30.4  Speciale functies >
Black box
1

Een kaartje voor Zoo Overloon kost voor volwassenen 16,50 . Groepen vanaf 20 personen betalen 14 ,- per persoon.

a

Bereken het totale entreebedrag van een groep van 19 personen en voor een groep van 20 personen.
Vreemd? Wat zou jij doen als je met een groep van 19 personen was?

b

Hoe zit dat het met een groep van 18 personen? En met een groep van 17 personen?

Bij elk aantal personen a hoort een totaal entreebedrag b . b is een functie van a , dus a b .

c

Teken de grafiek van deze functie.

2

Bekijk de “röntgenfoto” van een functie.

Voor het gemak geven we die functie een naam: F .
Voorbeeld: bij invoer x = 4 , word je eerst naar beneden gestuurd en dan nog eens naar beneden.
De uitvoer y wordt dan: 4 2 3 = 5 .

a

Kies verschillende getallen als invoer en bepaal daarbij de uitvoer. Schrijf de resultaten in een tabel.

b

Teken de grafiek van F .

Het is niet eenvoudig F met één formule te beschrijven. We moeten drie gevallen onderscheiden.

c

Beschrijf F :

  • als x 0 , dan y = ...

  • als 0 < x 3 , dan y = ...

  • als 3 < x , dan y = ...

3

Bekijk de “röntgenfoto” van de functie G .

a

Maak een tabel voor G .

b

Teken de grafiek van deze functie.

c

Beschrijf de functie G met formules; onderscheid drie gevallen.

4
6

Bekijk de “röntgenfoto” van de functie H .

a

Maak een tabel voor H .

b

Teken de grafiek van H .

c

Beschrijf de functie H met formules; onderscheid vier gevallen.

5
7

De hondenbelasting in de gemeente Wageningen kent een zogeheten progressief karakter. Dat betekent dat voor elke hond meer het belastingbedrag hoger wordt. Voor 2019 gelden de volgende tarieven:

  • 1e hond 90 ,- ;

  • 2e hond 151 ,- ;

  • 3e hond en evt. elke volgende hond: 206 ,- per hond.

Het te betalen bedrag b is een functie van het aantal honden n .

a

Teken de grafiek van deze functie.

b

Welke formule geldt voor b als n > 2 ?

4s
6s

Bekijk de “röntgenfoto” van een nieuwe functie:

a

Maak een tabel voor deze functie en teken zijn grafiek.

b

Bij welke invoer is de uitvoer 7 ?

c

Welke waarden kan de uitvoer hebben?


Deze functie heeft een eigen naam: ABSOLUTE WAARDE, afgekort ABS.
De uitvoer bij invoer x noteren we als | x | .
We noemen | x | de absolute waarde van x .
Dus: x [ ABS ] | x |

5s
7s

Los op:
| x | = 7
| 2 x | = 7
| x + 2 | = 7
2 + | x | = 7
| 2 x + 1 | = 7
| x | = 7

Een functie is een “black box”. Je stopt er een getal in: de invoer. In de box wordt er iets met dat getal gedaan. Dan komt er een getal uit: de uitvoer.
invoer uitvoer

Soms is het eenvoudig wat er in de box gebeurt, soms ook niet.
Een knop op de rekenmachine is ook een black box. Je weet niet wat er in het inwendige van de machine gebeurt als je bijvoorbeeld op de knop x 1 drukt; je krijgt alleen maar het resultaat te zien.

8

In Nederland moet men inkomstenbelasting betalen volgens een zogenaamd schijventarief: het percentage belasting hangt af van het inkomen.


Wij bekijken een sterk vereenvoudigd schijventarief. Het onderscheidt drie groepen inkomens.

  1. Inkomens tot en met 20.000  euro.
    Over deze inkomens wordt geen belasting betaald.

  2. Inkomens van 20.000 tot en met 60.000  euro.
    De eerste 20.000 zijn belastingvrij; over de rest wordt 20 % belasting betaald

  3. Inkomens boven 60.000  euro.
    Over de eerste 60.000  euro wordt 8.000  euro belasting betaald; over de rest wordt 60 % belasting betaald.

a

Bereken de inkomstenbelasting bij inkomens van 30.000 ,- en van 65.000 ,-.

