Het snijpunt met de verticale as
1

De kosten van een taxirit bestaan meestal uit een vast bedrag, het voorrijgeld, plus een bedrag dat afhangt van het aantal kilometers.
Bij de Taxi-centrale is het voorrijgeld € 10,- en de kilometerprijs € 5,-.
De kosten van een rit van x kilometer noemen we y euro. Je ziet hiervan de grafiek getekend.

a

Druk y uit in x .

We nemen voor x achtereenvolgens de waarden 0, 1, 2, 3, 4 en 5.

b

Bereken de bijbehorende waarden van y .
Schrijf je antwoorden in een tabel zoals hieronder.

x (in km)

0

1

2

3

4

5

y (in euro's)

Het is heel eenvoudig om zo’n tabel te maken. Bij x = 0 komt er voor y natuurlijk 10 uit. En telkens als x met 1 toeneemt, neemt y toe met ... .

c

Met welk getal?

Als we vanuit het punt op hoogte 10 op de y -as één stap naar rechts gaan, moeten we 5 naar boven gaan om weer een punt van de grafiek te vinden.

d

En als we een halve stap naar rechts doen?
En als we één stap naar links doen?
En als we anderhalve stap naar links doen?


Conclusie: Omdat alle trappen bij de grafiek y = 5 x + 10 de verhouding 1 : 5 hebben, is de grafiek een rechte lijn.


Vanwege de concurrentie besluit Taxi-centrale het voorrijtarief te verlagen naar 6 euro.

e

Neem de figuur over en teken de grafiek die hoort bij het nieuwe voorrijtarief.

De oude en de nieuwe grafiek lopen evenwijdig.

f

Leg uit hoe dat komt.

g

Welke formule hoort bij de nieuwe grafiek?

Een verband tussen x en y van de vorm y = a x + b wordt wel een lineair verband genoemd.

2
a

We bekijken de formule y = 3 x .
Neem de tabel over en vul hem in.

x

‐2

‐1

0

1

2

3

y = 3 x

b

Neem de tabel bij de formule y = 3 x + 1 over en vul hem in.

x

‐2

‐1

0

1

2

3

y = 3 x + 1

c

Neem de tabel bij de formule y = 3 x 2 over en vul hem in.

x

‐2

‐1

0

1

2

3

y = 3 x 2

d

Neem het assenstelsel over en teken de lijn die hoort bij de formule y = 3 x .
Teken ook de grafieken van y = 3 x + 1 en y = 3 x 2 .


Je hebt net drie lijnen in een assenstelsel getekend. Het is handig om elke lijn een naam te geven, bijvoorbeeld:
k is de lijn met formule y = 3 x ,
m is de lijn met formule y = 3 x + 1 ,
p is de lijn met formule y = 3 x 2 .


We noteren dit korter als:
k :   y = 3 x ,
m :   y = 3 x + 1 ,
p :   y = 3 x 2 .


e

Geef de coördinaten van het snijpunt van k met de y -as. Doe dat ook voor m en p .

f

Hoe kun je deze snijpunten met de y -as direct uit de formules halen?

g

Hoe kun je aan de formules zien dat ze evenwijdig zijn?

h

Welk van de drie verbanden is evenredig?

In plaats van de term formule gebruiken we ook de term vergelijking.

De richtingscoëfficiënt
3

In opgave 10 heb je gezien wat er gebeurt met de grafiek van Taxi-centrale wanneer de voorrijkosten worden verlaagd. Taxi-centrale kan er ook voor kiezen om de kilometerprijs te verlagen.

a

Leg uit wat er met de lijn y = 5 x + 10 gebeurt als Taxi-centrale de kilometerprijs verlaagt naar 3 euro.

b

Geef een formule die hoort bij de nieuwe kilometerprijs.

4

We bekijken de lijnen p , q , r en s met de volgende vergelijkingen:
p :   y = 2 x + 3 , q :   y = ‐1 1 2 x + 3 , r :   y = x + 3 , s :   y = 0 x + 3 .

a

Neem de tabel over en vul deze in.

x

‐2

‐1

0

1

2

3

p :   y = 2 x + 3

q :   y = ‐1 1 2 x + 3

r :   y = x + 3

s :   y = 0 x + 3

Voor lijn p geldt:
Als x met 1 toeneemt, dan neemt y met 2 toe.

b

Neem over en vul in:

Bij q : Als x met 1 toeneemt, dan neemt y met ... toe.
Bij r : Als x met 1 toeneemt, dan neemt y met ... toe.
Bij s : Als x met 1 toeneemt, dan neemt y met ... toe.

Voor lijn p geldt:
Als x met 1 toeneemt, dan neemt y met 2 toe. Daarom zeggen we: de richtingscoëfficiënt van lijn p is 2. Voor de grafiek betekent dit: als je op een punt van de grafiek start en je gaat één eenheid naar rechts, dan moet je 2 eenheden omhoog gaan om weer op lijn p uit te komen. Zie figuur.

c

Schrijf de richtingscoëfficiënten van q , r en s op.

d

Teken de lijnen p , q , r en s . Neem de assen van ‐5 tot en met 5.

e

Zeg in eigen woorden wat het betekent als de richtingscoëfficiënt van een lijn positief is.
Zeg ook wat het betekent als de richtingscoëfficiënt negatief is.
En ook als de richtingscoëfficiënt nul is.

f

Hoe kun je aan de vergelijkingen direct zien dat de lijnen hetzelfde snijpunt met de y -as hebben?

