Vuistregels

Door het aantal seconden te tellen tussen het zien van een bliksemflits en het horen van de donderslag, kun je bepalen hoe ver het onweer verwijderd is. Dit doe je met de volgende vuistregel.

De afstand (in km) tot het onweer vind je door het aantal seconden te delen door 3.

Hoe ver weg is het onweer als er 12 seconden zit tussen het zien van de flits en het horen van de donder?

De tijd (in seconden) tussen de flits en de donder noemen we $t$ , de afstand (in km) tot het onweer noemen we $a$ . Er is een verband tussen de tijd $t$ en de afstand $a$ . Je kunt dit verband beschrijven met de formule $a = t : 3$ . Het verband kan ook met een tabel of een grafiek worden vastgelegd.

Neem de tabel over en vul hem in.

Neem het assenstelsel over. Geef de informatie uit de tabel weer door stippen. Teken vervolgens de volledige grafiek door de stippen te verbinden.

Henk en Carla zijn op vakantie in Amerika. Ze rijden met een huurauto naar Eureka. Onderweg komen ze het verkeersbord tegen. Daarop staan de afstanden in miles. Henk en Carla willen weten hoeveel kilometer ze nog moeten afleggen. Henk kent de volgende vuistregel.

De afstand in kilometers krijg je door de afstand in miles te vermenigvuldigen met 8 en vervolgens te delen door 5.

Hoeveel kilometer is het nog naar Eureka?

Neem de tabel over en vul hem in.

De afstand in miles noemen we $m$ , de afstand in kilometers $k$ . Je kunt een formule maken bij het verband tussen de variabelen $m$ en $k$ .

Neem de formule over en vul een passend getal in: $k = ... \cdot m$ .

In deze formule is $k$ uitgedrukt in $m$ .

Hoog in de bergen is de lucht kouder en ijler dan beneden in het dal: de temperatuur en de luchtdruk zijn daar lager.
Iemand, met vakantie in Oostenrijk, heeft tijdens een bergwandeling de temperatuur en de luchtdruk op verschillende hoogten gemeten:

$h$ = hoogte in meters,
$t$ = temperatuur in °C,
$d$ = luchtdruk in millibar.

Neem het assenstelsel over en geef elke temperatuurmeting weer door een stip. Teken vervolgens de volledige grafiek.

Op welke hoogte is het 0 °C?

Tussen de hoogte $h$ en de temperatuur $t$ is een verband dat met een vuistregel kan worden beschreven.

Maak de vuistregel af:
Elke 100 meter stijging, daalt de temperatuur ... .

Maak de onderstaande formule voor het verband tussen $h$ en $t$ af door het passende getal in te vullen.
$t + \frac{1}{100} h =$ ...

Je kunt de formule ook anders schrijven.

Neem over en vul in:
$100 t + h =$ ...

Er is ook een verband tussen de hoogte $h$ en de luchtdruk $d$ .

Neem het assenstelsel over en geef elke luchtdrukmeting weer door een stip.
Teken vervolgens de volledige grafiek door de stippen met een vloeiend lopende lijn te verbinden.

Van dit verband kun je niet zo eenvoudig een formule geven.

Als een automobilist uit alle macht remt, staat de auto nog niet meteen stil. De afstand die hij nog aflegt, nadat het rempedaal is ingedrukt, noemt men de remweg. Hoe groot de remweg is, hangt af van de snelheid waarmee de auto rijdt. Er is een verband tussen de snelheid en de remweg. Het verband kan in woorden worden beschreven:
de remweg van een auto is evenredig met het kwadraat van de snelheid.
Dit betekent dat als de snelheid $n$ keer zo groot is, de remweg $n^{2}$ keer zo groot is.

Op de provinciale weg is de toegestane snelheid 80 km/u; op de snelweg 120 km/u.

Hoeveel keer zo lang is de remweg op de snelweg als op de provinciale weg?

Getekend zie je een snelheid-tijd-grafiek van een remmende auto. De automobilist reed 50 km/u en remde uit alle macht.

Neem de figuur over en teken de grafiek die hoort bij een even hard remmende auto die 150 km/u reed.

Bij natuurkunde leer je dat de remweg overeenkomt met de oppervlakte onder zo’n grafiek.

