Diagrammen

Je ziet hier een kleine enquête van vier vragen over het financiële leven van een leerling staan. Elk van de vragen moet met “ja” of “nee” worden beantwoord.

Toelichting bij de vragen:

Verdien je regelmatig wat geld? Dat kan zijn met een baantje, maar ook als kinderoppas of met klussen zoals autowassen of het rondbrengen van folders.
Geef je geld uit aan uitgaan? Dat kan ook zijn in een cafetaria, of aan bezoeken van voetbalwedstrijden.
Krijg je kleedgeld? Bedoeld is bijvoorbeeld elke maand een vast bedrag dat je zelf aan kleren mag besteden.
Heb je een eigen tv of computer? Bijvoorbeeld op je kamer; mag ook samen met je broer of zo.

Misschien twijfel je bij een vraag of jouw antwoord ja of nee moet zijn. Toch moet je bij elke vraag uit een van de twee kiezen. In geval van ja zet je een kruis (X) in het eerste hok, anders in het tweede.

Vul even op het werkblad jouw persoonlijke enquête in.

Hiernaast staat een diagram van de vier verzamelingen die bij de enquête horen.
$V$ is de verzameling leerlingen die regelmatig wat verdienen.
$U$ is de verzameling leerlingen die geld uitgeven aan uitgaan.
$K$ is de verzameling leerlingen die kleedgeld krijgen.
$T$ is de verzameling leerlingen met een eigen televisie of computer.
Elke leerling krijgt een plaats in het diagram. Als hij regelmatig wat verdient (dan heeft hij dus de eerste vraag van de enquête met ja beantwoord), is zijn plaats binnen kring $V$ , anders daarbuiten. Net zo gaat het bij $U$ , $K$ en $T$ .

Geef op het werkblad jouw plaats in het diagram aan met een stip.

Kleur op het werkblad het gebied rood waar de leerlingen komen die regelmatig wat verdienen, geld uitgeven aan uitgaan, geen kleedgeld krijgen en geen eigen tv of computer hebben

Anneke heeft de enquête precies tegengesteld ingevuld als jij. Dat wil zeggen: waar jij “ja” antwoordde, heeft zij “nee” geantwoord en omgekeerd.

Plaats Anneke in het diagram.

Om de enquête te beantwoorden moet je vier keer kiezen of je “ja” of “nee” invult. Met een berekening kun je laten zien dat de enquête op zestien manieren kan worden ingevuld.

Welke berekening is dat?

Hieronder staan alle zestien manieren om de enquête in te vullen, genummerd: 1 t/m 16. Er zijn dus ook zestien gebieden in het diagram.

Vul in het diagram op het werkblad in elk gebied het passende nummer in.

Vinja heeft de enquête ingevuld. Ze verdient regelmatig wat en geeft geld uit aan uitgaan. De andere twee dingen weten we niet.

Kleur op het werkblad het gebied waar Vinja geplaatst kan worden.

Fransje heeft één van de vragen met ja beantwoord en de andere drie met nee.

Kleur op het werkblad de gebieden waar Fransje geplaatst kan worden.

Een ander voorbeeld komt uit de dierenwereld.
$Z$ is de verzameling zoogdieren, $W$ is de verzameling waterdieren en $R$ is de verzameling roofdieren.
Wat deze drie kenmerken betreft kunnen we acht soorten dieren onderscheiden.
Neem de figuur over.

Plaats de volgende dieren in het diagram:
haai, konijn, paling, rob, slak, python, tijger, potvis.
In elk deel van het diagram hoort precies één van deze dieren.

Een zeker dier legt eieren en leeft op het land.

Kleur het gebied in het diagram waar dat dier geplaatst moet worden.

We kijken bij de enquête van opgave 12 onder andere naar de volgende twee dingen:

of de leerling regelmatig wat verdient,
of de leerling geld uitgeeft aan uitgaan.

De verzameling leerlingen in een klas die regelmatig wat verdienen hebben we $V$ genoemd, de verzameling leerlingen die geld uitgeven aan uitgaan hebben we $U$ genoemd.
Voor een klas van 21 leerlingen staat het diagram getekend van de verzamelingen $V$ en $U$ .

Hoeveel leerlingen zitten:

in allebei de verzamelingen: in $V$ en in $U$ ?
in minstens een van de twee verzamelingen: in $V$ of in $U$ ?
wel in $V$ maar niet in $U$ ?
wel in $U$ maar niet in $V$ ?

Deze vier aantallen hebben met elkaar te maken.

Wat is het verband tussen de vier aantallen?

De voegwoorden “en” en “of”

De voegwoorden en en of spelen in de wiskunde een belangrijke rol.
Het voegwoord en wordt in de wiskunde hetzelfde gebruikt als in het dagelijks leven; bij en zijn er dus geen problemen.
Het voegwoord of wordt in de wiskunde wel andersgebruikt dan in de gewone spreektaal. Kijk maar eens naar het voorbeeld.

Het wiskundige of is dus wat in het dagelijks leven “en/of” wordt genoemd.

Op een congres worden drie talen gesproken: Engels, Frans en Duits. Sommige deelnemers spreken twee talen; een enkeling spreekt zelfs alle drie de talen.
$E$ , $F$ en $D$ zijn de verzamelingen deelnemers aan het congres die achtereenvolgens Engels, Frans en Duits spreken.

Herr Seele spreekt alleen Duits.

Plaats Herr Seele in het diagram. Neem daarvoor het diagram over.

Kleur rood het gebied van de deelnemers die Duits en Frans spreken.
Kleur blauw het gebied van de deelnemers die Engels en Frans spreken.

Wat weet je van de deelnemers die behoren tot het gebied dat dubbel gekleurd is?

Monsieur Gérard spreekt Duits en Frans, maar geen Engels.

