Herhaling gelijkvormigheid
1

Joe, Jack, William en Averell Dalton zijn gevaarlijke desperado's.

Zijn de vier Daltons gelijkvormig? Licht je antwoord toe!

2

Afgebeeld zie je een nest van drie schalen. De kleinste is 4,5 cm hoog en de bovenkant is 13,4 bij 13,4 cm. De middelste is 6,7 cm hoog en de bovenkant is 20,0 bij 20,0 cm. De grootste is 7,4 cm hoog en de bovenkant is 22,5 bij 22,5 cm.

Ga na of er twee gelijkvormige schalen zijn.

3

De zeven stukken van het tangram sluiten precies op elkaar aan: een hoekpunt van een stuk valt samen met een hoekpunt van een buur-stuk of ligt op het midden van een zijde van het buur-stuk. De driehoeken I, II en III zijn gelijkvormig.

a

Met welke factor moet je de zijden van driehoek I vermenigvuldigen om de zijden van driehoek III te krijgen? Dat is dus de gelijkvormigheidsfactor van I naar III.

b

Geef ook de gelijkvormigheidsfactor van I naar II en van II naar III.

4

Een verkeersbord, een lantaarnpaal en een boom staan in de stralende zon.
Het verkeersbord is 2 meter hoog; zijn schaduw is 3 meter lang. De lantaarnpaal is 7 meter hoog. De boom heeft een schaduw van 21 meter.

a

Hoe hoog is de boom en hoe lang is de schaduw van de lantaarnpaal?

b

Hoe groot is de hoek die de zonnestralen maken met de grond?

  • Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur een uitvergroting is van de andere. De vorm van de figuren is dus precies hetzelfde; alleen de schaal waarop ze getekend zijn, is verschillend.

  • Twee gelijkvormige figuren hebben dezelfde hoeken.

  • Als van twee gelijkvormige figuren twee afmetingen (bijvoorbeeld de hoogten) zich verhouden als 2 : 3 , dan verhouden zich alle afmetingen als 2 : 3 .
    De gelijkvormigheidsfactor is dan 1 1 2 (of 2 3 ).

  • Als van twee driehoeken alle overeenkomstige zijden zich verhouden als 2 : 3 , dan zijn de driehoeken gelijkvormig.

  • Als twee driehoeken dezelfde hoeken hebben, dan zijn ze gelijkvormig. In het bijzonder in de tekeningen: als P Q evenwijdig is aan A B , dan zijn de driehoeken A B C en P Q C gelijkvormig.

5
8

Van de driehoeken A B C en P Q R zijn twee zijden en twee hoeken gegeven.

a

Hoe weet je zeker dat de driehoeken gelijkvormig zijn?

b

Bereken de twee ontbrekende zijden.

6
9

Een rechthoekige driehoek wordt door de hoogtelijn op de schuine zijde verdeeld in twee stukken. Het linker stuk heeft hoeken van 37 ° en 53 ° .

a

Bereken de hoeken van het andere stuk.
Zijn de twee stukken gelijkvormig? Hoe weet je dat?

Het linkerstuk heeft zijden van lengte 12, 16 en 20.

b

Bereken de zijden van het rechter stuk.

c

Zijn de twee stukken ook gelijkvormig met de hele driehoek?

7

In de rechthoek is een diagonaal getekend en een lijnstuk dat een hoekpunt met het midden van een zijde verbindt. De diagonaal wordt door dat lijnstuk in twee stukken verdeeld.

Bereken de verhouding van die twee stukken.

5s
8s

A B C D . E F G H is een kubus met ribbe 6. k is de lijn die door A gaat en door het midden van H G . k snijdt het diagonaalvlak B C H E in het punt X . We gaan berekenen hoe hoog X boven het grondvlak ligt. Het vooraanzicht kan ons daarbij helpen.

a

Teken het vooraanzicht van de kubus met daarin lijn k en diagonaalvlak B C H E (bij kijkrichting A D ).

In dit vooraanzicht komen twee gelijkvormige driehoeken voor.

b

Kleur die driehoeken.
Wat is de gelijkvormigheidsfactor van de kleine naar de grote driehoek?

c

Hoe hoog ligt punt X boven het grondvlak?

6s
9s

A B C D . T is een regelmatige vierzijdige piramide. De zijden van het grondvlak en de hoogte zijn 6. In de piramide bekijken we vierhoek B C P Q , waarbij P en Q de middens zijn van achtereenvolgens D T en A T . M is het midden van ribbe C T . De lijn A M snijdt vlak B C P Q in het punt X .

a

Teken het aanzicht van de piramide in de kijkrichting A D . Geef daarin vlak B C P Q , lijn A M en snijpunt X aan.

b

Kleur in het aanzicht de driehoeken A B X en M P X .

