29.3 Parabolen >

Hoofdstukken > Parabolen en hyperbolen

We bekijken de volgende vier vergelijkingen:
$y = x^{2}$ , $y = \frac{1}{10} x^{2}$ , $y = \frac{1}{2} x^{2}$ en $y = 2 x^{2}$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = x^{2}$
$y = \frac{1}{10} x^{2}$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$
$y = 2 x^{2}$

Teken de vier grafieken in één assenstelsel. Neem de assen van $‐7$ tot en met 7.

We bekijken nu de vergelijkingen:
$y = ‐ x^{2}$ , $y = ‐ \frac{1}{10} x^{2}$ , $y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$ en $y = ‐ 2 x^{2}$ .

Maak zelf een tabel en teken de grafieken bij deze vergelijkingen in het assenstelsel van vraag b.
Let op: het punt $(1, ‐ 1)$ ligt op de grafiek bij de vergelijking $y = ‐ x^{2}$ , want machtsverheffen gaat vóór tegengestelde nemen.

We hebben de grafieken getekend bij de vergelijkingen $y = c x^{2}$ , voor $c$ is $\frac{1}{10}$ , $\frac{1}{2}$ , $2$ , $1$ , $‐ \frac{1}{10}$ , $‐ \frac{1}{2}$ , $‐ 2$ en $‐ 1$ .

Schrijf bij elke grafiek de passende waarde van $c$ .

Zoals je ziet in jouw assenstelsel is de grafiek bij $c = \frac{1}{2}$ breder dan de grafiek bij $c = ‐ 2$ .

Links staat een schets van een dalparabool en rechts staat een schets van een bergparabool. De grafieken die je getekend hebt, zijn allemaal parabolen. We onderscheiden twee soorten: dalparabolen en bergparabolen.

Kun jij zeggen voor welke waarden van $c$ de grafiek bij $y = c x^{2}$ een dalparabool is en voor welke waarden van $c$ een bergparabool?

Wat is het verband tussen de grafieken bij tegengestelde waarden van $c$ ?

Hoe ziet de grafiek bij $y = c x^{2}$ er uit als $c = 0$ ?

De rol van c in de vergelijking y = cx²

Je ziet voor drie waarden van $c$ de parabolen met vergelijking $y = c x^{2}$ getekend. Op elke parabool is een roosterpunt $(x, y)$ aangegeven.

Bereken bij elke parabool de waarde van $c$ .

De grafiek bij het verband $y = c x^{2}$ is:
een dalparabool als $c > 0$ en een bergparabool als $c < 0$ .
Voor positieve $c$ geldt: hoe groter $c$ , hoe smaller de parabool.
Voor negatieve $c$ geldt: hoe kleiner $c$ (meer negatief ), hoe smaller de parabool.
Bij tegengestelde waarden van $c$ horen parabolen die elkaars spiegelbeeld in de $x$ -as zijn.
De top is $(0,0)$ .
De parabool met vergelijking $y = x^{2}$ noemen we de standaardparabool.

Opmerking:

Met de applet verander_c kun je goed zien hoe de grafiek van $y = c x^{2}$ verandert als je de waarde van $c$ verandert.

Een parabool met vergelijking $y = c x^{2}$ heeft op hoogte 4 breedte 10. Zie schets.

Bereken $c$ .

Je ziet een plaatje van de Müngstener Brücke over het riviertje de Wupper bij Solingen. De boog heeft de vorm van een parabool. Volgens wetten uit de natuurkunde garandeert deze vorm een gelijkmatige verdeling van de verticale druk.
De hoogte van de brug boven de Wupper is ongeveer 100 meter.

In het plaatje zijn $h$ en $x$ in meters aangegeven.
Als je 10 meter vanaf de top van de boog over de spoorlijn naar links loopt, is de hoogte van de boog daar 6,25 m lager dan de spoorlijn.

Geef een formule van het verband tussen $h$ en $x$ .

40 meter van het midden van de brug staan aan weerszijden twee pijlers.

Bereken de hoogte van de pijlers.

Vanaf de top zijn om de 10 meter verticale verbindingsstukken aangebracht.

Bereken de lengte van elk van die stukken.

Aan de voet is de boog 80 meter breed.

Op welke hoogte boven de Wupper is de breedte van de boog 70 meter?

De rol van a in de vergelijking y = (x – a)²

We bekijken figuren met vergelijking $y = {(x - a)}^{2}$ , voor verschillende waarden van $a$ . Als $a = 0$ , krijg je de vergelijking $y = x^{2}$ .

Neem je voor $a$ de waarde 1, dan krijg je de vergelijking $y = {(x - 1)}^{2}$ , enz.

Neem voor $a$ de waarden 0, 1, 2, $‐1$ en $‐2$ en teken in één assenstelsel alle vijf de grafieken.
Neem daarvoor onderstaande tabel over en vul hem verder in.

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = x^{2}$
$y = {(x - 1)}^{2}$

Zet bij elke grafiek de passende waarde van $a$ .

Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om de grafiek van $y = {(x - 1)}^{2}$ te krijgen?

Hoe ontstaat de grafiek van $y = {(x + 2)}^{2}$ uit de standaardparabool?