Het inkomen noemen we i en de te betalen inkomstenbelasting b (beide in duizenden euro’s).

b

Maak een tabel en teken de grafiek.

Het is moeilijk een formule te geven voor b , uitgedrukt in i . Wel kunnen we voor elk van de drie inkomensgroepen apart een formule geven.

c

Doe dat.

De grafiek bestaat uit drie rechte stukken.

d

Wat is de richtingscoëfficiënt van elk van die stukken?

Volgens een ander fantasie-tarief moet iedereen 35 % betalen.

e

Welke formule beschrijft b als functie van i ?

f

Teken ook de grafiek van dit tarief in de figuur van onderdeel b.

g

Bereken bij welk inkomen volgens beide tarieven evenveel belasting moet worden betaald. Los daartoe een vergelijking op. Controleer je antwoord met de grafieken.

Afronden
9
11

Parkeren in de binnenstad betaal je met de chipknip. De automaat rekent met hele kwartieren. Eén kwartier kost 50  eurocent. De parkeertijd wordt dus naar boven afgerond op een geheel aantal kwartieren.

a

Hoeveel kost 52  minuten parkeren?

b

Welke parkeertijden kosten 2,50 ?

De parkeertijd noemen we t (in kwartieren); de parkeerkosten noemen we k (in euro’s).

c

Teken de grafiek van k als functie van t .

De grafiek verloopt “trapsgewijs”: als de parkeertijd t toeneemt, kunnen de kosten k eerst gelijk blijven, en dan ineens verspringen. Een paar seconden langer parkeren, kan dus 50  eurocent meer kosten.
Dergelijke trapsgewijze grafieken komen wel vaker voor, met name bij tarieven.

d

Ken jij nog een paar voorbeelden?


Dat in de grafiek “trappen” zitten, komt doordat je moet afronden. Je moet de parkeertijd naar boven afronden op een geheel aantal kwartieren: zoveel keer 50-eurocent kost het.

10
12

Bij elke 7,50 aan boodschappen krijg je bij een kruidenier een zegeltje.

Iemand doet voor 23 ,- aan boodschappen.

a

Hoeveel zegeltjes krijgt hij?

Iemand krijgt vier zegeltjes.

b

Voor welke bedragen kan hij boodschappen gedaan hebben?

Noem het bedrag (in euro's) van de boodschappen b en het aantal zegeltjes z .
Dus: b z .

c

Zeg in woorden hoe je bij een waarde van b de bijbehorende waarde van z uitrekent; Gebruik “afronden”.

9s
11s

Als je 3,68 afrondt naar beneden op een geheel getal, krijg je 3 . We zeggen ook wel: 3 is het gehele deel van 3,68 . En 0,68 is de rest (het breukdeel) van 3,68 .


De afrondfunctie die aan een getal zijn gehele deel koppelt, heet Integer (het Engelse woord voor geheel). Op een programmeerbaar rekenmachientje zit deze functie ook, meestal onder de naam Integer. De functie rondt consequent naar beneden af, ook bij negatieve getallen. Dus 3,14 [ INT ] 4 .

a

Even oefenen: Wat is de uitvoer van INT bij de volgende invoeren?

19,4

19

17

π

‐19,4

‐19

17

b

Teken de grafiek van de functie [ INT ] .

10s
12s

De functie [ REST ] voegt aan een getal het breukdeel toe. Bijvoorbeeld:
3,68 [ REST ] 0,68
3,68 [ REST ] 0,32

a

Even oefenen: Wat is de uitvoer van [ REST ] bij de volgende invoeren?

19,4

19

17

π

‐19,4

‐19

17

b

Teken de grafiek van de functie [ REST ] .
getal [ REST ] het breukdeel

c

Welke waarden kan de uitvoer van [ REST ] hebben?

