26.6 Verbanden van de vorm p·x + q·y = r >

In de stal van Jan Pol worden de pony’s precies zo gevoerd als het hoort. ‘s Winters wordt er hoofdzakelijk hooi en biks aan de dieren gegeven. De belangrijkste bestanddelen van dit voer zijn:

koolhydraten (zetmeel en suiker), ruwvezel en vetten. Zij zorgen voor de energievoorziening. Hoeveel er van deze bestanddelen in het voer zit, wordt uitgedrukt in grammen zetmeel.
eiwitten. Die zijn van groot belang voor de vorming van spieren, hoeven, bloed, enzovoort.

Jasper is een pony, die bij Jan op stal staat. Volgens het boekje heeft die pony, als hij niet te intensief gebruikt wordt, per dag 2100 gram zetmeel en 360 gram eiwit nodig.
In 1 kg hooi zit 300 gram zetmeel en 60 gram eiwit.
In 1 kg biks zit 600 gram zetmeel en 80 gram eiwit.

Hoeveel gram zetmeel krijgt Jasper als hij per dag $3 \frac{1}{2}$ kg hooi en 2 kg biks eet?

Hoeveel gram zetmeel krijgt Jasper als hij per dag $x$ kg hooi en $y$ kg biks eet?

Jasper krijgt per dag precies 2100 gram zetmeel. Dit geeft een verband tussen $x$ en $y$ .

Druk dat verband uit in een formule met $x$ en $y$ .

Laat zien dat je de formule kunt vereenvoudigen tot $x + 2 y = 7$ .

Bereken de snijpunten met de $x$ -as en $y$ -as en teken de grafiek. Neem daarvoor het assenstelsel over.

De grafiek is een rechte lijn $k$ .

Als Jan Pol de hoeveelheid hooi met één kg vermeerdert, met hoeveel kg kan hij de biks dan verminderen? (De totale hoeveelheid zetmeel moet 2100 gram blijven!)

Wat is dus de richtingscoëfficiënt van $k$ ?

Je kunt uitgaande van de formule $x + 2 y = 7$ , ook $y$ uitdrukken in $x$ .

Doe dat en bepaal zo de richtingscoëfficiënt van $k$ .

Hoeveel gram eiwit krijgt Jasper als hij per dag $x$ kg hooi en $y$ kg biks krijgt?

Jasper wordt zó gevoerd dat hij per dag precies 360 gram eiwit krijgt. Dit geeft weer een verband tussen $x$ en $y$ .

Druk dat verband uit in een formule met $x$ en $y$ en laat zien dat deze te vereenvoudigen is tot: $3 x + 4 y = 18$ .

Teken de grafiek van het verband in opgave e.

De grafiek is een rechte lijn $m$ .

Bereken de richtingscoëfficiënt van $m$ .

Lees uit de grafiek af hoeveel kg hooi en hoeveel kg biks Jasper moet krijgen als hij precies volgens het boekje gevoerd wordt.

In de vorige vraag ging het om de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ . Die kun je berekenen door te gebruiken: $k : y = ‐ \frac{1}{2} x + 3 \frac{1}{2}$ en $m : y = ‐ \frac{3}{4} x + 4 \frac{1}{2}$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

Schrijf de volgende formules in de vorm: $y = ...$ .

$‐5 x + 2 y = 10$	$‐2 y + x = 5$
$3 x - 2 y = 16$	$8 x = ‐2 y - 5$
$2 x - 5 y = 7$	$‐3 x = ‐8 + 7 y$

Als je opgave 24 van de witte stroom hebt gemaakt, heb je als het goed is de volgende twee vergelijkingen gevonden:
$l = 0,85 E + 21,15$ en $F = \frac{9}{8} E + 32 \frac{3}{8}$ .

Met bovenstaande vergelijkingen kun je ook $F$ uitdrukken in $l$ .
Druk $F$ uit in $l$ . Schrijf de uitdrukking zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Er zijn in een reservaat twee soorten draken: rode en groene.
Iedere rode draak heeft drie koppen en twee staarten. Iedere groene draak heeft vier koppen en drie staarten.
Alle draken samen hebben 111 koppen en 79 staarten.
Noem het aantal rode draken $r$ en het aantal groene draken $g$ .

Leid uit het verhaal hierboven twee verbanden tussen $r$ en $g$ af.

Bereken het aantal rode en groene draken.

Berekenen van snijpunten

Het aantal rode en groene draken van opgave 36b zijn de coördinaten van het snijpunt van de twee verbanden van opgave 36a.
De coördinaten heb je waarschijnlijk berekend door beide verbanden te schrijven
als $g = ... \cdot r + ...$ of als $r = ... \cdot g + ...$ .
Hoe het ook anders (handiger) kan, zie je hieronder.

Voorbeeld

Voor het snijpunt $(r, g)$ geldt: $3 r + 4 g = 111$ én $2 r + 3 g = 79$

We combineren beide vergelijkingen zó, dat er geen $r$ of geen $g$ meer in voorkomt.
We vermenigvuldigen daarvoor de eerste vergelijking met 2 en de tweede vergelijking met 3. In beide vergelijkingen krijgen we zo de term $6 r$ . $6 r + 8 g = 222$ én $6 r + 9 g = 237$

We werken nu de variabele $r$ weg door deze vergelijkingen van elkaar af te trekken.