De driehoeken A B X en M P X zijn gelijkvormig.

c

Wat is de gelijkvormigheidsfactor van de kleine naar de grote driehoek?

d

Hoe hoog ligt X boven het grondvlak?

10

Bereken x in het plaatje.

(hint)
Toon met gelijkvormigheid aan dat 3 x = x + 3 .

Schaduwen
11

's Avonds brandt de straatlantaarn boven het dorpsplein. De lantaarn is 6 meter hoog. Dingen in de buurt van de lantaarn hebben een schaduw.

a

Als je naar de lantaarn toe loopt, wordt dan je schaduw korter of langer?

Op 5 meter afstand staat een verticale paal van 3 meter hoogte. Afgebeeld staan twee tekeningen van de situatie: een aanzicht en een ruimtelijk plaatje.
De plaatjes staan ook op het werkblad.

b

Geef in beide plaatjes de schaduw op de grond aan. Teken daarvoor de lichtstralen vanuit het midden van de lantaarn (aangegeven met een stip).

c

Hoe lang is de schaduw van de paal? Gebruik gelijkvormigheid.

Een man van 2 meter staat recht onder de lantaarn; hij heeft nu geen schaduw. De man loopt in een rechte lijn van de lantaarn weg. In het aanzicht is de plaats van de man aangegeven als hij 2, 4 en 6 meter van de lantaarn af is. Zijn schaduw bij 2 meter is al getekend.

d

Teken op het werkblad de andere twee schaduwen op de grond erbij.

e

Bereken de lengte van de drie schaduwen.

f

Hoe lang is de schaduw als de man x  meter van de lantaarn af is?

12

Een man van 2 meter passeert de lantaarn van 6 meter hoogte op 4 meter afstand. Getekend staat het bovenaanzicht en een ruimtelijke tekening van de situatie.
De drie aangegeven plaatsen liggen op onderlinge afstand van 3 meter.

a

Teken de schaduwen in elk van de drie posities in het ruimtelijk plaatje op het werkblad.

b

Teken de schaduwen in het bovenaanzicht op het werkblad.

13

Op het dorpsplein staan twee paaltjes van verschillende hoogte. Het is donker.
Een straatlantaarn van 6 meter hoog brandt. In het bovenaanzicht zijn de schaduwen van de paaltjes getekend op schaal 1 : 100 .

a

Bepaal in het bovenaanzicht de plaats van de straatlantaarn.

b

Welk van de twee paaltjes is het hoogst? Waarom?

Paaltje A staat 2 meter van de lantaarn af en heeft een schaduw van 2 meter lengte (meet maar na op het werkblad).

c

Bereken hoe hoog paaltje A is.

d

Bereken hoe hoog paaltje B is. Doe daarvoor eerst een geschikte meting in het plaatje op het werkblad.

Hoe vind je de schaduw?

Op het dorpsplein is de letter A verticaal opgesteld (een kunstwerk). Voor het gemak hebben we de vijf hoekpunten een naam gegeven: P , Q , R , S en T .
We gaan hoekpunt voor hoekpunt de schaduw bepalen.

  • P is op de grond, dus P is zijn eigen schaduw.

  • Evenzo is Q zijn eigen schaduw.

  • R ligt recht boven het midden M van P Q . Trek de lijn over de grond door het voetpunt van de lantaarn en het midden M . Trek de lijn door het lichtpunt en R . Het snijpunt van de lijnen is de schaduw van R . Nu kun je de schaduw van de lijnstukken P R en Q R tekenen.

  • Trek een lijn door het lichtpunt en S . Waar die de schaduw van P R snijdt, is de schaduw van S .

  • Evenzo vind je de schaduw van T . Je kunt nu ook de schaduw van lijnstuk S T tekenen.

14

Voer bovenstaande instructies uit op het werkblad.

15

Midden achter het doel staat een lamp, zie plaatje.

Teken op het werkblad de schaduw van de doelpalen en van de lat op het veld.

16

De kubus staat op tafel. In het voorvlak van de kubus zijn drie punten aangegeven: A , B en C . In het hoekpunt links-achter-boven bevindt zich een lampje.
Als voorbeeld is het schaduwbeeld A ' van A op tafel geconstrueerd.

a

Construeer zo ook de schaduwbeelden B ' en C ' .

In het voorvlak van de kubus is ook het lijnstuk getekend waarop de drie punten A , B en C liggen.

b

Teken het schaduwbeeld van dit lijnstuk.


