$C$ is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 1 = 0$ .

Schrijf de vergelijking in de middelpuntsvorm.

Teken de cirkel $C$ in een assenstelsel.

$k$ is de lijn $3 x - y + 5 = 0$ .

Teken de lijn $k$ in het assenstelsel van opgave b.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ en $C$ .

Van een vierkant stuk karton van 60 bij 60 cm wordt een bakje gemaakt.
Eerst worden bij alle hoeken vierkantjes van $x$ bij $x$ cm afgeknipt.
Daarna worden de zijkanten omhoog gevouwen. Je krijgt zo een bakje.

Bereken $x$ als de bodem van het bakje 500 cm² is.

Bereken $x$ als de oppervlakte van alle zijkanten samen even groot zijn als de oppervlakte van de bodem.

Los de volgende vergelijkingen in $x$ op.

$\frac{2}{x + 1} = \frac{x}{x + 3}$

$\frac{2}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1}$

Een loodgieter maakt een goot uit platen zink van 6 dm breed. De capaciteit $C$ van de goot is het aantal liter water dat de goot per meter kan bevatten.
Als hij de goot $1 \frac{1}{2}$ dm hoog maakt, dan $C = 45$ .

Reken dat na.

We geven de hoogte, in dm, van de goot aan met $x$ .

Druk $C$ uit in $x$ .

Bereken voor welke $x$ geldt: $C = 20$ .

Teken de punten $A (‐ 5,0)$ en $B (5,0)$ in een assenstelsel.

We gaan punten $P$ zoeken waarvoor hoek $A P B$ recht is.

Geef de punten $P$ op de $y$ -as aan die deze eigenschap hebben.

Teken het punt $W (4,3)$ in het rooster.

Het lijkt erop dat dit ook een punt met deze eigenschap is. Dit kun je natuurlijk niet door meten bepalen (dan kun je alleen maar nagaan of die hoek ongeveer recht is).

Bereken $W A$ (de afstand van $W$ tot $A$ ) en $W B$ .
Geef exacte antwoorden (gebruik een wortel).

Hoe kun je nu met behulp van $W A$ , $W B$ en $A B$ precies berekenen dat hoek $A W B$ recht is?

Teken nu (op grond van symmetrie) nog wat punten $P$ waarvoor hoek $A P B$ recht is.

Misschien heb je wel een indruk waar de punten $P$ liggen waarvoor hoek $A P B$ recht is.

We nemen nu een willekeurig punt $P (x, y)$ . De afstand van $P$ tot $A$ is $\sqrt{{(x + 5)}^{2} + y^{2}}$ .

Geef een formule voor de afstand van $P$ tot $B$ .

Leg uit dat de punten $P (x, y)$ waarvoor geldt dat hoek $A P B$ recht is, voldoen aan: ${(x + 5)}^{2} + y^{2} + {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 100$ .

De vergelijking van opgave h is een vergelijking van een cirkel.

Laat dat zien door de haakjes weg te werken en te vereenvoudigen.

Je hebt nu aangetoond: alle punten $P$ waarvoor hoek $A P B$ recht is, liggen op een cirkel met $A B$ als middellijn. Dit resultaat staat in de wiskunde bekend als de stelling van Thales. Er is ook een meetkundig bewijs van de stelling te geven.

Thales van Milete leefde van 624 tot 547 v. Chr. Hij is bekend als een van de zeven wijzen. Het verhaal gaat dat hij de Egyptische koning verbaasde door de hoogte van een piramide af te leiden uit de lengte van haar schaduw.

In de figuur kun je in de grote en in de kleine rechthoekige driehoek een uitdrukking voor $\tan (α)$ opschrijven (met $x$ erin).

Doe dat.

Schrijf nu een vergelijking voor $x$ op en los deze vergelijking op.

Van een vierkant van 6 bij 6 cm worden hoeken weggeknipt en wel zo, dat je een rechthoek overhoudt. Die is in het plaatje gekleurd.

Laat zien dat de oppervlakte van de gekleurde rechthoek gelijk is aan: $‐ 2 x^{2} + 12 x$ .

Bereken voor welke $x$ de oppervlakte van de gekleurde rechthoek gelijk is aan 2.

Een grasveld van 4 bij 4 meter wordt aan drie zijden begrensd door een border die overal $x$ meter breed is.

Voor welke $x$ is de oppervlakte van de border gelijk aan de oppervlakte van het grasveld?

Voor welke $x$ is de oppervlakte van het grasveld twee keer zo groot als de oppervlakte van de border?