De rol van b in de vergelijking y = (x – a)² + b

We bekijken figuren met vergelijking $y = x^{2} + b$ , voor verschillende waarden van $b$ .

Neem voor $b$ de waarden 1, 2, $‐1$ en $‐2$ en teken in één assenstelsel alle vier de grafieken. Maak zelf eventueel een tabel.
Schrijf bij elke grafiek de passende waarde van $b$ .

We bekijken de vergelijking $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.
Het is gemakkelijk de tabel bij de vergelijking $y = {(x - 1)}^{2}$ erbij te houden.

$x$	$‐3$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = {(x - 1)}^{2}$	16	9	4	1	0	1	4
$y = {(x - 1)}^{2} - 2$

Teken de grafieken bij de vergelijkingen $y = x^{2}$ , $y = {(x - 1)}^{2}$ en $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ in één assenstelsel.

De grafiek van $y = {(x - 1)}^{2}$ krijg je door de standaardparabool één eenheid naar rechts te schuiven.
Vervolgens moet je die twee eenheden naar beneden schuiven om de grafiek van $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ te krijgen.

We bekijken de vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.
Teken de drie grafieken in één assenstelsel.

$x$	$‐2$	$‐1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$	$‐2$	$‐ \frac{1}{2}$	$0$	$‐ \frac{1}{2}$	$‐2$	$‐ 4 \frac{1}{2}$	$‐8$
$y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$
$y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$

Wat moet er hieronder op de open plaatsen staan?
De grafiek van de vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$ krijg je door de grafiek van $y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$ ... eenheden naar ... te schuiven.
De grafiek van de vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$ krijg je door de grafiek van $y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$ ... eenheden naar ... te schuiven.

Bij de volgende drie vergelijkingen:
$y = 2 x^{2}$ , $y = 2 {(x + 3)}^{2}$ en $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 4$ horen drie grafieken.

Hoe moet je de grafiek van $y = 2 x^{2}$ verschuiven om die van $y = 2 {(x + 3)}^{2}$ te krijgen?

Hoe moet je de grafiek van $y = 2 {(x + 3)}^{2}$ verschuiven om die van $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 4$ te krijgen?

We hebben gezien dat de grafieken bij de vergelijkingen $y = c x^{2}$ (met $c \neq 0$ ) parabolen zijn.
Als $c > 0$ , dan krijg je een dalparabool met ‘laagste’ punt $(0,0)$ en als $c < 0$ een bergparabool met ‘hoogste’ punt $(0,0)$ . Het laagste of het hoogste punt van een parabool noemen we de top van de parabool.

In bovenstaande opgaven hebben we de grafieken van twee vergelijkingen bekeken. De grafiek van de vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$ ontstaat uit de parabool $y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$ door 2 eenheden naar rechts te schuiven en 3 naar boven.
De grafiek van de vergelijking $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 4$ ontstaat uit de parabool $y = 2 x^{2}$ door 3 eenheden naar links te schuiven en 4 naar beneden.
In plaats van 3 naar links zeggen we ook wel: $‐3$ naar rechts en in plaats van 4 naar beneden ook wel $‐4$ naar boven.

De parabool $y = c {(x - a)}^{2} + b$ (met $c \neq 0$ ) ontstaat door de parabool $y = c x^{2}$ als volgt te verschuiven:
$a$ eenheden naar rechts en $b$ eenheden naar boven.
De top van de parabool is dus $(a, b)$ .
Je krijgt een dalparabool als $c > 0$ en een bergparabool als $c < 0$ . Het getal $c$ bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: $x = a$ .

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 3$ ?
En van de parabool met vergelijking $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 4$ ?

Geef van elk van de volgende parabolen de coördinaten van de top.

$y = ‐ 2 {(x - 2)}^{2} + 2$	$y = {(x + 3)}^{2}$
$y = {(x - 3)}^{2} + 2$	$y = x^{2} + 3$

De parabolen: $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ , $y = ‐ {(x + 1)}^{2} + 2$ en $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 2$ hebben alle dezelfde top.

Wat is die top?

Welke van de drie gaat door het punt $(2,20)$ ?

11s

12s

In het rooster is een figuur getekend met vergelijking $x + y + 6 = {(x - y + 3)}^{2}$ . De figuur is een parabool.
Zoals je kunt zien, ligt de parabool scheef in het assenstelsel: zijn symmetrieas is de lijn $y = x + 3$ .

Bereken de top van de parabool.

In het rooster zie je een aantal punten van een dal- en een bergparabool.
De symmetrieassen van de parabolen zijn $x = ‐ 2$ en $x = 1$ .

Neem over en teken netjes de twee parabolen. Laat duidelijk zien hoe je de parabolen afgetekend hebt.

De vergelijking van de symmetrieas van een parabool is $x = 4$ . Verder is bekend dat de punten $(10,‐3)$ en $(‐1,19)$ op de parabool liggen.
Zonder de vergelijking van de parabool te kennen weet je nog twee punten van de parabool.

Welke punten zijn dat?

14s

15s

De top van een parabool met verticale symmetrieas ligt op de $y$ -as. Twee punten van de parabool zijn $(2,4)$ en $(‐3,6)$ .

Is dit een berg- of een dalparabool? Licht je antwoord toe.