Met vergelijkingen

Iemand heeft drie getallen $a$ , $b$ en $c$ vermenigvuldigd, alle drie niet 0. Of het product positief of negatief is, hangt af van het positief of negatief zijn van $a$ , $b$ en $c$ afzonderlijk.
In het binnengebied van kring $A$ horen de positieve getallen $a$ ; evenzo de andere twee kringen.

Neem de figuur over.

Schrijf in elk van de acht stukken of het product positief of negatief is.

Als het product negatief is, kan het zijn dat $a > 0$ en $b > 0$ en $c < 0$ . Maar er zijn ook andere mogelijkheden.

Welke andere mogelijkheden zijn er?

Schrijf ook alle mogelijkheden op waarbij het product positief is.

De mogelijkheden in het geval het product positief in kun je in wiskundetaal zó opschrijven:
Als $a \cdot b \cdot c > 0$ , dan
$a > 0$ en $b > 0$ en $c > 0$ of
$a > 0$ en $b < 0$ en $c < 0$ of
$a < 0$ en $b > 0$ en $c < 0$ of
$a < 0$ en $b < 0$ en $c > 0$ .

Schrijf zo ook in wiskundetaal de mogelijkheden op waarbij het product negatief is.

Wat weet je van $a$ en $b$ als het product $a \cdot b$ positief is?

En wat weet je van $a$ en $b$ als het product $a \cdot b$ negatief is?

Iemand heeft vier getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ vermenigvuldigd, alle vier niet 0. Of het product positief of negatief is, hangt af van het positief of negatief zijn van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ afzonderlijk.

Hoeveel verschillende combinaties zijn er waarbij het product positief of negatief is?

Welke combinaties geven een positief product?

Als het product 0 is

De inhoud van een balk van $a$ bij $b$ bij $c$ is 10.
Voor de getallen $a$ , $b$ en $c$ zijn er verschillende mogelijkheden.

Geef vier echt verschillende mogelijkheden voor $a$ , $b$ en $c$ .

Hoe groot is $c$ als $a = 0,01$ en $b = 2 \frac{1}{2}$ ?
Hoe groot is $c$ als $a = 0,01$ en $b = 1$ ?

Je ziet: als het product van drie getallen $a$ , $b$ en $c$ gelijk is aan 10, zijn er oneindig veel drietallen $a$ , $b$ en $c$ mogelijk. Je kunt niets zeggen over hoe groot $a$ , $b$ en $c$ zijn.

Dat is anders als het product van drie getallen $a$ , $b$ en $c$ gelijk is aan 0.

Wat kan je dan zeggen van $a$ , $b$ en $c$ ?

Voor welke $x$ geldt: $(x + 2) (x - 1) = 0$ ?

Voor welke $x$ geldt: $x (x - 5) = 0$ ?

Voor welke $x$ geldt: $3 x (2 x - 5) (10 x + 3) = 0$ ?

Voor welke $x$ geldt: $3 (x^{2} - 4) = 0$ ?

Voorbeeld
We gaan nu de volgende vraag behandelen: wat is $x$ als $(x + 2) (x - 1) > 0$ ?

We weten al voor welke $x$ geldt: $(x + 2) (x - 1) = 0$ . Dat is namelijk voor de getallen $‐2$ en 1 het geval. Zie opgave 33a.
Het product van $x + 2$ en $x - 1$ is positief als $x + 2$ en $x - 1$ allebei positief zijn en ook als $x + 2$ en $x - 1$ allebei negatief zijn.
$x + 2$ en $x - 1$ zijn allebei positief als $x > 1$ , $x + 2$ en $x - 1$ zijn allebei negatief als $x < ‐ 2$ .
Het antwoord op de vraag is dus: $x < ‐ 2$ of $x > 1$ .
Je ziet hier een plaatje van de oplossingen.

Behandel zo ook de volgende vragen. Teken steeds op een getallenlijn een plaatje van de verzameling oplossingen.

Wat is $x$ als $(x + 2) (x - 1) < 0$ ?

Wat is $x$ als $(x + 4) (x + 2) = 0$ ?
Wat is $x$ als $(x + 4) (x + 2) > 0$ ?
Wat is $x$ als $(x + 4) (x + 2) < 0$ ?

Wat is $x$ als $3 x (x - 2) = 0$ ?
Wat is $x$ als $3 x (x - 2) > 0$ ?
Wat is $x$ als $3 x (x - 2) < 0$ ?

Wat is $x$ als $(2 x + 4) (3 x - 12) = 0$ ?
Wat is $x$ als $(2 x + 4) (3 x - 12) \geq 0$ ?
Wat is $x$ als $(2 x + 4) (3 x - 12) \leq 0$ ?