Grafieken bekijken we van links naar rechts.
Daarom noemen we een lijn stijgend als de richtingscoëfficiënt positief is.
We noemen een lijn dalend als de richtingscoëfficiënt negatief is.

De rol van a en b in y = ax + b
5

k is de lijn met richtingscoëfficiënt 1 2 die de y -as in het punt ( 0,3 ) snijdt.

a

Teken lijn k . Laat de assen lopen van ‐5 tot en met 5. Geef naast het punt ( 0,3 ) nog drie roosterpunten van k aan.

b

Geef een vergelijking van k .

l is de lijn met richtingscoëfficiënt ‐1 1 3 die de y -as in het punt ( 0,1 ) snijdt.

c

Teken lijn l in het assenstelsel van vraag a. Geef naast het punt ( 0,1 ) nog twee roosterpunten van l aan.

d

Geef een vergelijking van l .

p is de lijn met richtingscoëfficiënt ‐1 . Verder gaat p door het punt ( ‐2,4 ) .

e

Teken p in het assenstelsel van vraag a.

f

In welk punt snijdt p de y -as?

g

Geef een vergelijking van p .

6
7
a

Teken een assenstelsel, neem de assen van ‐5 tot en met 5, en teken daarin de volgende drie lijnen. Zoek roosterpunten!
a :   y = 2 3 x + 4 , b :   y = 1 3 5 x 3 , c :   y = ‐1 1 4 x 1 1 2 .

b

Geef de coördinaten van de snijpunten van de drie lijnen met de y -as.

Een lijn gaat door het punt ( 0,1 ) en is evenwijdig met b .

c

Geef een vergelijking van die lijn.

Een lijn gaat door het punt ( 0,3 ) en is evenwijdig met c .

d

Geef een vergelijking van die lijn.

e

Welk punt met x -coördinaat 8 ligt op deze lijn?

6s
7s
a

Teken een assenstelsel, neem de assen van ‐5 tot en met 5, en teken daarin de volgende drie lijnen. Zoek roosterpunten!
a :   y = 2 3 x + 4 , b :   y = 1 3 5 x 3 , c :   y = ‐1 1 4 x 1 1 2 .

b

Kleur het gebied (blauw) waar de punten ( x , y ) liggen waarvoor geldt:
y ‐1 1 4 x 1 1 2 .

c

Kleur het gebied (rood) waar de punten ( x , y ) liggen waarvoor geldt:
2 3 x + 4 y 1 3 5 x 3 .

De grafiek bij de formule y = a x + b is een rechte lijn. We noemen deze formule een vergelijking van de lijn. Een verband tussen x en y van de vorm y = a x + b noemen we lineair.

  • Het getal a bepaalt de richting van de lijn: ga je vanuit een punt van de lijn één eenheid naar rechts, dan kom je weer op de lijn uit als je a eenheden omhoog gaat.
    a heet de richtingscoëfficiënt van de lijn.
    We korten richtingscoëfficiënt af met rc.

  • Het getal b bepaalt de hoogte waarop de lijn de y -as snijdt: de lijn snijdt de y -as in het punt ( 0, b ) . b wordt ook wel de beginhoogte genoemd.


Voorbeelden

k :   y = ‐2 x + 5
rc = ‐2, dus als je één eenheid naar rechts gaat, moet je twee eenheden naar beneden om weer op de lijn uit te komen.
Lijn k snijdt de y -as op hoogte 5 en gaat dus door het punt ( 0,5 ) .





m :   y = 1 2 x
rc = 1 2
Lijn m snijdt de y -as op hoogte 0. De lijn gaat dus door de oorsprong O ( 0,0 ) .

Twee speciale gevallen
8

We bekijken de lijn r :   y = 0 x + 1 .

a

Neem de tabel over en vul hem in.

x

‐2

‐1

0

1

2

3

y = 0 x + 1

b

Neem over en vul in:
Als x met 1 toeneemt, dan neemt y met ... toe.

c

Wat is de richtingscoëfficiënt van lijn r ?

d

Teken lijn r . Neem de assen van ‐5 tot en met 5.

Volgens Ton mag je het verband ook schrijven als y = 1 .

e

Wat vind jij hiervan?

9
a

Teken een assenstelsel en kleur de punten:
( ‐4,2 ) , ( ‐4 1 2 ,2 ) , ( ‐4 1 2 ,1 ) , ( ‐1,2 ) .

Twee van deze punten voldoen aan de vergelijking x = ‐4 1 2 .

b

Welke punten zijn dat?

c

Teken de grafiek bij de vergelijking x = ‐4 1 2 .

Horizontale lijn
De vergelijking y = p , waarbij p een zeker getal is, heeft als grafiek een horizontale lijn.
Een horizontale lijn heeft richtingscoëfficiënt 0.


Verticale lijn
De vergelijking x = q , waarbij q een zeker getal is, heeft als grafiek een verticale lijn.
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt: als je vanuit een punt op de lijn één eenheid naar rechts gaat en daarna omhoog of omlaag, kom je nooit meer in een ander punt van die lijn terecht.


In de figuur zijn de lijnen met de vergelijkingen x = ‐2 en y = 3 getekend.