27.10 Extra opgaven

$a$ en $b$ zijn twee positieve getallen. We weten dat $\sqrt{a} \approx 1,4$ en $\sqrt{b} \approx 4,2$ .

Ga na welke benaderingen hieruit volgen voor:

$\sqrt{a \cdot b}$	$\sqrt{4 a}$	$\sqrt{\frac{1}{4} b}$
$\sqrt{\frac{b}{a}}$	$\sqrt{\frac{1}{b}}$	$\sqrt{\frac{100}{a}}$

Verklaar je antwoorden.

Schrijf zo eenvoudig mogelijk, vereenvoudig de wortels en laat geen wortels in de noemer staan.

$\sqrt{36} + \sqrt{16} + \sqrt{18} + \sqrt{8}$
$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{1 \frac{1}{2}} + \sqrt{2 \frac{2}{3}} + \sqrt{5 \frac{1}{3}}$
$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{50}} + \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{100}} - \sqrt{12 \frac{1}{2}}$

Over het oppervlak van een balk van $2$ bij $3$ bij $4$ cm lopen vier routes van $S$ (tart) naar $F$ (inish). De opvolgende tussenpunten op de horizontale ribbe liggen $1$ cm van elkaar.

Bereken de lengte van elk van de routes in mm nauwkeurig.

De volgende uitdrukkingen kun je zonder $\sqrt{}$ -teken schrijven. Doe dat zonder rekenmachine.

$\sqrt{0,01}$	$\sqrt{1,44}$
$\sqrt{2^{8}}$	$\sqrt{8^{2}}$
$\sqrt{\sqrt{16}}$	$\sqrt{56 \frac{1}{4}}$
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75}}$

Tussen twee huizen loopt een smal pad. De bewoners Piet Buurman en Anneke van de Overkant willen het pad betegelen. Daarvoor moeten ze weten hoe breed het pad is. Piet meet van muur tot muur. Anneke merkt op dat hij niet “recht” gemeten heeft. Piets meetpunt aan de ene muur lag niet precies tegenover het meetpunt aan de andere muur, maar week daar wel $2$ dm van af. Piet beweert dat het praktisch niks scheelt met recht meten. Stel dat het pad $3$ meter breed is.

Hoeveel cm scheelt het dan? Rond je antwoord af op twee decimalen.

Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig de wortels.

$\sqrt{50} + \sqrt{125} + \sqrt{45} + \sqrt{8}$	$\sqrt{50} \cdot \sqrt{125} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{8}$
$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{\frac{1}{16}}$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{8}}$

Van een vierkant is de oppervlakte $10$ .

Bereken de lengte van de diagonaal exact.
Vereenvoudig je antwoord.

Een zwembassin heeft een schuin-aflopende vloer. Bij de startblokken is het bassin $1$ meter diep, aan de overkant $2$ meter. Het bad is $25$ meter lang. De badvloer is dus iets langer dan $25$ meter.

Hoeveel langer ongeveer (in cm nauwkeurig)?
Maak eerst een schatting “op gevoel”.

Los de volgende vergelijkingen op twee manieren op, zoals in opgave 51 en laat zien dat ze bij beide manieren gelijk zijn.

${(5 x)}^{2} = 50$	${(5 x)}^{2} = 20$
${(\sqrt{2} x)}^{2} = 12$	${(\sqrt{2} x)}^{2} = 10$

In een balk van $2$ bij $2$ bij $4$ zijn drie hoekpunten verbonden. Zo ontstaat een gelijkbenige driehoek, zie plaatje.

Bereken de zijden van de driehoek exact. Vereenvoudig je antwoord.

Bereken de oppervlakte van de driehoek exact. Vereenvoudig je antwoord.

Schrijf met zo weinig mogelijk $\sqrt{}$ -tekens. Vereenvoudig de wortels. Schrijf voldoende tussenstappen op.

${(2 \sqrt{5})}^{2}$	$2 \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{5}$	$5 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3} : 3$	$6 \sqrt{3} : \sqrt{3}$	$6 \sqrt{3} - \sqrt{3}$
$\sqrt{24} + \sqrt{6}$	$\sqrt{24} + \sqrt{54}$	$\sqrt{20} \cdot \sqrt{50}$
$\sqrt{2 \frac{1}{4}} + \sqrt{6 \frac{1}{4}}$	$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$	$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{4 \frac{1}{2}}$	$\sqrt{\frac{1}{6}} + \sqrt{\frac{2}{3}}$	$\sqrt{\frac{1}{5}} + \sqrt{\frac{4}{5}}$

In een kwartcirkel met straal $3$ cm is een rechthoek met basis $1$ cm getekend.

Bereken de hoogte van de rechthoek exact.

Bereken de omtrek van de rechthoek exact en in mm nauwkeurig.

Bereken de oppervlakte van de rechthoek exact en in ${mm}^{2}$ nauwkeurig.

Van rechthoek $A B C D$ zijn de zijden $\sqrt{2}$ en $\sqrt{6}$ .

Bereken de oppervlakte van de rechthoek exact. Vereenvoudig je antwoord.

Bereken de lengte van de diagonalen exact. Vereenvoudig je antwoord.

Laat zien dat de zijden van driehoek $A B C$ zich verhouden als $1 : \sqrt{3} : 2$ .
Hoe groot is dus de hoek tussen de diagonalen van de rechthoek exact? Licht je antwoord toe.

