Met grafieken

Bekijk de grafiek van de waterstand bij Hoek van Holland van 18 uur op 25 maart tot 8 uur op 26 maart. De waterhoogten zijn gegeven in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil).
Een Noors vrachtschip was toen onderweg van Stavanger naar Rotterdam en kon de Nieuwe Waterweg alleen maar opvaren, als de waterhoogte bij Hoek van Holland niet lager was dan 40 cm beneden NAP.

Maak in je schrift drie keer de tijdbalk, recht onder elkaar.

Geef op de eerste tijdbalk de tijden aan waarop het Noorse vrachtschip de Nieuwe Waterweg op kon varen.

Voor een schip is het (een klein beetje) voordelig als het zijn weg van Hoek van Holland naar Rotterdam bij opkomend tij vaart. Dan vaart het namelijk met de stroom mee.

Geef op de tweede tijdbalk aan wanneer de stroming landinwaarts is (dus bij opkomend tij).

Geef op de derde tijdbalk aan wanneer het Noorse vrachtschip met de stroom mee de Nieuwe Waterweg op kan varen.

In een stad vind je de grote warenhuizen vooral in het centrum, terwijl de woonwijken meer aan de rand van de stad liggen. Dat komt omdat grote winkels, kantoren en horecagelegenheden, zich graag in het centrum willen vestigen. Zij bieden dan ook veel geld voor de grond in het centrum, veel meer dan de eigenaars van gewone woningen. In het rooster zijn de biedprijzen van warenhuizen, kantoren en huizenbouwers aangegeven. De grafiek geeft voor geen enkele stad de werkelijkheid precies weer; wel kun je er uit aflezen hoe het in veel steden ongeveer is. Horizontaal staat de afstand vanaf het centrum in km, verticaal staat de biedprijs in euro’s per m².

Welk bedrag per m² biedt een huizenbouwer voor grond die 4 km van het centrum af ligt?

Hoever van het centrum ligt de grond waarvoor kantoren per m² € 500,- bieden?

Bij welke afstand tot het centrum is de grond volgens de grafieken voor een warenhuis waardeloos?

Bij welke van de drie daalt de biedprijs het snelst als je je van het centrum verwijdert?
Bij welke het langzaamst?

Wie biedt het meest voor een stuk grond dat 500 meter van het centrum af ligt?
En voor een stuk grond dat 1200 meter van het centrum af ligt?

Neem de afstandsbalk over en geef daarop met rood aan waar de warenhuizen de hoogste bieders zijn.
Geef met blauw aan waar de kantoren de hoogste bieders zijn en met groen waar de huizenbouwers de hoogste bieders zijn.

In de plattegrond van een stad is het centrum met een stip aangegeven.

Kleur op het werkblad het gebied waar de warenhuizen de hoogste bieders zijn rood, waar de kantoren de hoogste bieders zijn blauw en waar de huizenbouwers de hoogst bieders zijn groen.

Een slak probeert langs een paal omhoog te klimmen. Af en toe moet hij rusten en dat is niet gunstig voor zijn vorderingen. In het rooster staat de tijd-hoogte-grafiek van een slak.

Wat kun je vertellen van de moeizame manier waarop de slak klimt?

Maak in je schrift drie keer een tijdbalk recht onder elkaar, zoals hieronder.

Geef op de eerste tijdbalk aan wanneer de slak 15 cm of hoger is.

Geef op de tweede tijdbalk aan wanneer de slak 30 cm of lager is.

Geef op de derde tijdbalk aan wanneer de slak minstens 15 cm hoog is en tegelijkertijd hoogstens 30 cm hoog is.

Als je de hoogte van de slak boven de grond $h$ noemt, wordt in onderdeel b gevraagd naar de tijdstippen waarop $h \geq 15$ .

Schrijf op een soortgelijke manier op naar welke tijdstippen in onderdeel c gevraagd wordt.
En naar welke tijdstippen in d gevraagd wordt.

Intervallen

Je hebt bij de slakkengang van opgave 6d vier stukjes van de tijdbalk gekleurd. Zulke stukjes noemen we tijdsintervallen.
Bij de biedprijzen van opgave 5f heb je afstandsintervallen gekleurd.

Voorbeeld

Welke getallen kan $x$ voorstellen als $3 x + 2 < 11$ ?
Op deze vraag is het antwoord: $x < 3$ . Zie opgave 2.
De getallen die $x$ kan voorstellen, vormen een interval.

Dit interval is getekend op een getallenlijn.

Een interval is een deel van de getallenlijn “uit één stuk”. Dat wil zeggen: een aaneengesloten deel, zonder gaten. “Inter” betekent “tussen”; “interval” betekent letterlijk “tussenruimte”.
Er zijn acht typen intervallen: vier met één grenspunt en vier met twee grenspunten. Van elk type staat hiervan een voorbeeld. Naast het plaatje staat het interval beschreven met behulp van de variabele $x$ .

In plaats van “ $x < 3$ ” kun je ook schrijven: “ $3 > x$ ”.

In plaats van “ $‐ 2 \leq x < 3$ ” kun je ook schrijven: “ $3 > x \geq ‐ 2$ ”. Enzovoort.

