Afspraak over coördinaten

Afspraak

In een ruimtelijk assenstelsel noemen we de eerste coördinaat van een punt in de regel $x$ , de tweede coördinaat $y$ en de derde coördinaat $z$ .

De volgende zin legt een verband vast in de ruimte:
de som van de coördinaten is gelijk aan zes.

Geef een formule voor dit verband.

Voldoet het punt $(1,2,3)$ aan dit verband?

De kubus heeft drie ribben langs de coördinaatassen. $(0,0,0)$ is dus één van de hoekpunten. Op de kubus zijn 37 roosterpunten aangegeven. De figuur staat ook op het werkblad.

Kleur op je werkblad alle van deze roosterpunten die aan het verband voldoen.

De volgende zin legt een verband vast in de ruimte: de eerste en de derde coördinaat zijn gelijk.

Geef een formule voor dit verband.

Hiernaast is opnieuw de kubus uit opgave 28 getekend. De kubus staat ook op het werkblad.

Kleur op je werkblad alle van de 37 aangegeven punten die aan het verband voldoen.

Geef met een andere kleur de punten aan die voldoen aan het verband met formule: $z = 2$ .

Welke van de 37 roosterpunten voldoet aan beide verbanden?

Het is duidelijk dat grafieken van verbanden in de ruimte veel moeilijker te lezen en te maken zijn dan in het platte vlak. Dat doen we dan ook zelden. In de volgende opgaven doen we een bescheiden poging om ruimtelijke grafieken te maken.

Een vlak in de ruimte

We bekijken het verband met formule $x + 3 y + 2 z = 12$ . We gaan alle roosterpunten tekenen die aan dit verband voldoen met alle drie de coördinaten positief of nul.

Neem $z = 2$ . Dan zijn er drie mogelijkheden, namelijk $(8,0,2)$ , $(5,1,2)$ en $(2,2,2)$ . Controleer maar. Het eerste punt van deze drie is al getekend. Deze figuur staat ook op het werkblad.

Teken op je werkblad de andere twee punten.

Nu zijn alle drie de punten met $z = 2$ getekend die aan het verband voldoen.

Teken op je werkblad ook de punten met $z = 0$ die aan het verband voldoen.
En de punten met $z = 1$ , $z = 3$ , $z = 4$ , $z = 5$ en $z = 6$ .

Als je het goed gedaan hebt, heb je in totaal negentien punten gevonden die aan het verband voldoen met niet-negatieve coördinaten.
Er zijn natuurlijk ook punten die aan het verband voldoen met één of meer negatieve coördinaten.

Noem er een paar.

Zijn er ook punten die aan het verband voldoen met alle drie de coördinaten negatief?

En dan heb je natuurlijk nog vreselijk veel punten die aan het verband voldoen, waarvan de coördinaten niet geheel zijn.

Noem er een paar.

Waarschijnlijk heb je wel in de gaten dat de punten die aan het verband voldoen niet kriskras door elkaar liggen. De grafiek is namelijk een perfect plat vlak.

We bekijken het verband met formule $x + y + z = 4$ .

Teken in het assenstelsel op je werkblad alle roosterpunten met niet-negatieve coördinaten die aan dit verband voldoen.

Snijlijn van vlakken

Getekend is een balk van 10 bij 5 bij 5 met drie ribben langs de assen.
Uit de balk is een hap weggenomen. De 43 roosterpunten die daardoor zichtbaar zijn geworden, zijn dik aangegeven.
De tekening staat ook op het werkblad.

Kleur op je werkblad alle van deze 43 punten die voldoen aan het verband $x + y + z = 16$ .

Welke van deze punten voldoen ook aan het verband $2 x + 3 y + z = 32$ ? Geef die punten in het plaatje op je werkblad aan.

28 van de 43 punten zijn niet gekleurd.

Hoe groot is de som van de coördinaten $x + y + z$ van deze punten?

Getekend staat een balk van 4 bij 4 bij 6 met drie ribben langs de assen.
De punten die voldoen aan het verband $4 x - y + 2 z = 8$ liggen in een vlak V. Het stuk van V dat binnen de balk ligt of op de rand ervan, is een vierhoek. Die vierhoek is getekend.
De tekening staat ook op het werkblad.

Het hoekpunt rechtsonder van de vierhoek is $(3,4,0)$ .

Ga door een berekening na dat dat punt inderdaad aan het verband $4 x - y + 2 z = 8$ voldoet.

Geef de andere drie hoekpunten van de vierhoek. Gebruik de formule van het verband.

De punten die voldoen aan het verband $x + y + z = 3$ liggen in een vlak W. Het stuk van W dat binnen de balk ligt of op de rand ervan is een driehoek.

Kleur op je werkblad die driehoek.

We bekijken de punten die zowel tot V als tot W behoren. Dat is de zogenaamde snijlijn van V en W.

Teken op je werkblad die snijlijn.

Voor de punten op de snijlijn geldt: $4 x - y + 2 z = 8$ en $x + y + z = 3$ . Er ligt maar één punt op de snijlijn met als coördinaten gehele getallen gelijk aan of groter dan nul.

Probeer dit roosterpunt te vinden.

We kunnen het roosterpunt ook berekenen.

Schrijf beide formules in de gedaante: $y = ...$

Door deze twee formules te combineren, krijg je een formule “zonder $y$ ”.

Schrijf die formule in de gedaante: $... \cdot x + ... \cdot z = ...$

Met deze laatste formule kun je het roosterpunt op de snijlijn vinden.

Welk punt vind je?