bij een ... hoort maar één ...

Een auto rijdt van Utrecht naar Arnhem over Rijksweg A12. Om $10.20$ uur komt hij bij verkeersplein Oudenrijn op de rijksweg en verlaat deze weer om $11.00$ uur via afslag Arnhem. Hij heeft dan $60$ km op de A12 afgelegd. We nemen aan dat de auto met constante snelheid rijdt.

Hoeveel km legt de auto per minuut af?

Je kunt op elk moment uitrekenen hoeveel km de auto van Oudenrijn af is. Het aantal minuten over $10$ uur noemen we $t$ ; het aantal kilometer vanaf Oudenrijn noemen we $a$ .

Maak een tabel voor de waarden $t$ is $20$ , $30$ , $40$ , $50$ en $60$ en teken de grafiek.

$t$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$a$	...	...	...	...	...

Neem $t = 44$ . De berekening van de bijbehorende waarde van $a$ gaat in twee stappen. Eerst trek je een getal van $44$ af en dan vermenigvuldig je de uitkomst met een getal.

Schrijf die berekening op.

Om de tijd $t$ (het aantal minuten over $10$ uur) om te rekenen naar de afstand $a$ van Oudenrijn, pas jij twee machientjes toe.

Neem over en vul de juiste getallen in:
$t \to [MIN ...] \to [MAAL ...] \to a$ .

Je kunt ook een formule geven voor het verband waarbij $a$ wordt uitgedrukt in $t$ .

Geef die formule.

We gaan verder met de context van opgave 3.
Een motor rijdt dezelfde weg, met dezelfde snelheid, maar in tegengestelde richting. Om $10.00$ uur komt hij bij Arnhem op de A12 en hij verlaat hem bij Oudenrijn om $10.40$ uur. Je kunt berekenen hoeveel km $a$ de motor van Oudenrijn af is om $t$ minuten over $10$ uur.

Maak een tabel voor de motor en teken de grafiek in dezelfde figuur als bij de vorige opgave.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$
$a$	$60$	...	...	...	...

Er is een ketting van twee machientjes die voor de motor $t$ omrekent in $a$ .

Neem over en vul in:
$t \to [MAAL - 1,5] \to [PLUS ...] \to a$ .

Geef een formule voor het verband die voor de motor $a$ uitdrukt in $t$ .

Bereken hoe laat de auto van opgave 3 en de motor elkaar op de A12 ontmoeten. Los daartoe een vergelijking op. Controleer je antwoord in de grafiek.

Bij een tijdstip $t$ hoort nooit meer dan één afstand $a$ .
We noteren: $t \to a$ .
We zeggen dat $a$ een functie is van $t$ .

In Nederland moet men inkomstenbelasting betalen volgens een zogenaamd schijventarief: het percentage belasting hangt af van het inkomen.

Wij bekijken een sterk vereenvoudigd schijventarief. Het onderscheidt drie groepen inkomens.

Inkomens tot en met $20.000$ euro.
Over deze inkomens wordt geen belasting betaald.
Inkomens van $20.000$ tot en met $60.000$ euro.
De eerste $20.000$ zijn belastingvrij; over de rest wordt $20 %$ belasting betaald.
Inkomens boven $60.000$ euro.
Over de eerste $60.000$ euro wordt $8.000$ euro belasting betaald; over de rest wordt $60 %$ belasting betaald.

Bereken de inkomstenbelasting bij inkomens van $€ 30.000$ ,- en van $€ 65.000$ ,-.

Het inkomen noemen we $i$ en de te betalen inkomstenbelasting $b$ (beide in duizenden euro’s).

Maak een tabel en teken de grafiek.

Het is moeilijk een formule te geven voor $b$ , uitgedrukt in $i$ . Wel kunnen we voor elk van de drie inkomensgroepen apart een formule geven.

Doe dat.

De grafiek bestaat uit drie rechte stukken.

Wat is de richtingscoëfficiënt van elk van die stukken?

Volgens een ander fantasie-tarief moet iedereen $35 %$ betalen.

Welke formule beschrijft $b$ als functie van $i$ ?

Teken ook de grafiek van dit tarief in de figuur van onderdeel b.

Bereken bij welk inkomen volgens beide tarieven evenveel belasting moet worden betaald. Los daartoe een vergelijking op. Controleer je antwoord met de grafieken.

Bij een inkomen $i$ hoort nooit meer dan één bedrag aan belasting $b$ .
We noteren: $i \to b$ .
We zeggen dat $b$ een functie is van $i$ .

Een in Nederland minder bekend atletieknummer is het kogelslingeren: een kogel van ruim $7$ kg moet zo ver mogelijk weg geslingerd worden. De atleet probeert de kogel zo veel mogelijk snelheid mee te geven. Daarvoor zwaait hij de kogel eerst een paar keer rond en draait hij gelijktijdig om zijn as.

Een verdienstelijk amateur slingert de kogel. De baan die de kogel door de lucht beschrijft is een parabool. De hoogte van de kogel boven de grond noemen we $v$ (in meters), het aantal meters horizontaal $h$ . $v$ is een functie van $h$ .
Er geldt: $v = ‐ \frac{1}{50} {(h - 25)}^{2} + 12 \frac{1}{2}$ .

Wat is de grootste hoogte die de kogel bereikt?
Hoever is de kogel dan al onderweg (horizontaal gemeten)?

Schrijf de formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Bereken hoe ver hij de kogel geslingerd heeft.

Teken de baan die de kogel beschrijft in een assenstelsel.

Bereken bij welke waarden van $h$ de kogel $4 \frac{1}{2}$ meter boven de grond is.