Een spoorrail van $18$ meter is door de hitte $1$ cm uitgezet. Dat gebeurt bij een temperatuurstijging van ca. $50 °$ C. Omdat de rail aan de uiteinden vast is verankerd, is hij kromgebogen.
In het schematische plaatje is de grootste afwijking van de oorspronkelijk rechte rail $x$ (cm) genoemd.
Om aan deze situatie te kunnen rekenen, doen we net als of de uitgezette rail uit twee rechte stukken bestaat met een knik ertussen. Dat zal voor $x$ niet zo veel uitmaken. Zie plaatje.

Bereken $x$ in cm nauwkeurig.

Van een vierkant zijn de diagonalen $2 \sqrt{3}$ lang.

Bereken de lengte van de zijden exact.

Bereken de oppervlakte exact.

Het trapezium is opgebouwd uit twee $30 ‐ 60 ‐ 90$ -graden en twee $45 ‐ 45 ‐ 90$ -graden driehoeken. De kortste zijde is $6$ .

Bereken de lengte van de andere zijden en de diagonalen exact. Schrijf de wortels in je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Een regelmatige zeshoek heeft omtrek $6 \sqrt{6}$ .

Bereken de oppervlakte van de zeshoek.

(hint)

Verdeel de zeshoek in regelmatige driehoeken.

Met een windmolen kun je energie opwekken. Hoe harder het waait, hoe meer energie de molen levert. De geleverde energie is evenredig met de derde macht van de windsnelheid. In formule: $p = c \cdot w^{3}$ . Hierbij is $p$ het aantal kilowatt dat per uur geleverd wordt, $w$ de windsnelheid in m/s en $c$ een evenredigheidsconstante die onder andere afhangt van de lengte van rotorbladen van de molen. In het vervolg nemen we:
$p = 10 \cdot w^{3}$ .

Bereken $p$ als $w = 6$ (dat is een matige wind) en als $w = 10$ (dat is een vrij krachtige wind).

Als $w$ toeneemt, dan neemt $p$ ook toe.
Hoeveel keer zo groot wordt $p$ als $w$ $2$ keer zo groot wordt?

Bereken $w$ als $p = 1000$ .

Druk $w$ uit in $p$ .

Schrijf zonder wortel (je mag geen rekenmachine gebruiken).

$\sqrt[3]{100} \cdot \sqrt[3]{10}$

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{80}}$

$\sqrt[3]{0,064}$

${(\sqrt[3]{7})}^{3}$

Het volgende artikel komt uit de Volkskrant van 7 mei 1996.

Gouden plak op Olympische Spelen is zestigduizend gulden waard
Van onze verslaggever

PAPENDAL Olympische medailles leveren de nationale sporters deze zomer voor het eerst baar geld op. De Nederlandse deelnemers aan de Zomerspelen van Atlanta genieten een premieregeling. Chef de mission Bolhuis maakte gisteren namens het NOC*NSF het prijzenschema bekend. ‘Het is een nouveauté waar ik heel trots op ben. Ik ben van mening dat deze honorering onze sportmensen extra zal stimuleren.’ Een individuele winnaar van Olympisch goud krijgt van het nationaal Olympisch comité zestigduizend gulden. In Barcelona’92 moest 800 meter-winnares Ellen van Langen het nog doen met de spreekwoordelijke ruiker en kus. Voor de zilveren medaille wordt veertig mille uitbetaald, brons is twintigduizend gulden waard.
Voor de teamsporters gaat een ingewikkelde doch rechtvaardige verdeelsleutel gelden, berekend door een wetenschapper uit Delft. Die kwam tot de formule: a:wortel uit n. Bolhuis nam gisteren het gemakkelijkste rekenvoorbeeld. Als de hockeyers goud winnen, dan is per persoon vijftienduizend gulden beschikbaar: zestigduizend gedeeld door vier (de wortel uit zestien spelers). Zo’n gouden hockeyplak kost het NOC*NSF in totaal $240$ duizend gulden aan premies. De sportkoepel heeft geen extra middelen uitgetrokken voor de uitbetaling. Het risico is afgedekt bij een verzekeringsmaatschappij. Sponsors betalen de premies voor de medaillepolis.

Uit het artikel kun je afleiden dat de prijs voor een teamspeler van een ploeg die de gouden medaille wint, gelijk is aan $\frac{60.000}{\sqrt{n}}$ gulden, waarbij $n$ het aantal teamspelers is.

Ga na dat een gouden plak voor de hockeyploeg ( $16$ spelers) de NOC*NSF inderdaad $240.000$ gulden kost.

Wat is de NOC*NSF kwijt voor een gouden plak van een team met $10$ spelers (in hele guldens nauwkeurig)?

Geef een formule voor het bedrag $b$ (in guldens) dat de NOC*NSF kwijt is voor een gouden medaille voor een team van $n$ spelers.

In de kubus is een piramide getekend. Het grondvlak van de piramide valt samen met het grondvlak van de kubus en de top is één van de vier hoekpunten boven. In de INTRO van hoofdstuk 5 heb je gezien dat je met drie van die piramides de kubus kunt vullen.

Laat op het werkblad nog eens zien hoe dat gaat.

De ribbe van de kubus noemen we $r$ en de inhoud van de piramide $i$ .

Druk $i$ uit in $r$ .

Bereken $r$ als $i = 9000$ en ook als $i = 300$ exact.

Druk $r$ uit in $i$ .

We komen nog even terug op de Egyptische puzzel uit de INTRO. Het vierkant dat je gelegd hebt heeft oppervlakte $5 \cdot 16 = 80$ . De zijde is dus $\sqrt{80}$ .
De zijde van het vierkant bestaat uit twee kniplijnen, heeft dus lengte $4 \sqrt{5}$ . Dus $4 \sqrt{5} = \sqrt{80}$ .

Laat dat ook met rekenregels zien.