De getallen die $x$ kan voorstellen in elk van de volgende gevallen, vormen steeds een interval.
Teken dat interval op een getallenlijn.

$2 x + 1 < 10$

$\frac{1}{2} x + 5 > 4$

$3 x + 6 > 3$

$2 x - 2 < 8$

$4 x < 0$

$4 - x < 0$

$‐ x < 6$

$‐ x < ‐ 6$

Voorbeeld

Vraag:		Voor welke getallen $x$ geldt: $3 x + 5 < 11$ ?
Oplossing:		$3 x + 5 < 11$
		$3 x < 6$
		$x < 2$
Plaatje:

Voorbeeld

Vraag:		Voor welke getallen $x$ geldt: $5 - 2 x \geq 1$ ?
Oplossing:		$5 - 2 x \geq 1$
		$4 \geq 2 x$
		$2 \geq x$
Plaatje:

Los zo ook de volgende ongelijkheden op en teken het passende plaatje.

$\frac{1}{2} x + 5 > 4$

$3 x - 6 < ‐ 3$

$\frac{1}{2} (x + 1) \leq 3$

$3 \leq 4 + 0,4 x$

$4 x < 2 x + 7$

$4 x + 1 + 2 x \geq 7$

Los op:

$x^{2} < 4$
$x^{2} > 4$
$x^{2} > ‐ 4$
$x^{2} < ‐ 4$

Los op:

$\frac{1}{x} > 0$
$\frac{1}{x} < 0$
$\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$
$\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

(hint)

Denk ook aan negatieve getallen.

Een auto heeft vijf versnellingen; en ook nog de “achteruit”, maar daar letten we nu niet op. Bij elke versnelling hoort een zeker interval van snelheden.
Zo rijd je bijvoorbeeld in de tweede versnelling met een snelheid tussen 10 en 55 km/uur.
10 km/uur is een beetje weinig; goede chauffeurs zullen eerder terugschakelen naar de eerste versnelling. 55 km/uur is een beetje veel; goede chauffeurs zullen eerder verder schakelen naar de derde versnelling. Maar in deze opgave werken we met 10 en 55 km/uur.

Bij de andere versnellingen horen ook intervallen van snelheden. Dit vind je in het overzicht, waarbij

x

de snelheid in km/uur voorstelt.

Geef op (of boven) een getallenlijn deze intervallen aan; gebruik kleur.

Bij welke snelheden $x$ kun je zowel in de tweede als in de derde versnelling rijden?

Welke versnelling kun je eigenlijk wel missen?
Waarom?

Welke snelheden kun je wèl rijden in de derde versnelling, maar niet in de vierde versnelling?

In het middelbaar onderwijs zijn in Nederland de klassen niet groter dan 32 leerlingen. Bij 33 of meer leerlingen komt er een extra klas. Een school behoort zich netjes aan de norm te houden van maximaal 32 leerlingen per klas. Meer klassen dan nodig is, wil een school ook niet maken, want zo’n extra klas kost een hoop geld.

Hoeveel derdeklassen zal een school hebben met 103 derdeklassers?

Een school heeft vijf derde klassen. Er zijn te veel leerlingen om ze in vier klassen onder te brengen, maar een zesde derde klas was niet nodig.

Wat weet je van het aantal derdeklassers $x$ op die school? Schrijf je antwoord met behulp van ongelijktekens.

Bij welk aantal leerlingen $x$ zullen er twee klassen zijn? Schrijf dat met ongelijkheden.
Bij welk aantal drie klassen?
Bij welk aantal vier klassen?
Bij welk aantal zes klassen?
Bij welk aantal zeven klassen?

De kleinst mogelijke gemiddelde klasgrootte bij vijf klassen is: $129 : 5 = 25,8$ .

Leg dat uit.

Wat is de kleinst mogelijke gemiddelde klasgrootte bij drie klassen?

Bepaal ook de kleinst mogelijke gemiddelde klasgrootte bij twee, vier, zes en zeven klassen.

Geef een formule voor de kleinst mogelijke gemiddelde klasgrootte bij $n$ klassen. ( $n$ stelt een positief geheel getal voor.)
Schrijf de formule in de gedaante $\frac{... \cdot n ...}{n}$ .

Als een school een gemiddelde klasgrootte boven de 28 heeft, moet dus gelden: $\frac{... \cdot n ...}{n} > 28$ .

Hoeveel klassen moet die school dan minstens hebben? Schrijf ook je berekening op.

In opgave 10 is $x$ een aantal leerlingen. Daarom kan $x$ alleen een geheel getal zijn.
Dus is $x \leq 100$ gelijkwaardig met $x < 101$ .

Leg dat uit.

Stel dat je van een geheel getal $x$ weet: $65 \leq x \leq 150$ .

Schrijf dat ook met twee keer het teken $<$ .

Stel dat je van een geheel getal $x$ weet: $123 > x > 89$ .

Schrijf dat ook met twee keer het teken $\geq$ .

Hoeveel gehele getallen $x$ zijn er met $70 \leq x \leq 85$ ?

Hoeveel gehele getallen $x$ zijn er met $70 < x < 85$ ?