Wat is $x$ als $(x + 2) (3 x + 6) = 0$ ?
Wat is $x$ als $(x + 2) (3 x + 6) > 0$ ?
Wat is $x$ als $(x + 2) (3 x + 6) < 0$ ?

Voorbeeld:

We gaan nu de volgende vraag behandelen:
wat is $x$ als $x^{2} + x - 2 > 0$ ?

We ontbinden het linkerlid:
$x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$
De vraag kan ook worden geschreven als:
wat is $x$ als $(x + 2) (x - 1) > 0$ ?
en die vraag is al in het vorige voorbeeld behandeld.

Los de volgende ongelijkheden op. Teken steeds op een getallenlijn een plaatje van de verzameling oplossingen.

$x^{2} \leq 9 - 8 x$

$x^{2} \leq 8 x$

$x^{2} < 9$

$x^{2} > 12 - 4 x$

$x^{2} \geq 12 + x$

Los de volgende ongelijkheden op. Teken steeds op een getallenlijn een plaatje van de verzameling oplossingen.

$x (x + 4) \geq (x + 1) (x + 2)$

$2 x^{2} < x (x + 3)$

$x^{2} \leq 4 (x - 1)$

$10 > x (x + 3)$

$x^{2} - 4 \leq x (2 - x)$

Twee grafieken

Tijdens een schaatstraining hielden Peter en Wouter een wedstrijd over vier rondjes op de ijsbaan van Deventer. Getekend is de tijd-afstandgrafiek voor Peter. $t$ is de tijd in minuten en $a$ is de afstand in veelvouden van 100 meter.
Je ziet dat Peter niet zo regelmatig geschaatst heeft.

Wat kan er gebeurd zijn?

Voor de tijd-afstand-grafiek van Peter geldt (zo ongeveer) de volgende formule: $a = t^{3} - 6 t^{2} + 12 t$ .

Ga na of de grafiek in overeenstemming is met deze formule voor $t = 1$ .
Ook als $t = 2$ , $t = 3$ en $t = 4$ .

Wouter reed tijdens zijn rit steeds met dezelfde snelheid: één rondje (van 400 meter) per minuut.
Peter en Wouter zijn tegelijk begonnen.

Teken op je werkblad de tijd-afstand-grafiek voor Wouter.

Geef de formule die geldt voor deze rit: $a = ...$ .

De tijdstippen waarop Peter en Wouter precies gelijk liggen voldoen aan de vergelijking: $t^{3} - 6 t^{2} + 12 t = 4 t$ .
Ofwel: $t^{3} - 6 t^{2} + 8 t = 0$ .

Laat zien dat je die vergelijking ook kunt schrijven als: $t (t - 2) (t - 4) = 0$ .

Op welke tijdstippen liggen Peter en Wouter precies gelijk?

Kleur op een getallenlijn het interval van tijdstippen waarop Peter voor ligt op Wouter.

Anneke heeft een parachuutje gemaakt. Ze is op het dak geklommen om te testen of de parachute het goed doet. Egon probeert Annekes plezier te saboteren: op het moment dat Anneke de parachute loslaat, schiet hij met zijn katapult een steentje in de richting van het parachuutje. De tijd vanaf dat moment noemen we $t$ (in seconden); de hoogte boven de grond noemen we $h$ (in meters).

Getekend is de tijd-hoogte-grafiek voor het steentje. De bijbehorende formule is: $h = 30 t - 5 t^{2}$ .

Ga na of de grafiek in overeenstemming is met de formule voor de tijdstippen $t = 1$ en $t = 4$ .

Bereken het tijdstip waarop het steentje weer op de grond komt. (Op dat moment is de hoogte weer 0.)

Anneke laat het parachuutje los op een hoogte van 50 meter. Het daalt met een constante snelheid van 5 meter per seconde.

Teken op je werkblad de tijd-hoogte-grafiek voor het parachuutje.

Geef de bijbehorende formule: $h = ...$ .

Voor de tijdstippen $t$ waarop het steentje en de parachute even hoog zijn, geldt: $30 t - 5 t^{2} = 50 - 5 t$ .

Los deze vergelijking op.

Aan welke ongelijkheid voldoen de tijdstippen $t$ waarop het steentje hoger is dan de parachute?
Los die ongelijkheid op.
Geef de oplossingen aan op een getallenlijn.

In het plaatje lijkt het er op dat het steentje het parachuutje twee keer raakt, namelijk als $t = 2$ en als $t = 5$ .

Kun je uit het plaatje aflezen of het steentje het parachuutje echt raakt?