Functies in de economie
13

Op een veiling worden tomaten verhandeld: tuinders bieden tomaten aan, winkeliers kopen ze op. Hoeveel tomaten de tuinders naar de veiling brengen (het aanbod), hangt af van de prijs die ze voor de tomaten ontvangen. De prijs bepaalt ook hoe groot de vraag is.

a

Welk effect zal een prijsverhoging hebben op het aanbod? En op de vraag?

p is de prijs van een kg tomaten.
De aanbodfunctie voegt aan de prijs p het aanbod q 1 toe (in honderden kg).
Dus: p q 1 .
De vraagfunctie voegt aan de prijs p het aanbod q 2 toe (in honderden kg).
Dus: p q 2 .
Deze functies hangen in de praktijk af van allerlei factoren. Om economische verschijnselen beter te kunnen verklaren, wordt in de economie de werkelijkheid vereenvoudigd tot een model.
In het meest eenvoudige model gebruikt men lineaire functies, dus functies waarvan de grafiek een rechte lijn is.


We nemen als voorbeeld: q 1 = 2 p + 5 en q 2 = 3 p + 30 .

b

Teken de grafieken van deze functies in een figuur.

In normale omstandigheden is de tomatenmarkt in evenwicht. Vraag en aanbod zijn dan precies gelijk: er is geen tekort en ook geen overschot.

c

Bereken de evenwichtsprijs en de evenwichtshoeveelheid in ons voorbeeld.

Soms zijn de omstandigheden niet normaal. Zo kan de vraag ineens instorten. Veronderstel dat de vraag wordt: q 2 = 3 p + 15 , terwijl het aanbod blijft: q 1 = 2 p + 5 . De evenwichtsprijs is dan veel te laag voor de tuinders. De overheid stelt dan een minimumprijs vast, zeg p = 3 .

d

Hoe groot is het overschot aan tomaten, bij die prijs? (Dat is het aanbod min de vraag.)

In zo’n situatie wordt het overschot door de overheid uit de markt genomen
(= “doorgedraaid”).


Soms kan het aanbod drastisch afnemen. Veronderstel dat de aanbodfunctie wordt: q 1 = 2 p 4 , terwijl de vraag blijft: q 2 = 3 p + 30 . De evenwichtsprijs is dan onaanvaardbaar hoog voor de consument. De overheid stelt dan een maximumprijs vast, zeg p = 6 .

e

Hoe groot is het tekort aan tomaten bij die prijs? (Dat is de vraag min het aanbod.)


In zo’n situatie van schaarste worden de tomaten gedistribueerd (via een bonnensysteem).

We hebben ons tot nu toe beperkt tot functies met reële getallen als invoer en uitvoer. In het vervolg van deze paragraaf bekijken we functies waarbij de invoer en uitvoer ook andere dingen kunnen zijn.

Familierelaties en verwisselingen
14
15

We werken met de verzameling mensen die leven of ooit geleefd hebben.
V is de functie die aan een mens zijn/haar vader toevoegt.
Dus: x [ V ] v a d e r   v a n   x .
M is de functie die aan een mens zijn/haar moeder toevoegt.
Dus: x [ M ] m o e d e r   v a n   x .
Merk op dat een mens maar een vader en een moeder heeft; dus zijn V en M inderdaad functies.

a

Waarom kunnen we niet spreken van de functie die aan een mens zijn/haar grootvader toevoegt?

Door met V en M kettingen te maken, krijg je nieuwe functies die aan mensen mensen toevoegen.

b

Beschrijf in woorden wat de volgende kettingen doen:
V M ,
M V ,
V V V .

14s
15s

We bekijken alle rijtjes van vier cijfers. Bijvoorbeeld: 0117 , 4444 , 9876 .

a

Hoeveel van die rijtjes zijn er?



We bekijken drie functies waarbij zowel de invoer als uitvoer rijtjes van vier cijfers zijn.

  • De functie F keert de volgorde om.
    Bijvoorbeeld: 9876 [ F ] 6789 .

  • De functie G verwisselt de middelste twee cijfers.
    Bijvoorbeeld: 9876 [ G ] 9786 .

  • De functie H zet het laatste cijfer vooraan.
    Bijvoorbeeld: 9876 [ H ] 6987 .

b

Omschrijf de volgende kettingen in woorden:
H H H ,
F F ,
F G F .