Plaats monsieur Gérard in het diagram.

Klas 3V1 van de scholengemeenschap Pantarijn bezoekt Amsterdam. ‘s Middags staan een bezoek aan het Rijksmuseum en een bezoek aan het Paleis op de Dam op het programma. De leerlingen kunnen kiezen uit deze twee mogelijkheden; allebei mag ook. Leerlingen die geen van beide willen, moeten zichzelf maar vermaken.
$R$ is de verzameling leerlingen die het Rijksmuseum bezoekt. $P$ is de verzameling leerlingen die het Paleis op de Dam bezoekt.

Van leerling Anne weten we dat ze het Paleis op de Dam zal bezoeken.

Kleur het gebied waar Anne geplaatst moet worden.
Teken daarvoor eerst een passend diagram voor $R$ en $P$ .

Van leerling Rick weten we dat hij niet het Rijksmuseum zal bezoeken.

Kleur het gebied waar Rick geplaatst moet worden.

Als we bovendien weten dat Rick en Anne onafscheidelijk zijn, kunnen we precies aangeven in welk stuk van het diagram zij horen.

Plaats Anne en Rick in het diagram.

We bekijken twee verzamelingen $V$ en $W$ . We maken daarbij twee kringen die elkaar overlappen. Als een element (bijvoorbeeld een getal) tot de verzameling $V$ behoort, moeten we dat element binnen kring $V$ plaatsen, anders niet. Evenzo met elementen die tot $W$ behoren.

Teken bij elk van de volgende vragen een figuur. Neem daarvoor de figuur over.

Kleur in de figuur het gebied waar de elementen komen die tot $V$ en tot $W$ behoren.

Kleur in de figuur het gebied waar de elementen komen die tot $V$ of tot $W$ behoren.

Kleur in de figuur het gebied waar de elementen komen die tot $V$ en niet tot $W$ behoren.

Tellen

Anneke heeft een krantenwijk. ‘s Morgens, voordat zij naar school gaat, bezorgt zij bij 92 gezinnen hun ochtendblad: de Volkskrant bij 61 gezinnen en Trouw bij 36 gezinnen.

Schrijf in de drie gebieden van het diagram het juiste aantal. Neem daarvoor het diagram over.

In hoeveel gezinnen lezen ze de Volkskrant en Trouw?

In een klas van 28 leerlingen zitten er 12 op hockey en zitten er 9 op dansles. Sommige leerlingen zitten op allebei: zeg dat er dat $x$ zijn.

Schrijf in elk van de vier (!) gebieden van het diagram het juiste aantal, uitgedrukt in $x$ . Neem daarvoor het diagram over.

Hoe groot is $x$ , als er twee keer zoveel leerlingen zijn die op hockey of dansles zitten als leerlingen die alleen op hockey zitten? Stel hierbij een vergelijking op in $x$ en los die op.

Op een school zijn de zogenaamde expressievakken: tekenen, handvaardigheid en muziek. De leerlingen moeten precies twee van die vakken kiezen.
In een klas van 21 leerlingen kozen er 6 geen tekenen, 7 geen handvaardigheid en 8 geen muziek.

Kleur in het diagram de gebieden waarin geen leerlingen mogen worden geplaatst. Neem daarvoor het diagram over.

Hoeveel leerlingen kozen er wel tekenen?
En hoeveel handvaardigheid en hoeveel muziek?

Op een opleiding worden drie moderne vreemde talen gegeven: Engels, Frans en Duits. De leerlingen moeten er hiervan minstens twee opnemen in hun pakket.
Een groep leerlingen meldt zich voor de opleiding aan. Van hen doen er 16 (in elk geval) Frans en Duits; 25 doen er (in elk geval) Frans en Engels; 33 doen er (in elk geval) Duits en Engels.
Noem het aantal dat alle drie de talen doet: $x$ .

Schrijf in elk gebied van het diagram het juiste aantal, uitgedrukt in $x$ .
Neem daarvoor het diagram over.

Stel dat de groep 50 leerlingen telt.

Bereken dan $x$ . Stel hierbij een vergelijking op in $x$ en los die op.

11s

Kijk nog eens naar opgave 1c. Diagrammen helpen om de puzzel op te lossen. $Z$ , $G$ en $S$ tellen alle drie 16 leerlingen.
$Z$ en $G$ , $Z$ en $S$ en $G$ en $S$ hebben alle drie 8 leerlingen gemeenschappelijk.
In totaal zijn er 30 leerlingen.

Teken een diagram voor de verzamelingen $Z$ , $G$ en $S$ .

Bereken het aantal leerlingen dat tot alle drie de verzamelingen $Z$ , $G$ en $S$ behoort.

(hint)

Noem het aantal leerlingen dat alle drie de hobby’s heeft:

x

en het aantal leerlingen dat maar één hobby heeft:

y

10s

12s

$A$ en $B$ zijn twee verzamelingen. $A$ heeft vijf elementen, $B$ heeft er zeven.

Stel dat er twee elementen in $A$ en $B$ zitten.

Hoeveel elementen zitten er dan in $A$ of $B$ ?
Tip: Geef met stippen de elementen in elk van de stukken van het diagram aan.

Hoeveel elementen zitten er hoogstens in $A$ en $B$ ?
Hoeveel elementen zitten er dan in $A$ of $B$ ?

Hoeveel elementen zitten er hoogstens in $A$ of $B$ ?
Hoeveel elementen zitten er dan in $A$ en $B$ ?

Hoeveel elementen zitten er hoogstens in $A$ en niet in $B$ ?
Hoeveel elementen zitten er dan in $A$ of $B$ ?

Hoeveel elementen zitten er minstens in $A$ en niet in $B$ ?
Hoeveel elementen zitten er dan in $A$ en $B$ ?