Evenredige verbanden

Dolf gaat een pruimenvlaai bakken. Hij gebruikt een recept uit het Limburgs Vlaaienboek van Netty Engels-Geurts. De benodigde ingrediënten voor het deeg staan in het lijstje. Je kunt er 400 gram deeg mee maken. Het recept is voor één vlaai.

Dolf maakt meteen deeg voor twee vlaaien.

Hoeveel bakmeel, melk, suiker en boter heeft hij hiervoor nodig?

Ans bakt één extra grote vlaai. Hiervoor gebruikt ze 400 gram bakmeel.

Hoeveel melk, suiker en boter heeft ze nodig als ze met het bovenstaande recept werkt?

Als je de hoeveelheid bakmeel 3 keer zo groot maakt (als in het recept aangegeven), wat moet je dan met de hoeveelheid melk doen?
En met de hoeveelheid suiker?
En met de hoeveelheid boter?

In een pak zit nog 300 gram bakmeel.

Hoeveel deeg kun je hiervan maken?

Voor een vlaai worden $b$ gram bakmeel, $m$ gram melk, $s$ gram suiker en $t$ gram boter gebruikt. Een formule voor het verband tussen $m$ en $b$ is: $m = 0,28 \cdot b$ .
In deze formule is $m$ uitgedrukt in $b$ .

Druk $s$ uit in $b$ .
Druk ook $t$ uit in $b$ .

Geef ook formules waar je $b$ uitdrukt in $s$ en $b$ uitdrukt in $t$ .

Hoeveel bakmeel hoort bij 45 gram suiker?
Welke formule van opgave e of opgave f kun je voor deze vraag handig gebruiken?

Uit de formules van opgave f kun je een formule maken waarbij $s$ wordt uitdrukt in $t$ .

Laat zien hoe.

Familie De Vrij is op vakantie in Turkije. De munteenheid van Turkije is de Turkse Lira (TRL). Als er geld nodig is, wordt er ‘gepind’. Het gepinde bedrag in Lira’s wordt in euro’s omgerekend en van de VISA-rekening afgeschreven. Op een afrekening is te zien dat er voor een bedrag van 20.000.000 TRL gepind bij CARSI IRTIBAT ATM70 een bedrag van € 16,30 afgeschreven is.

Wat kosten 18 miljoen TRL in euro’s, volgens deze koers?

$E$ is het bedrag in euro’s dat je volgens deze koers voor $T$ miljoen Turkse Lira’s moet betalen.

Neem de tabel over en vul hem in.

$T$	18	20	30	40	54
$E$

Wat gebeurt er met $E$ als $T$ 6 keer zo groot wordt?
En als $T$ 3,1 keer zo groot wordt?

De koers van de Turkse Lira schommelt nogal ten opzichte van de koers van de euro.

Wanneer was de Lira goedkoper, op 10 mei bij de Akbank of op 11 mei? Licht je antwoord toe.

Twee variabelen $x$ en $y$ zijn evenredig.
Dat betekent: als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot.
Hierbij kun je voor $k$ elk getal kiezen dat je maar wilt.

De term evenredig betekent letterlijk gelijke verhouding. Hij is ingevoerd door Simon Stevin (1548-1620). In andere talen gebruikt men een woord dat lijkt op proportioneel.

Met beginwaarde ongelijk aan nul

Een kaartje voor een avond in de sportschool kost je € 10,-. Voor die prijs kun je de hele avond sporten in de sportschool. $x$ is het aantal keer dat je naar de sportschool gaat. $K$ is het bedrag (in euro’s) dat je kwijt bent.

Neem het assenstelsel over en teken de aantal-keer-kosten-grafiek.

Geef een formule voor het verband tussen $x$ en $K$ .

Is $K$ evenredig met $x$ ?

Je kunt ook een kortingskaart kopen, dan betaal je maar € 6,- per avond. Maar een kortingskaart kost je wel € 50,-, en is een jaar geldig. $Z$ is het bedrag (in euro’s) dat je kwijt bent, als je in een jaar $x$ keer naar de sportschool gaat met kortingskaart.

