29.5 abc-formule >

Hoofdstukken > Parabolen en hyperbolen

Kwadraatafsplitsen

Werk de haakjes weg in de vorm: $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ .

In de vorm zonder haakjes kun je de top niet zo maar aflezen.

Schrijf de vorm $y = x^{2} + 4 x - 3$ in de vorm: $y = {(x + ...)}^{2} - ...$ .

(hint)

Splits het kwadraat af, zie vorig hoofdstuk.

We willen de top vinden van de parabool $y = 2 x^{2} + 8 x - 6$ .
Daarvoor moeten we kwadraatafsplitsen.

Neem over en vul de plekken met de puntjes in.

$y = 2 x^{2} + 8 x - 6$
$y = 2 (x^{2} + ......)$
$y = 2 ({(x ....)}^{2} - ...)$
$y = 2 {(x ....)}^{2} - ...$

Wat is dus de top van de parabool $y = 2 x^{2} + 8 x - 6$ ?

Zoek de top van de parabool $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 2$ .

Ga als volgt te werk:	$y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 2$
	$y = \frac{1}{2} (...........)$
	enz.

Wat is dus de top van de parabool $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 2$ ?

Zoek de top van de volgende vier parabolen.

$y = ‐ x^{2} + x$	$y = ‐ {(2 x + 4)}^{2} + 4$
$y = ‐ 2 x^{2} + 10 x + 1$	$y = (x + 3) (x - 7)$

abc-formule

In 28-Vierkantsvergelijkingen heb je gezien dat elke vierkantsvergelijking op te lossen is door kwadraatafsplitsen.
Op basis hiervan zullen we een formule afleiden waarmee je de oplossingen van de vierkantsvergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ , meteen op kunt schrijven.

Als je $a = 3$ , $b = 11$ en $c = 8$ neemt, krijg je de vergelijking $3 x^{2} + 11 x + 8 = 0$ . Die los je als volgt op.

$3 x^{2} + 11 x + 8 = 0$			DELEN DOOR 3
$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{8}{3} = 0$			SPLITS KWADRAAT AF
${(x + \frac{11}{2 \cdot 3})}^{2} - {(\frac{11}{2 \cdot 3})}^{2} + \frac{8}{3} = 0$			VERDER OPLOSSEN
$x + \frac{11}{2 \cdot 3} = \sqrt{{(\frac{11}{2 \cdot 3})}^{2} - \frac{8}{3}}$	of	$x + \frac{11}{2 \cdot 3} = ‐ \sqrt{{(\frac{11}{2 \cdot 3})}^{2} - \frac{8}{3}}$
$x = ‐ \frac{11}{2 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{11}{2 \cdot 3})}^{2} - \frac{8}{3}}$	of	$x = ‐ \frac{11}{2 \cdot 3} - \sqrt{{(\frac{11}{2 \cdot 3})}^{2} - \frac{8}{3}}$

Bereken de twee oplossingen van $3 x^{2} + 11 x + 8 = 0$ .
Schrijf je antwoorden zo eenvoudig mogelijk.

Neem nu $a = 5$ , $b = 9$ en $c = 2$ .

Hoe zien de oplossingen van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ er dan uit?
$x = ... + \sqrt{\begin{array}{l} ...... \end{array}}$ of $x = ... - \sqrt{\begin{array}{l} ...... \end{array}}$

Schrijf de antwoorden van opgave a zo eenvoudig mogelijk.

We nemen nu voor $a$ , $b$ en $c$ geen bekende getallen, maar blijven gewoon $a$ , $b$ en $c$ schrijven.

Hoe zien de oplossingen van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ er dan uit? Kijk goed naar het voorbeeld hierboven.
$x = ... + \sqrt{\begin{array}{l} ...... \end{array}}$ of $x = ... - \sqrt{\begin{array}{l} ...... \end{array}}$

Als je $a = 2$ , $b = ‐ 5$ en $c = ‐ 25$ neemt, dan wordt $a x^{2} + b x + c = 0$ de vergelijking: $2 x^{2} - 5 x - 25 = 0$ .

Vul deze getallen voor $a$ , $b$ en $c$ hieronder in:
$x = ‐ \frac{b}{2 a} + \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}$ of $x = ‐ \frac{b}{2 a} - \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}$
Welke twee getallen $x$ vind je?

Deze twee getallen zijn de oplossingen van de vergelijking $2 x^{2} - 5 x - 25 = 0$ .

Controleer dat maar door ze in te vullen.

Laat (met kwadraatafsplitsen) zien dat de vergelijking $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ geen oplossingen heeft.

Wat krijg je als je de bijbehorende getallen $a$ , $b$ en $c$ invult in: $\sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}}$ ?

In het voorbeeld hierboven was ${(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ negatief.
In zo’n geval heeft de vergelijking geen oplossingen.