Nu omgekeerd. Door handig twee of meer van de functies F , G en H te combineren, kun je de drie kettingen in de vragen c, d en e maken. Pas op: het zijn best lastige puzzels. Er zijn meerdere goede antwoorden mogelijk.

c

Welke ketting verwisselt het voorste en achterste cijfer (en laat de andere twee op hun plaats)?


d

Welke ketting verwisselt het voorste twee cijfers (en laat de achterste twee op hun plaats)?


e

Welke ketting verwisselt het eerste en het derde cijfer en ook het tweede en het vierde cijfer?

Functies met kans
16

Iemand werpt met twee dobbelstenen, een oker en een blauwe. Getekend staat een plaatje van de verzameling mogelijke worpen. Als voorbeeld is de worp ( 2,5 ) aangegeven: 2 ogen met de oker dobbelsteen en 5 ogen met de blauwe.
We bekijken functies bij de worpen met de twee dobbelstenen.

Je krijgt zoveel euro van mij als de som van de ogen bedraagt.
De functie SOM telt de ogen van beide dobbelstenen op.
Dus ( 1,3 ) [ SOM ] 4 .

a

Wat is de uitvoer van [ SOM ] bij de worp ( 2,5 ) ?
En bij de worp ( x , y ) ?

Je krijgt zoveel euro van mij als het verschil van de ogen bedraagt.
De functie [ VERSCHIL ] neemt het (absolute) verschil tussen de twee aantallen ogen, dat is de grootste min de kleinste.
Dus ( 1,3 ) [ VERSCHIL ] 2 .

b

Wat is de uitvoer van [ VERSCHIL ] bij de worp ( 2,5 ) ?
En bij de worp ( x , y ) ? Onderscheid twee gevallen.

Je krijgt zoveel euro van mij als het aantal ogen op de blauwe dobbelsteen bedraagt.
De functie [ BLAUW ] neemt het aantal ogen van de blauwe dobbelstenen.
Dus ( 1,3 ) [ BLAUW ] 3 .

c

Wat is de uitvoer van [ BLAUW ] bij de worp ( 2,5 ) ?

Je krijgt 3  euro’s van mij als de aantallen ogen gelijk zijn; anders krijg je niets.
De functie [ GELIJK ] geeft 3 als uitvoer als de aantallen ogen gelijk zijn en anders het getal 0 .
( 1,3 ) [ GELIJK ] 0 .

d

Wat is de uitvoer van [ GELIJK ] bij de worp ( 2,5 ) ?
En bij de worp ( x , y ) ? Onderscheid twee gevallen.

Je krijgt zoveel euro’s van mij als het grootste aantal ogen bedraagt.
De functie [ MAX ] neemt het maximum (de grootste) van de twee aantallen ogen.

e

Wat is de uitvoer van [ MAX ] bij de worp ( 2,5 ) ?
En bij de worp ( x , y ) ?

Voor elk even aantal ogen krijg je 1,5  euro, voor elk oneven aantal moet je 1,5  euro betalen.
Deze functie noemen we [ EVEN ] ; bekijk zijn "röntgenfoto".

f

Wat is de uitvoer van [ EVEN ] bij de worp ( 2,5 ) ?
Zeg in woorden wat [ EVEN ] met de twee aantallen ogen doet.

17

In totaal zijn er 36  worpen met een oker en een blauwe dobbelsteen. We gebruiken de functies van opgave 45. Er zijn twee worpen waarbij [ SOM ] uitvoer 3 geeft. Die zijn in het plaatje aangegeven.
De kans op een dergelijke worp is dus 2 36 .

a

Teken zelf vijf plaatjes en geef aan welke worpen uitvoer 3 geven bij de andere functies van de vorige opgave: [ VERSCHIL ] , [ BLAUW ] , [ GELIJK ] , [ MAX ] en [ EVEN ] .

b

Wat is de kans op uitvoer 3 bij elk van de zes functies?

c

Welke waarden kan de uitvoer bij elk van de zes functies aannemen?

De zes functies zijn zogenaamde toevalsfuncties of stochasten. De waarde van de uitvoer wordt door het toeval bepaald.