Brandweer

De ladder op een brandweerauto kun je uitschuiven en je kunt de hoek met de grond veranderen. Zo kun je de reikhoogte en de reikwijdte van de ladder variëren.

We bekijken de volgende vier dingen:
de lengte van de ladder (arm), de hoek die de ladder ten opzichte van de horizontale stand omhoog gedraaid is (draaihoek), de reikwijdte en de reikhoogte.

Je hebt in de voorgaande opgave nog niet alle gevallen gezien, maar het volgende geldt.

Met de applet "brandweerladder" kun je twee van de vier (arm, draaihoek reikhoogte, reikwijdte) vastleggen en de ontbrekende twee bepalen.
Kijk even hoe het werkt.

Bij een gegeven hoek α verandert de breuk $\frac{\text{reikhoogte}}{\text{lengte van de hijsarm}}$ niet.

Bij het maken van de tabel in opgave 10c, heb je daar gebruik van gemaakt.

De breuk (oftewel verhouding) $\frac{\text{reikhoogte}}{\text{lengte van de hijsarm}}$ noemen we de sinus van de hoek α, afgekort: sin(α).

Hijsarm, reikhoogte en reikwijdte vormen een rechthoekige driehoek.
De reikhoogte noemen we meestal de overstaande rechthoekszijde van hoek α. Hij ligt in de driehoek tegenover hoek α.
Hoe groot je de rechthoekige driehoek met hoek α maakt, doet niet ter zake.

Vanwege gelijkvormigheid blijft de breuk $\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}$ hetzelfde.

Bij een gegeven hoek α hangt ook de breuk (oftewel verhouding) $\frac{\text{reikwijdte}}{\text{lengte van de hijsarm}}$ niet van lengte van de hijsarm af.

Deze breuk noemen we de cosinus van α, afgekort cos(α).

De reikwijdte bij de hoek α noemen we meestal de aanliggende rechthoekszijde van hoek α. In de driehoek grenst hij aan hoek α.

We vatten bovenstaande samen.

In de volgende voorbeelden zie je hoe de twee formules hierboven werken. Je mag alleen de rekenmachine te gebruiken.
Met de applets kun je je resultaten eventueel controleren.
Je kunt ook aan de opgaven beginnen zonder eerst de voorbeelden te bekijken.

Voorbeeld 1

De arm van een hijskraan maakt een hoek van $35°$ met de grond. De reikhoogte is $12$ meter.
Wat is de lengte van de hijsarm in dm nauwkeurig?
Oplossing
We maken een schets zoals in het plaatje.
Door in de eerste formule in te vullen vind je:
$12=\text{arm}\cdot \text{sin}(35°)$.
De rekenmachine geeft sin$(35°)=\mathrm{0,5735...}$,
dus $12=\text{arm}\cdot \mathrm{0,5735...}$,
dus arm = $\frac{12}{\mathrm{0,5735...}}\approx \mathrm{20,9}$ m.
De arm is ongeveer $209$ dm.

Voorbeeld 2

De hijsarm van een hijskraan maakt een hoek van $35°$ met de grond. De arm is $8$ meter lang.
Wat is de reikwijdte van de kraan in dm nauwkeurig?
Oplossing
We maken weer een schets.
Door in de tweede formule in te vullen vind je:
$\text{reikwijdte}=8\cdot \text{cos}(35°)$.
De rekenmachine geeft cos$(35°)=\mathrm{0,8191...}$,
dus $\text{reikwijdte}=8\cdot \mathrm{0,8191...}\approx \mathrm{6,6}$ m.
De reikwijdte is ongeveer $66$ dm.

Voorbeeld 3

Bekijk de rechthoekige driehoek in het plaatje. De schuine zijde is $2$, de rechthoekszijden zijn $a$ en $b$.
De hoek tegenover zijde $b$ is $40°$.
Bereken $a$ en $b$ in twee decimalen.
Oplossing
$b=2\cdot \text{sin}(40°)=2\cdot \mathrm{0,642...}\approx \mathrm{1,29}$ en
$a=2\cdot \text{cos}(40°)=2\cdot \mathrm{0,766...}\approx \mathrm{1,53}$

Voorbeeld 4

Bekijk het plaatje voor de gegevens.
Bereken $a$ en $b$ in twee decimalen.
Oplossing
$10=a\cdot \text{cos}(32°)=a\cdot \mathrm{0,848...}$, dus
$a=\frac{10}{\mathrm{0,848...}}\approx \mathrm{11,79}$ en
$b=a\cdot \text{sin}(32°)=a\cdot \mathrm{0,529...}\approx \mathrm{6,25}$