We gaan het getal ${(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ wat beter bekijken:

${(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} =$		stap 1
$\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} =$		stap 2
$\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} =$		stap 3
$\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} =$

Schrijf op wat er bij elke stap gedaan is.

De teller van de laatste uitdrukking is $b^{2} - 4 a c$ .
Die schrijven we voortaan met de letter $D$ . De oplossingen van $a x^{2} + b x + c = 0$ zien er dan als volgt uit:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$

Leg uit dat $\sqrt{4 a^{2}} = 2 a$ als $a > 0$ en $\sqrt{4 a^{2}} = ‐ 2 a$ als $a < 0$ .

Waarom kun je de oplossingen van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ nu schrijven als:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$
Maak onderscheid tussen $a > 0$ en $a < 0$ .

Bereken $D$ als:
$a = 1$ , $b = 2$ en $c = 3$
$a = ‐ 1$ , $b = 3$ en $c = 2$
$a = 4$ , $b = 20$ en $c = 25$

Geef de oplossingen $x$ in deze drie gevallen.

Of de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van $D = b^{2} - 4 a c$ . We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)

De $a b c$ -formule (wortelformule)
De vierkantsvergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ heeft

geen oplossingen als $D < 0$
één oplossing als $D = 0$ , namelijk: $x = ‐ \frac{b}{2 a}$
twee oplossingen als $D > 0$ namelijk:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$

Een bewijs van de abc-formule

$a x^{2} + b x + c = 0$		MAAL $4 a$
$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$		kwadraatafsplitsen
${(2 a x + b)}^{2} - b^{2} + 4 a c = 0$		PLUS $b^{2}$ , MIN $4 a c$
${(2 a x + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c$
$2 a x + b = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$	of	$2 a x + b = ‐ \sqrt{b^{2} - 4 a c}$
$2 a x = ‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}$	of	$2 a x = ‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}$
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$	of	$x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Voorbeeld
$7 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
Deze vergelijking krijg je uit $a x^{2} + b x + c = 0$ door $a = 7$ , $b = ‐ 6$ en $c = 1$ in te vullen.
$D = {(‐ 6)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 36 - 28 = 8$ (dus de vergelijking heeft twee oplossingen)
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$
$x = \frac{‐ (‐ 6) + 2 \sqrt{2}}{14}$ of $x = \frac{‐ (‐ 6) - 2 \sqrt{2}}{14}$
$x = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \sqrt{2}$ of $x = \frac{3}{7} - \frac{1}{7} \sqrt{2}$

In de $a b c$ -formule komt $a$ in de noemer voor.
Dus $a$ mag niet 0 zijn in de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ . Als $a = 0$ , pas je de $a b c$ -formule natuurlijk ook niet toe.

Kun je de vergelijking dan toch oplossen?

Los de volgende vierkantsvergelijkingen op met de $a b c$ -formule. Kijk goed naar het voorbeeld.

$2 x {}^{2}- 3 x - 35 = 0$	$4 x = 1 + 4 x^{2}$
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$	${(x - 3)}^{2} = 5 - 3 x$
$7 x^{2} - 6 x + 2 = 0$	$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 4 \frac{1}{2} = 0$
$5 x - 3 x^{2} = 0$

Je hebt drie manieren geleerd om een kwadratische vergelijking op te lossen. Eerst herleid je de vergelijking op 0. Je kunt dan ontbinden, kwadraatafsplitsen of de $a b c$ -formule toepassen. Ontbinden lukt niet altijd. De andere twee manieren kun je bij elke kwadratische vergelijking toepassen. (Soms is op 0 herleiden niet handig.)

Los de volgende drie vergelijkingen op. Kies je eigen manier.

${(x + 3)}^{2} = 16$	$x^{2} + 6 x + 5 = 0$
${(x + 1)}^{2} = {(2 x + 3)}^{2}$

Raaklijn en raakpunt

Teken de parabool $y = x^{2}$ in een assenstelsel.

We bekijken de lijnen $m_{k}$ met vergelijking $y = x + k$ .
Als je $k = 0$ neemt, krijg je de lijn $m_{0}$ , dat is de lijn met vergelijking $y = x$ . Zo is $m_{‐ 1}$ de lijn met vergelijking $y = x - 1$ , enzovoort.

Teken de lijnen $m_{‐ 2}$ , $m_{‐ 1}$ , $m_{0}$ , $m_{1}$ en $m_{2}$ in het assenstelsel van vraag a.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m_{0}$ met de parabool.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m_{2}$ met de parabool.

Ga met een berekening na dat $m_{‐ 2}$ geen snijpunten met de parabool heeft. Gebruik de discriminant.

Alle lijnen $m_{k}$ zijn evenwijdig.

Hoe kun je dat aan de vergelijking van $m_{k}$ zien?

