kwadraatafsplitsen

Uit onderstaande plaatjes volgt:

                  x 2 + 6 x                                                 =                   ( x + 3 ) 2                           9
                  oppervlakte                 oppervlakte                       oppervlakte
                  L-vorm                 grote vierkant                 oker vierkant

x 2 + 6 x vervangen door ( x + 3 ) 2 9 noemen we kwadraatafsplitsen.

Voorbeelden
x 2 10 x = ( x 5 ) 2 25
x 2 + 7 x = ( x + 3 1 2 ) 2 12 1 4

vierkantsvergelijkingen oplossen

Vierkantsvergelijkingen kun je oplossen door ontbinden in factoren of kwadraatafsplitsen.

Voorbeeld
Los op:

x 2 + 35 = 12 x
op 0 herleiden
x 2 12 x + 35 = 0
ontbinden in factoren
( x 7 ) ( x 5 ) = 0
x = 7     of     x = 5


Voorbeeld
Los op:

x 2 + 12 x = 9
kwadraatafsplitsen
( x + 6 ) 2 36 = 9
PLUS 36
( x + 6 ) 2 = 45
x + 6 = 45     of     x + 6 = 45
x = 6 + 3 5     of     x = 6 3 5


Voorbeeld
Los op:

x 2 3 x 4 = 0
kwadraatafsplitsen
( x 1 1 2 ) 2 2 1 4 4 = 0
PLUS 6 1 4
( x 1 1 2 ) 2 = 6 1 4
x 1 1 2 = 2 1 2     of     x 1 1 2 = 2 1 2
x = 4     of     x = 1

kruislings vermenigvuldigen

We weten dat p q q = p en p q r = p r q .
Hieruit volgt: als a b c d dan a d = b c .
Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.


Voorbeeld
De vergelijking 2 2 x = x 3 x 2 2 x lossen we op met kruislings vermenigvuldigen.


2 2 x = x 3 x 2 2 x
kruislings vermenigvuldigen
2 ( x 2 2 x ) = ( 2 x ) ( x 3 )
haakjes uitwerken
2 x 2 4 x = x 2 + 5 x 6
op 0 herleiden
3 x 2 9 x + 6 = 0
delen door 3
x 2 3 x + 2 = 0
ontbinden
( x 1 ) ( x 2 ) = 0
x = 1     of     x = 2

Maar x = 2 voldoet niet (delen door 0).

cirkels

De cirkel met straal r en middelpunt ( a , b ) heeft als vergelijking: ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 .
We noemen de vergelijking ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 de middelpuntsvorm van de cirkel.


Als a = b = 0 , dan krijg je de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = r 2 .
Het middelpunt van deze cirkel ligt in de oorsprong O ( 0,0 ) .


Voorbeeld
Met behulp van kwadraatafsplitsen bepalen we het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 + 6 x 4 y = 12 .
( x + 3 ) 2 9 + ( y 2 ) 2 4 = 12
( x + 3 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 25
Dus het middelpunt is ( 3,2 ) en de straal 5.


Voorbeeld
Door invullen bepalen we de coördinaten van het snijpunt van de lijn y = x + 2 met de cirkel x 2 + y 2 + 2 x 4 y = 0 .
x 2 + ( x + 2 ) 2 + 2 x 4 ( x + 2 ) = 0
2 x 2 + 2 x 4 = 0
x 2 + x 2 = 0
( x + 2 ) ( x 1 ) = 0

x = 2

of

x = 1

y = 2 + 2 = 0

y = 1 + 2 = 3

De snijpunten zijn ( 2,0 ) en ( 1,3 ) .