De schaduw van lijn A B is de gemeenschappelijke lijn van het tafelblad en het vlak door lijn A B en het lichtpunt.

17
19

Evenwijdig aan de vloer hangt een glasplaat met een metalen rand. Daarboven schijnt een lamp. De schaduw van de rand op de vloer is al getekend.

a

Teken de lichtstralen die door de hoekpunten gaan.

Over de glasplaat kruipt een tor van A naar B ; zijn schaduw beweegt over de vloer.

b

Teken het schaduwspoor van de tor.

De glasplaat is even ver van de vloer als van de lamp. De schaduw beweegt sneller dan de tor zelf.

c

Hoeveel keer zo snel?

18

Een glazen tafel heeft een metalen rand. Midden boven de tafel brandt een lamp.
De tekening staat ook op het werkblad.

a

Bepaal de plek op de grond die recht onder de lamp ligt.

b

Teken op het werkblad de schaduw van de tafelrand en van de poten van de tafel op de vloer.

De tafel is 60 cm hoog; de lamp hangt 1,80 m boven de vloer. De tafel meet 120 bij 90 cm.

c

Wat zijn de afmetingen van de schaduw van de tafelrand?

17s
19s

Getekend is kubus A B C O . D E F G met A ( 3,0,0 ) , C ( 0,3,0 ) en G ( 0,0,3 ) . S is het punt ( 0, 2,0 ) . Er brandt ergens een lampje zó, dat C de schaduw van F op het O x y -vlak is en S de schaduw van G .

a

Bereken de coördinaten van de plaats van het lampje.

b

Teken in een rooster de schaduw van de kubus op het O x y -vlak.

Op de bovenkant van de kubus zit een vlek V ( 1,2,3 ) .

c

Bereken de coördinaten van de schaduw van V .

Het lampje kan op en neer geschoven worden over het verlengde bij F van lijnstuk F C .

d

Waar moet het lampje zitten als de schaduw van driehoek A E G een lijnstuk is?

20

Een kubus met ribbe 3 cm staat op tafel. In het hoekpunt links-boven-achter brandt een lampje. Er is een ondoorzichtig driehoekig karton aangebracht in de kubus: twee van de hoekpunten zijn middens van ribben, één hoekpunt is hoekpunt van de kubus.

a

Kleur op het werkblad de schaduw van het karton op de tafel.

b

Teken in een bovenaanzicht de kubus op ware grootte. Teken daarin de schaduw.

21

Een kubus staat op tafel. In het voorvlak ligt lijnstuk L . In het hoekpunt links-boven-achter brandt een lampje.

a

Teken de schaduw van L .

b

Als de tafel niet vlak is maar hobbelig, is de schaduw van L dan ook een recht lijnstuk? Verklaar je antwoord.

c

Wat gebeurt er met de schaduw van L als we het lampje verticaal naar beneden verplaatsen?

d

Hoe ver moet je het lampje laten zakken opdat er geen schaduw meer op de tafel zal zijn?

22

In opgave 26 heb je drie schaduwbeelden getekend van een wandelaar op het dorpsplein. Als het goed is, heb je het afgebeelde figuur gemaakt. De kruin van het mannetje beweegt volgens een rechte lijn. Daarom beweegt ook de kruin van de schaduw volgens een rechte lijn.

Wat gebeurt er met de kruin van de schaduw als het mannetje door een kuil loopt?

23
24

Een huis heeft een schuin-aflopend plat dak. Een tor kruipt in de buurt van het huis over de grond.

a

Kleur op het werkblad het gebied van waaruit de tor op het dak kan kijken.

De achtergevel is 7 meter hoog, de voorgevel 5 meter. De zijgevels zijn 6 meter breed.

b

Teken het zijaanzicht van het huis op schaal 1 : 200 .

c

Bereken hoever de tor minstens voor het huis moet zijn om op het dak te kunnen kijken.

d

Hoe groot is de hoek die het dakvlak maakt met de begane grond (in één decimaal)?

23s
24s

Het gebouw hiernaast heeft hoekpunten O ( 0,0,0 ) , A ( 4,0,0 ) , B ( 0,4,0 ) , C ( 0,4,4 ) , D ( 4,0,4 ) en E ( 0,6,0 ) . Een tor kruipt in de buurt van het huis over de grond.

a

Kleur op het werkblad het gebied van waaruit de tor op het dak (driehoek C D E ) kan kijken.

b

Hoe groot is de hoek die het dakvlak maakt met de begane grond (in één decimaal)?