Teken de grafiek van dit verband in het assenstelsel van opgave a erbij.

Geef een formule voor het verband tussen $x$ en $Z$ .

Is het verband tussen $x$ en $Z$ evenredig?

Lees af hoeveel keer per jaar je minstens naar de sportschool moet om met een kortingskaart voordeliger uit te zijn.

De volgende dingen komen op hetzelfde neer:

$x$ en $y$ zijn evenredig,
als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot.
de verhouding $\frac{y}{x}$ is constant,
een formule voor het verband tussen $x$ en $y$ is van de vorm: $y = c \cdot x$ , voor een zeker getal $c$ .

Het getal $c$ wordt de evenredigheidsconstante genoemd.

Voorbeelden

opgave 5:
$m = 0,28 \cdot b$ , $m$ en $b$ zijn evenredig, de evenredigheidsconstante is 0,28.
opgave 6:
$K = 10 x$ , $K$ en $x$ zijn evenredig, de evenredigheidsconstante is 10.
$Z = 6 x + 50$ , $Z$ en $x$ zijn niet evenredig.

Jan Driessen heeft een zogenaamde witte pomp. Met zijn tankwagen brengt hij benzine en diesel van Rotterdam naar zijn pompstation. Die tankauto weegt leeg 10.000 kg. De dichtheid van benzine is 0,7 (dat wil zeggen dat één liter benzine 0,7 kg weegt), de dichtheid van diesel is 0,8.

Neem het assenstelsel over en teken de lading-totale gewicht-grafiek voor benzine. Zet er benzine bij.

Teken in hetzelfde assenstelsel ook zo’n grafiek voor diesel. Zet er diesel bij.

Het totale gewicht van de tankwagen noemen we $y$ (in kg) en het aantal liter brandstof $x$ .

Druk $y$ uit in $x$ als Jan Driessen benzine vervoert.

Druk ook $y$ uit in $x$ als Jan Driessen diesel vervoert.

Hoe kun je aan deze formules zien welke grafiek het steilste loopt?

Soms vervoert Driessen met zijn tankwagen ook stookolie. De dichtheid van stookolie is 0,95.

Druk $y$ uit in $x$ .

Welke grafiek loopt het steilst, die van de diesel of die van de stookolie?

Het gaat goed met de witte pomp van Driessen. Hij moet een tweede tankwagen kopen om aan de vraag te kunnen blijven voldoen. De nieuwe tankwagen weegt leeg 13.000 kg. In de grafiek is de benzine-totale gewicht-grafiek voor de oude tankwagen getekend.

Neem de figuur over en teken er de benzine-totale gewicht-grafiek voor de nieuwe tankwagen bij.

Druk het totale gewicht van de nieuwe tankwagen $y$ (in kg) uit in het aantal liter benzine $x$ dat er in de tank zit.

Hoe kun je aan de twee formules zien dat de bijbehorende grafieken evenwijdig lopen?

Hoe kun je aan deze twee formules zien dat de grafiek bij de nieuwe tankwagen hoger ligt dan de grafiek bij de oude?

Een andere tankwagen weegt leeg 6.000 kg.

Hoe loopt de grafiek benzine-totale gewicht-grafiek bij deze tankwagen, vergeleken met de twee andere grafieken?

In een elektrowinkel verkopen ze drie soorten snoer: twee-aderig snoer, drie-aderig snoer en tweelingsnoer. De voorraad zit op haspels.
Een leeg haspel weegt 800 gram. Twee-aderig snoer weegt 60 gram per meter, drie-aderig snoer 80 gram per meter en tweelingsnoer weegt 30 gram per meter. Het gewicht van de haspel met snoer $y$ (in gram) hangt af van $x$ , het aantal meters snoer dat er op een haspel zit.

Druk voor elk van de drie soorten snoer $y$ uit in $x$ .

Neem het assenstelsel over en teken de drie grafieken bij de formules.

Hoe kun je aan de formules zien welke grafiek het steilst loopt?

Het totale gewicht van de haspel met twee-aderig snoer is op een gegeven moment 3110 gram.

Hoeveel cm snoer zit er dan op die haspel?