28.5 Kruislings vermenigvuldigen >

Hoofdstukken > Vierkantsvergelijkingen

Als je twee repen chocolade met drie man deelt, krijgt elk $\frac{2}{3}$ reep, dus $\frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ .

Als je een breuk met de noemer vermenigvuldigt, krijg je de teller.

Dus:

$\frac{17}{‐ 3} \cdot ‐ 3 = 17$

$\frac{7}{x + 1} \cdot (x + 1) = 7$

Neem over en vul de uitkomst in.

$\frac{2 x + 1}{x} \cdot x = .....$ .

$\frac{3}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) = .....$

Los de volgende vergelijkingen op.

$\frac{2 x + 1}{x} = 3$

(hint)

Vermenigvuldig beide kanten met

x

$\frac{2 x + 3}{x + 1} = 4$

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2} = 2$

$\frac{x - 1}{x} = x + 3$

Voorbeeld
We lossen de volgende vergelijking op:

$\frac{x + 1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	MAAL $x$
$x + 1$	$=$	$\frac{x^{2}}{x + 2}$	MAAL $(x + 2)$
$(x + 1) (x + 2)$	$=$	$x^{2}$	HAAKJES WEG
$x^{2} + 3 x + 2$	$=$	$x^{2}$	MIN $x^{2}$
$3 x + 2$	$=$	$0$	MIN 2
$3 x$	$=$	$‐ 2$	DELEN DOOR 3
$x$	$=$	$‐ \frac{2}{3}$

Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met $x$ vermenigvuldigd en daarna met $x + 2$ . Het gaat sneller, als je in één keer zowel met $x$ als met $x + 2$ , dus met $x (x + 2)$ vermenigvuldigt:

$\frac{x + 1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	MAAL $x (x + 2)$
$(x + 1) (x + 2)$	$=$	$x^{2}$

Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ dan: $a d = b c$

Dit zie je dus in, door beide kanten met $b d$ te vermenigvuldigen.

Dus:

$\frac{x + 1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x + 2}$	kruislings vermenigvuldigen
$(x + 1) (x + 2)$	$=$	$x^{2}$

Los ook de volgende vergelijkingen op.
Laat zonodig een $\sqrt{}$ -teken in je antwoord staan.

$\frac{4}{x + 1} = \frac{2}{x - 1}$

$\frac{x}{2 x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

$\frac{x + 1}{x} = \frac{4 x}{x + 1}$

$\frac{3}{2 x - 2} = \frac{1}{1 - x}$

Het is altijd verstandig om de oplossingen die je gevonden hebt te controleren door in te vullen. Dat is in sommige gevallen niet eenvoudig, zoals bij de vergelijking in opgave 15b.

Bij de vergelijking in opgave 15d heb je $x = 1$ als oplossing gevonden.

Waarom is $x = 1$ geen oplossing van deze vergelijking?

Noemers mogen niet 0 zijn.
Door kruislings te vermenigvuldigen werk je noemers weg.
De vergelijking na kruislings vermenigvuldigen kan dus getallen als oplossing hebben waarvoor de oorspronkelijke vergelijking geen betekenis heeft.

Ga bij gebroken vergelijkingen daarom na welke getallen een noemer 0 maken. Voor dergelijke getallen heeft de vergelijking geen betekenis. Bij de vergelijking uit opgave 15d is dat $x = 1$ .

Welke getallen zijn dat bij de vergelijking uit opgave 15b? En bij opgave 15c?

Welke waarden voor $x$ maken een noemer van de vergelijking $\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x}$ gelijk aan 0?

Los de vergelijking $\frac{1}{x^{2} - x} = \frac{1}{x}$ op.

In de Intro is de gulden snede genoemd. De gulden snede is een bijzondere verhouding. Voor een lijnstuk dat volgens de gulden snede in twee stukken is verdeeld, geldt:
groot : klein = hele lijnstuk : groot.

Stel dat de lengte van het kleinste stuk 1 is. De lengte van het grootste stuk noemen we $x$ .

Laat zien dat geldt: $\frac{x}{1} = \frac{x + 1}{x}$ .

De positieve oplossing van deze vergelijking noemen we het gulden getal.

Los deze vergelijking op en bepaal zo het gulden getal.