Zo kan de vraag ineens instorten. Veronderstel dat de vraag wordt: $q_{2} = ‐ 3 p + 15$ , terwijl het aanbod blijft: $q_{1} = 2 p + 5$ . De evenwichtsprijs is dan veel te laag voor de tuinders. De overheid stelt dan een minimumprijs vast, zeg $p = 3$ .

Hoe groot is het overschot aan tomaten, bij die prijs? (Dat is het aanbod min de vraag.)

In zo’n situatie wordt het overschot door de overheid uit de markt genomen (="doorgedraaid").

Soms kan het aanbod drastisch afnemen. Veronderstel dat de aanbodfunctie wordt: $q_{1} = 2 p - 4$ , terwijl de vraag blijft: $q_{2} = ‐ 3 p + 30$ . De evenwichtsprijs is dan onaanvaardbaar hoog voor de consument. De overheid stelt dan een maximumprijs vast, zeg $p = 6$ .

Hoe groot is het tekort aan tomaten bij die prijs? (Dat is de vraag min het aanbod.)

In zo’n situatie van schaarste worden de tomaten gedistribueerd (via een bonnensysteem).