Leg met behulp van de grafieken uit waarom de remweg (de oppervlakte onder de grafiek) negen keer zo groot is als de snelheid verdrievoudigt.

Verbanden en rechte lijnen

Op een thermometer staan vaak twee schaalverdelingen: die van Celsius en die van Fahrenheit.
Wij gebruiken eigenlijk alleen maar de schaal van Celsius; in Engeland en de VS gebruikt men meestal de schaal van Fahrenheit. Graden Celsius wordt afgekort met °C, graden Fahrenheit met °F.

De Zweed Anders Celsius en de Duitser Gabriël Fahrenheit waren natuurkundigen in de achttiende eeuw. Beiden hebben een thermometer ontworpen.

Anders Celsius
1701-1744

Gabriël Fahrenheit
1686-1736

Welke temperatuur geeft de thermometer aan in graden Celsius? En in graden Fahrenheit?

0 °C komt overeen met 32 °F; 100 °C met 212 °F.

Hoeveel °F komt dus overeen met 50 °C? Controleer je antwoord met behulp van de thermometer.

Er is een verband tussen de temperatuur in graden Celsius en de temperatuur in graden Fahrenheit. Met behulp van het blokschema hieronder kun je elke temperatuur omrekenen van °C naar °F.

Controleer of het blokschema klopt voor 0 °C, voor 50 °C en voor 100 °C.

Het aantal graden Celsius noemen we $c$ , het aantal graden Fahrenheit $f$ .

Neem de tabel over en reken de temperaturen in de tabel om naar °F.

Neem het assenstelsel over en teken de grafiek van het verband.

Bij welke temperatuur is de temperatuur in °C gelijk aan de temperatuur in °F?

We gaan op zoek naar een formule voor het verband tussen de variabelen $c$ en $f$ . De formule vind je door het blokschema toe te passen op de letter $c$ . Dus $c \to 1,8 c \to ...$

Geef de formule voor $f$ uitgedrukt in $c$ .

In klas 1 heb je kennisgemaakt met de regelmatige veelvlakken. Deze zijn hieronder afgebeeld.

We tellen het aantal grensvlakken, hoekpunten en ribben van de regelmatige veelvlakken.

Neem de tabel over en vul hem in.

Er is een verband tussen het aantal grensvlakken $G$ , het aantal hoekpunten $H$ en het aantal ribben $R$ van een regelmatig veelvlak.

Geef een formule voor dit verband.

Het verband staat bekend als de formule van Euler.

Het 32-vlak ontstaat door alle twaalf de hoeken van een icosaëder af te zagen. Het 32-vlak wordt begrensd door twaalf vijfhoeken en twintig zeshoeken en heeft de vorm van een voetbal.

Ga na of de formule van Euler geldt voor dit 32-vlak.

Ga na of de formule van Euler geldt voor een $n$ -zijdige piramide en een $n$ -zijdig prisma.

De formule van Euler geldt voor alle sferische veelvlakken. Wil je hier meer over weten, vraag dan je docent eens naar het tijdschrift Pythagoras van december 2002.

Anneke verhuist van Wageningen naar Amsterdam. Daar gaat ze studeren. Voor de verhuizing heeft haar vader een Ford Transit (8,5 m³ laadruimte) gehuurd bij verhuurbedrijf Roelofs. Dat kost €60,-. De eerste 100 km zijn vrij; die zijn als het ware in het vaste bedrag van €60,- verrekend. Voor elke kilometer daarboven moet 30 cent betaald worden. Annekes vader hoeft maar één keer heen en terug te rijden van Wageningen naar Amsterdam. De afstand Wageningen-Amsterdam is 80 km.

Bereken wat Annekes vader voor de retourrit bij Roelofs moet betalen.

Neem de tabel voor het verband tussen het te rijden aantal km $a$ en de kosten $k$ (in euro’s) over en vul hem in.

Neem het assenstelsel over en teken de grafiek van het verband.

We gaan op zoek naar een formule voor het verband tussen de variabelen $a$ en $k$ . We onderscheiden twee gevallen.

Neem de onderstaande formules over en maak deze af.

Als $a \leq 100$ , dan $k = ...$
Als $a > 100$ , dan $k = ... + 0,3 \cdot (... - ...)$

Bij welk aantal kilometers kost de huurauto in totaal bij Roelofs €99,-? Schrijf je berekening op.