$(6 r + 8 g) - (6 r + 9 g)$	=	$222 - 237$
$6 r + 8 g - 6 r - 9 g$	=	$222 - 237$
$‐ g$	=	$‐15$
$g$	=	$15$

Als $g = 15$ dan:

$3 r + 4 \cdot 15$	=	$111$
$3 r$	=	$51$
$r$	=	$17$

Het snijpunt is dus: $(17,15)$ .

In plaats van beide vergelijkingen te combineren zo dat er geen $r$ meer in voorkomt, hadden we ook beide vergelijkingen kunnen combineren zo dat er geen $g$ meer in voorkomt.

Hoe zou je de vergelijking $3 r + 4 g = 111$ dan schrijven? En hoe $2 r + 3 g = 79$ ?

Combineer beide vergelijkingen en bereken daarmee het aantal rode en het aantal groene draken.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $m$ als:

$k : 2 x + 3 y = 2$ en $m : 6 x - y = 1$

$k : 2 x - 5 y = 7$ en $m : ‐2 x + 13 y = 1$

$k : 3 x - 2 y = 16$ en $m : 2 x + y = 6$

$k$ , $l$ en $m$ zijn de lijnen met vergelijking:
$k : 2 x + 3 y = 4$ , $l : x = \frac{1}{2} y + 4$ en $m : x - 2 y = 5$ .

Teken de lijnen $k$ , $l$ en $m$ . Laat de assen lopen van $‐6$ tot en met 6.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van $k$ en $l$ .

Ga na of het snijpunt van $k$ en $l$ op $m$ ligt.

$p$ , $q$ en $r$ zijn de lijnen met vergelijking:
$p : x + y = 4$ , $q : y = 2$ en $r : y - 5 = 2 x$ .

Teken de drie lijnen in één assenstelsel.
Laat de $x$ -as lopen van $‐4$ tot en met 6 en de $y$ -as van $‐1$ tot en met 5.

Bereken de coördinaten van de drie snijpunten van deze lijnen.

Bereken de oppervlakte van de driehoek die wordt ingesloten door deze drie lijnen.

Tijdens een warme zomer is het voor de supermarkt niet eenvoudig om voldoende bier in voorraad te hebben. De brouwerij kan niet altijd de gewenste bestellingen op tijd leveren.
De supermarkt is blij dat de brouwerij vandaag 520 liter bier levert, in kratten halve liters en kratten pijpjes. Hoeveel pijpjes en hoeveel halve liters moet de supermarkt maar afwachten.
In een pijpje zit $\frac{1}{3}$ liter bier; er gaan 24 flesjes in een krat. Er gaan 20 halve liters in een krat.

Hoeveel liter bier zit er in een krat pijpjes? En in een krat halve liters?

De supermarkt krijgt $x$ kratten pijpjes en $y$ kratten halve liters. Dat het totaal aantal kratten 520 liter bevat geeft een verband tussen $x$ en $y$ .

Geef een formule van dit verband.

Teken de grafiek. Zet $x$ horizontaal $(0 \leq x \leq 70)$ en $y$ verticaal $(0 \leq y \leq 60)$ .

In de supermarkt worden twee keer zoveel kratten met pijpjes als met halve liters verkocht, daarom bestelt de supermarkt ook in deze verhouding bij de brouwerij.
Deze verhouding geeft een verband tussen $x$ en $y$ .

Geef een formule voor dit verband.

Teken de grafiek bij opgave c.

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

Hoeveel kratten bier worden er van elk soort geleverd als de brouwerij 520 liter levert in de verhouding die de supermarkt wenst?

10s

Dieren die zich op vier poten voortbewegen, doen dat bij lage snelheden in draf. Bij hogere snelheden gaan ze over in galop. De Brit Hill deed hier onderzoek naar door dieren in een tredmolen te laten lopen. Bepaalde metingen zie je in de grafiek aangegeven.
(Bron: De maat van het leven, uitgever: Natuur en Techniek.)

Op de verticale as is de pasfrequentie uitgezet: dit is het aantal passen dat het dier per minuut zet. De overgangssnelheid tussen draf en galop is met een rondje aangegeven.
Je kunt uit de grafiek bijvoorbeeld het volgende aflezen: een hond zet bij een snelheid van 5 km/u 130 passen per minuut; bij een snelheid van 12 km/u gaat hij over in galop en zet dan 200 passen per minuut; daarna verandert zijn pasfrequentie nauwelijks nog: bij een snelheid van 20 km/u zet hij 210 passen per minuut.

Zoals je ziet is de grafiek bij de hond een geknikte lijn, de knik zit bij de overgang van draf in galop.
De pasfrequentie noemen we $P$ (passen per minuut), de snelheid $v$ (km/u).

Druk $P$ uit in $v$ voor de hond.
Je moet natuurlijk onderscheid maken tussen $v \leq 12$ en $v > 12$ .

Bereken hoe groot (in cm nauwkeurig) de pas is die een hond zet bij een snelheid van 10 km/u.