Bij een horizontale afstand $h$ hoort nooit meer dan één (verticale) hoogte $v$ .
We noteren: $h \to v$ .
We zeggen dat $v$ een functie is van $h$ .

Kettingen van machientjes

Bekend zijn de volgende acht machientjes:

$PLUS 7$	$MIN 7$
$MAAL 7$	$DEEL DOOR 7$
$KWADRAAT$	$WORTEL$
$TEGEN$	$OMGEKEERDE$

De invoer van een machientje noemen we $x$ en de uitvoer $y$ . Bijvoorbeeld: $x \to [PLUS 7] \to y$ . Bij dit machientje hoort de formule: $y = x + 7$ .

Geef zo ook de formules bij de andere zeven machientjes.

Met deze machientjes kunnen we "kettingen" maken. Bijvoorbeeld:
$[PLUS 7] \to [KWADRAAT] \to [DEEL DOOR 7]$ .

Welke formule hoort bij deze ketting? Ofwel: druk de uitvoer $y$ uit in de invoer $x$ .

Maak zelf nog vier andere kettingen met de acht machientjes. Geef bij elke ketting de formule.

Bekijk de ketting: $x \to [TEGEN] \to [PLUS 4] \to y$ .

Welke formule drukt bij deze ketting de uitvoer $y$ uit in de invoer $x$ ?

Dezelfde vraag voor de ketting: $x \to [PLUS 4] \to [TEGEN] \to y$ .

De drie functies $[PLUS - 2]$ , $[MAAL \frac{1}{2}]$ en $[KWADRAAT]$ kun je op zes manieren na elkaar schakelen tot een ketting.

Schrijf die zes kettingen op.

Geef bij elke ketting de formule.

Schrijf korter als één machientje:

$[PLUS 1] \to [PLUS 2] \to [PLUS 3]$
$[MAAL 1] \to [MAAL 2] \to [MAAL 3]$
$[TEGEN] \to [TEGEN] \to [TEGEN]$
$[OMG] \to [OMG] \to [OMG]$

De volgende ketting kan worden geschreven met één MAAL-machientje, gevolgd door een PLUS-machientje:
$[PLUS 1] \to [MAAL 2] \to [PLUS 1] \to [MAAL 2] \to [PLUS 1] \to [MAAL 2]$

Welk MAAL-machientje en welk PLUS-machientje?

$x \to [OMGEKEERDE] \to [MAAL 4] \to y$

Geef een formule voor $y$ als functie van $x$ .

Maak een tabel op klad en teken de grafiek van deze functie.

Voor welke invoer $x$ is er geen uitvoer?

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

Schrijf deze functie als ketting van drie machientjes.

Maak een tabel op klad en teken de grafiek van deze functie.

Welke getallen kun je bij deze functie niet als invoer kiezen?

Stel een formule op voor $y$ , uitgedrukt in $x$ .

Schrijf deze functie als ketting van machientjes.

Bij een ketting van machientjes is de uitvoer $y$ een functie van de invoer $x$ . Dat wil zeggen: als je een invoer $x$ kiest, ligt de daarbij behorende uitvoer $y$ vast.
We noteren: $x \to y$ .
In de Intro heb je twaalf grafieken gezien. Zes daarvan waren voorbeelden van functies, de andere zes kunnen onmogelijk de grafiek van een functie zijn.

Je kunt een functie beschouwen als een machine. Daarin kun je getallen invoeren. In het inwendige van de machine gebeurt het een en ander. Daarna voert de machine een getal uit. De uitvoer hangt af van de invoer.

Bij een getal als invoer hoort nooit meer dan één getal als uitvoer.

De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Maar voorlopig is dat voor ons wel het geval. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bekijken we ook andere soorten functies.

We bekijken de functie $y = x^{2} + 4 x$ . Inderdaad hoort bij elke invoer $x$ maar één uitvoer $y$ .

Schrijf de formule in de topvorm: $y = {(x + ...)}^{2} - ...$ (kwadraatafsplitsen).

Wat voor soort grafiek heeft deze functie?

Wat zijn de coördinaten van de top?

Teken de grafiek.

Je kunt de functie ook zien als een ketting van drie machientjes.

Geef die ketting.

Bekijk de "röntgenfoto" van een functie.

Voor het gemak geven we die functie een naam: $F$ .

Kies verschillende getallen als invoer en bepaal daarbij de uitvoer. Schrijf de resultaten in een tabel.

Teken de grafiek van $F$ .

Het is niet eenvoudig $F$ met één formule te beschrijven. We moeten drie gevallen onderscheiden.

Beschrijf $F$ :

als $x \leq 0$ , dan $y = ...$
als $0 < x \leq 3$ , dan $y = ...$
als $3 < x$ , dan $y = ...$

Bekijk de "röntgenfoto" van de functie $G$ .

Maak een tabel voor $G$ ; neem $x$ tussen $‐5$ en $5$ .

Teken de grafiek van $G$ .

Beschrijf de functie $G$ met formules; onderscheid drie gevallen.

Bekijk de "röntgenfoto" van een nieuwe functie.

Maak een tabel bij deze functie en teken de grafiek.

Bij welke invoer is de uitvoer $7$ ?

Welke waarden kan de uitvoer hebben?

Deze functie heeft een eigen naam: ABSOLUTE WAARDE, afgekort ABS.
De uitvoer bij invoer $x$ noteren we als $| x |$ .
We noemen $| x |$ de absolute waarde van $x$ .
Dus: $x \to [ABS] \to | x |$ .
$| |$ heten de absolute-waardestrepen.