Andere verbanden

Als een automobilist uit alle macht remt, staat de auto nog niet meteen stil. De afstand die de auto nog aflegt, nadat het rempedaal is ingedrukt, noemt men de remweg. Hoe groot de remweg is, hangt af van de snelheid waarmee de auto rijdt. Getekend is een grafiek van het verband tussen de variabelen snelheid (in km/u) en remweg (in meters) van een auto. Deze grafiek staat ook op het werkblad.

Lees uit de grafiek de remweg af van een auto die 50 km/u rijdt.

Voorspel de remweg van een auto die 150 km/u rijdt. Leg uit hoe je dit aangepakt hebt.

Op veel autosnelwegen in Nederland is de maximale toegestane snelheid 120 km/u. Een auto is geslipt en in de berm terecht gekomen. De politie wil weten of de automobilist te hard gereden heeft en meet het remspoor: 105 meter.

Lees uit de grafiek de snelheid van de auto af.

Met het blokschema kun je bij een gegeven snelheid de remweg uitrekenen.

Bereken de remweg van een auto die 80 km/u rijdt. En van een auto die 40 km/u rijdt.

De snelheid noemen we $v$ (in km/u), de remweg $r$ (in meters). We gaan op zoek naar een formule voor het verband tussen de variabelen $v$ en $r$ . De formule vind je door het blokschema toe te passen op de variabele $v$ . Dus $v \to \frac{1}{10} v \to ... \to ...$

Welke formule vind je? Schrijf de formule in de gedaante $r = ... \cdot v^{2}$ .

Ga met behulp van de formule na of de door jou afgelezen snelheid bij c precies goed is.

Een vrachtwagen heeft een langere remweg dan een auto. Een F1-bolide heeft juist een kortere remweg. De formule voor het verband tussen de snelheid en de remweg is voor een vrachtwagen $r = \frac{v^{2}}{100}$ en voor een F1-bolide $r = \frac{v^{2}}{200}$ .

Teken op het werkblad de grafieken van deze twee verbanden.

(hint)

Maak voor beide verbanden eerst een tabel.

De drie grafieken hangen samen; bij elke grafiek hoort een voertuig.

Boer Berends wil naast de schuur een rechthoekig stuk weiland afzetten voor zijn kippen. Berends heeft 10 meter gaas tot zijn beschikking. Hij maakt het gaas vast aan de schuur. Langs de schuur is geen gaas nodig.

De oppervlakte $O$ in m² van de kippenren is afhankelijk van de breedte $b$ in meters. Er geldt: $O = b (10 - 2 b)$ .

Leg dit uit.

Neem de tabel over en vul hem in.

Teken de grafiek van het verband.

Bij welke afmetingen is de oppervlakte van de kippenren het grootst?

Om de gemiddelde lengte van jongens van 0 tot en met 20 jaar uit te rekenen, wordt de volgende formule gebruikt: $h = 50 + 30 \sqrt{l}$ . Hierin is $h$ de gemiddelde lengte in cm en $l$ de leeftijd in jaren.

Neem de tabel over en vul hem in. Gebruik een rekenmachine en rond af op hele waarden.

Teken de grafiek van het verband. Laat de horizontale as lopen van 0 tot en met 20 en de verticale as van 0 tot en met 200.

Karel is 12 jaar en moet naar de schoolarts. De schoolarts gebruikt de formule om de lengte van Karel te vergelijken met de lengte van andere jongens met dezelfde leeftijd. De schoolarts maakt zich zorgen als de lengte van Karel 8% langer of korter is dan de gemiddelde lengte. De schoolarts meet een lengte van 145 cm.

Maakt de schoolarts zich zorgen?

Getekend staat de grafiek van de gemiddelde lengte voor meisjes van 0 tot en met 20 jaar.

In de grafiek is te zien dat meisjes van 10 jaar oud gemiddeld 130 cm lang zijn.

Met hoeveel procent neemt de gemiddelde lengte van meisjes tussen 10 en 15 jaar toe?

In alle voorbeelden en opgaven speelden twee variabelen een rol. Steeds was er een verband tussen de variabelen. Een ander woord voor verband is relatie of betrekking.

Een verband kun je beschrijven:

met een formule;
met een tabel;
met een grafiek;
met een blokschema;
in woorden.