24.4  Inv sin en inv cos >

In driehoek A B C noemen we
de grootte van hoek A : α
de grootte van hoek B : β
de grootte van hoek C : γ
de lengte van de zijde tegenover hoek A : a
de lengte van de zijde tegenover hoek B : b
de lengte van de zijde tegenover hoek C : c

Dit is aangegeven in het plaatje.

1
a

Teken zo precies mogelijk een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 4 cm is en een rechthoekszijde 3 cm.

Het hoekpunt tegenover de zijde van 3 cm noemen we A , het hoekpunt met de rechte hoek: C .
Dus a = 3 en c = 4 .

b

Meet α zo nauwkeurig mogelijk en schrijf het resultaat in de juiste hoek van de driehoek.

c

Bereken de exacte waarde van sin(α).

d

Bereken de hoek α met de applet "brandweerladder" .

Als je een rechthoekige driehoek hebt met schuine zijde 1, is de lengte van de overstaande zijde van een hoek precies gelijk aan de sinus van die hoek. Ga dat na.
In de applet "invsin" wordt steeds een rechthoekige driehoek getekend met schuine zijde 1. Met een schuif kun je de overstaande zijde (dus de sinus) van de aangegeven hoek regelen.
Op die manier vind je met de applet hoek α als je sin(α) kent.

Met je rekenmachine kun je hoek α ook vinden als je sin(α) kent. Dat gaat met de knoppen "inv" en "sin", of "shift" en "sin", of "2nd" en "sin" of nog anders.
Op de machine hiernaast moet je de knoppen "shift" en "sin" gebruiken. Op soortgelijke wijze vind je de grootte van een hoek uit zijn cosinus.
Let op.
Niet alle rekenmachine werken hetzelfde. Vraag je leraar of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.
Deze hiernaast werkt met "shift".


Voorbeeld 5
Van een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde 3 en de schuine zijde 5,8 .
Hoe groot zijn de twee scherpe hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig?
Oplossing
De hoek tegenover de zijde van lengte 3 noemen we α.
Dan is sin(α) = 3 5,8 dus (rekenmachine): α = shift sin( 3 5,8 ) 31 ° .
De hoek aan de zijde van lengte 3 noemen we β.
Dan is cos(β) = 3 5,8 dus (rekenmachine): β = shift cos( 3 5,8 ) 59 ° .
(Je had β ook uit kunnen rekenen met behulp van α, want samen zijn ze 90 ° .)

2
a

Teken een rechthoekige driehoek A B C waarvan de rechthoekszijde A C lengte 4 heeft en de schuine zijde A B lengte 5 .

b

Meet hoek A en schrijf het resultaat op de juiste plaats in de driehoek.

c

Bereken cos(α) en bepaal daarna met je rekenmachine α.

d

Hoe vind je α met "brandweerladder" ?

3

Jaap heeft berekend: sin(α) = 1,12 .
Hij probeert α te berekenen, maar dat gaat niet met de rekenmachine.

Waarom lukt dat niet?

4
5

In driehoek A B C is hoek B recht. a = 10 en b = 17 .

a

Bereken α in graden nauwkeurig.

In driehoek A B C is hoek B recht.
c = 12 en b = 19 .

b

Bereken α in graden nauwkeurig.

c

Hoe kun je je antwoord in het eerste onderdeel controleren met "brandweerladder" en hoe het antwoord op het tweede onderdeel?

4s
5s

Bekijk het plaatje. De deur aan het einde van een donkere gang staat een stukje open. In de gang zie je maar 1 3 deel van de deuropening. De rest van de deuropening zie je niet, daar zit de deur nog voor.

Bereken de hoek waarover de deur opengedraaid is in graden nauwkeurig.
Je kunt "deze applet" gebruiken om je antwoord te controleren.

6

In de Volkskrant van 27 juli 1998 stond het volgende stukje over de Tour de France.
De Galibier, achttien kilometer klimmen met een gemiddeld stijgingspercentage van 6,8 procent lijkt vandaag voor Pantani dé ideale aanvalsmogelijkheid (op het plateau de Beille, vorige week woensdag, won Pantani vijftien seconden per kilometer op Ullrich).

Een weg heeft een stijging van 5 % betekent: als je 100  meter over de weg fietst, dan ben je 5  meter in hoogte gestegen.
(Eigenlijk: per 100  meter horizontaal. Maar dat is moeilijk te meten, dus wordt vaak als benadering voor de berekening per 100  meter over de weg gebruikt. Voor kleine hellingshoeken maakt dat bijna niets uit.)

a

Welk hoogteverschil moeten de renners overwinnen naar de top van de Galibier?

Volgens een verslaggever van radio Tour de France heeft de weg naar de top van de Tourmalet een gemiddeld stijgingspercentage van 7 % met pieken tot 11 % .
In het plaatje is een weg getekend met een stijgingspercentage van 7 % .
De hellingshoek van de weg is de hoek die de weg met een horizontaal vlak maakt (in de tekening: α).

b

Bepaal α met je rekenmachine.

c
Hoe groot is de hellingshoek van een weg met een stijgingspercentage van 11 % ?

Om op de top van de Tourmalet te komen moet het groepje met Boogerd nog 400  meter hoogte winnen. (Het stijgingspercentage is 7 % .)

d

Hoeveel km moet het groepje nog afleggen naar de top (in één decimaal)?

7
9

Van een driehoek zijn de zijden 5 , 12 en 13 cm.

a

Teken deze driehoek

b

Met de omgekeerde stelling van Pythagoras kun je narekenen dat de driehoek rechthoekig is. Doe dat.

c

Bereken de hoeken van de driehoek in één decimaal.

8

De gelijkbenige driehoek in het plaatje heeft zijden van 17 , 17 en 16 cm.

a

Bereken de oppervlakte van de driehoek.

b

Bereken de hoeken van de driehoek (in één decimaal).

7s
9s

Voor de gegevens bekijk je het plaatje.

Bereken A B en β in één decimaal.