Als je $k$ groter maakt, schuift de lijn $m_{k}$ omhoog. Er is één getal $k$ waarvoor de lijn $m_{k}$ precies één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft. In het assenstelsel kun je zien dat dit getal tussen $‐1$ en 0 ligt.

Teken die lijn.

Om de $x$ -coördinaten te berekenen van de snijpunten van de parabool

met $m_{‐ 1}$ los je op: $x^{2} = x - 1$
met $m_{0}$ los je op: $x^{2} = x$
met $m_{1}$ los je op: $x^{2} = x + 1$

Bereken de discriminant $D$ van deze vergelijkingen.

Aan de discriminanten zie je dat $m_{‐ 2}$ en $m_{‐ 1}$ geen snijpunten met de parabool hebben en dat $m_{0}$ en $m_{1}$ twee snijpunten met de parabool hebben.

Als je de snijpunten van $m_{k}$ met de parabool wilt berekenen, bekijk je de vergelijking $x^{2} = x + k$ , dus $x^{2} - x - k = 0$ . De discriminant van deze vergelijking hangt van $k$ af.

Bereken die discriminant (de letter $k$ komt in je antwoord voor).

Voor welke waarde van $k$ heeft $m_{k}$ precies één punt gemeenschappelijk met de parabool?

Als je het goed gedaan hebt, vind je $k = ‐ \frac{1}{4}$ .
De vergelijking van de raaklijn is dus $y = x - \frac{1}{4}$ .

Bereken het gemeenschappelijke punt, het raakpunt, van de parabool met de lijn $y = x - \frac{1}{4}$ .

10s

11s

We bekijken de lijnen $m_{k}$ met vergelijking $y = k x$ .

Neem $k = 1$ , $k = 3$ en $k = ‐ 2$ en teken de bijbehorende lijnen in een assenstelsel.

Voor elke waarde van $k$ krijg je een lijn door de oorsprong.

Waarom?

Voor welke $k$ krijg je de $x$ -as?
En de lijn door $(‐ 2,5)$ ?

Eén lijn door de oorspong krijg je niet. Welke?

Teken de parabool $y = {(x - 1)}^{2}$ in het assenstelsel van vraag a.

Er zijn twee lijnen $m_{k}$ die de parabool raken.

Teken die lijnen zo goed mogelijk in het assenstelsel.

Om de snijpunten van $m_{k}$ met de parabool te vinden, moet je de vergelijking ${(x - 1)}^{2} = k x$ oplossen.

Laat zien dat die vergelijking geschreven kan worden als: $x^{2} - (2 + k) x + 1 = 0$ .

Bereken de discriminant van deze vergelijking.

Hoe kun je aan de discriminant zien dat $m_{1}$ twee snijpunten met de parabool heeft?

Welk getal moet je voor $k$ nemen om ervoor te zorgen dat $m_{k}$ precies één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft?

Geef de vergelijkingen van de twee raaklijnen aan de parabool.

Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn, hebben natuurlijk één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, spreken we van een raaklijn aan de parabool.
De lijn $y = x - \frac{1}{4}$ is een raaklijn aan de parabool $y = x^{2}$ .
Het raakpunt is $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ .

In het rooster is de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} + 1$ getekend. Ook zijn er twee raaklijnen getekend met vergelijking $y = a x + 3$ .

Stel een vergelijking op om de snijpunten te berekenen. In je antwoord komt de letter $a$ voor.

Bereken de discriminant. Ook hier komt de letter $a$ in voor.

Voor welke twee waarden van $a$ raakt de lijn de parabool?

Bereken de twee raakpunten.

Bekijk de vergelijking $x^{2} + k x + 4 = 0$ .

Neem $k = 5$ en los de vergelijking op.

Er zijn twee waarden van $k$ waarvoor de vergelijking precies één oplossing heeft.

Bereken deze waarden van $k$ .

Eén van de waarden die je gevonden hebt, is $k = 4$ .

Los de vergelijking op als $k = 4$ .

13s

14s

Voor welke waarden van $k$ heeft de lijn $y = ‐ x + k$ precies één punt gemeenschappelijk met de cirkel $x^{2} + y^{2} = 3$ ?

Bereken de twee raakpunten.

Gegeven een parabool met vergelijking $y = p x^{2} - 6 x - 1$ .

Voor welke waarde van $p$ heeft de parabool één snijpunt met de $x$ -as?

Gegeven een parabool met vergelijking $y = \frac{1}{2} x^{2} - p x + 2$ .

Voor welke waarden van $p$ heeft de parabool twee snijpunten met de $x$ -as?

Gegeven een parabool met vergelijking $y = 2 x^{2} + 4 x + p$ .

Voor welke waarden van $p$ heeft de parabool geen snijpunten met de $x$ -as?