Een kaartje voor Zoo Overloon kost voor volwassenen . Groepen vanaf personen betalen ,- per persoon.
Bereken het totale entreebedrag van een groep van personen en voor een groep van personen.
Vreemd? Wat zou jij doen als je met een groep van personen was?
Hoe zit dat het met een groep van personen? En met een groep van personen?
Bij elk aantal personen hoort een totaal entreebedrag . is een functie van , dus .
Teken de grafiek van deze functie.
Bekijk de “röntgenfoto” van een functie.
Voor het gemak geven we die functie een naam: .
Voorbeeld: bij invoer , word je eerst naar beneden gestuurd en dan
nog eens naar beneden.
De uitvoer wordt dan: .
Kies verschillende getallen als invoer en bepaal daarbij de uitvoer. Schrijf de resultaten in een tabel.
Teken de grafiek van .
Het is niet eenvoudig met één formule te beschrijven. We moeten drie gevallen onderscheiden.
Beschrijf :
als , dan
als , dan
als , dan
Bekijk de “röntgenfoto” van de functie .
Maak een tabel voor .
Teken de grafiek van deze functie.
Beschrijf de functie met formules; onderscheid drie gevallen.
Bekijk de “röntgenfoto” van de functie .
Maak een tabel voor .
Teken de grafiek van .
Beschrijf de functie met formules; onderscheid vier gevallen.
De hondenbelasting in de gemeente Wageningen kent een zogeheten progressief karakter. Dat betekent dat voor elke hond meer het belastingbedrag hoger wordt. Voor gelden de volgende tarieven:
1e hond ,- ;
2e hond ,- ;
3e hond en evt. elke volgende hond: ,- per hond.
Het te betalen bedrag is een functie van het aantal honden .
Teken de grafiek van deze functie.
Welke formule geldt voor als ?
Bekijk de “röntgenfoto” van een nieuwe functie:
Maak een tabel voor deze functie en teken zijn grafiek.
Bij welke invoer is de uitvoer ?
Welke waarden kan de uitvoer hebben?
Deze functie heeft een eigen naam: ABSOLUTE WAARDE, afgekort ABS.
De uitvoer bij invoer noteren we als .
We noemen de absolute waarde van .
Dus:
Los op:
Een functie is een “black box”. Je stopt er een getal in: de invoer. In de box wordt
er iets met dat getal
gedaan. Dan komt er een getal uit: de uitvoer.
invoer uitvoer
Soms is het eenvoudig wat er in de box gebeurt, soms ook niet.
Een knop op de rekenmachine is ook een black box. Je weet niet wat er in het inwendige
van de machine
gebeurt als je bijvoorbeeld op de knop drukt; je krijgt alleen maar het resultaat te zien.
In Nederland moet men inkomstenbelasting betalen volgens een zogenaamd schijventarief: het percentage belasting hangt af van het inkomen.
Wij bekijken een sterk vereenvoudigd schijventarief. Het onderscheidt drie groepen
inkomens.
Inkomens tot en met euro.
Over deze inkomens wordt geen belasting betaald.
Inkomens van tot en met euro.
De eerste zijn belastingvrij; over de rest wordt belasting betaald
Inkomens boven euro.
Over de eerste euro wordt euro belasting betaald; over de rest wordt belasting betaald.
Bereken de inkomstenbelasting bij inkomens van ,- en van ,-.
Het inkomen noemen we en de te betalen inkomstenbelasting (beide in duizenden euro’s).
Maak een tabel en teken de grafiek.
Het is moeilijk een formule te geven voor , uitgedrukt in . Wel kunnen we voor elk van de drie inkomensgroepen apart een formule geven.
Doe dat.
De grafiek bestaat uit drie rechte stukken.
Wat is de richtingscoëfficiënt van elk van die stukken?
Volgens een ander fantasie-tarief moet iedereen betalen.
Welke formule beschrijft als functie van ?
Teken ook de grafiek van dit tarief in de figuur van onderdeel b.
Bereken bij welk inkomen volgens beide tarieven evenveel belasting moet worden betaald. Los daartoe een vergelijking op. Controleer je antwoord met de grafieken.
Parkeren in de binnenstad betaal je met de chipknip. De automaat rekent met hele kwartieren. Eén kwartier kost eurocent. De parkeertijd wordt dus naar boven afgerond op een geheel aantal kwartieren.
Hoeveel kost minuten parkeren?
Welke parkeertijden kosten ?
De parkeertijd noemen we (in kwartieren); de parkeerkosten noemen we (in euro’s).
Teken de grafiek van als functie van .
De grafiek verloopt “trapsgewijs”: als de parkeertijd toeneemt, kunnen de kosten eerst gelijk blijven,
en dan ineens verspringen. Een paar seconden langer parkeren, kan dus eurocent meer kosten.
Dergelijke trapsgewijze grafieken komen wel vaker voor, met name bij tarieven.
Ken jij nog een paar voorbeelden?
Dat in de grafiek “trappen” zitten, komt doordat je moet afronden. Je moet de parkeertijd
naar boven afronden
op een geheel aantal kwartieren: zoveel keer 50-eurocent kost het.
Bij elke aan boodschappen krijg je bij een kruidenier een zegeltje.
Iemand doet voor ,- aan boodschappen.
Hoeveel zegeltjes krijgt hij?
Iemand krijgt vier zegeltjes.
Voor welke bedragen kan hij boodschappen gedaan hebben?
Noem het bedrag (in euro's) van de boodschappen en het aantal zegeltjes .
Dus: .
Zeg in woorden hoe je bij een waarde van de bijbehorende waarde van uitrekent; Gebruik “afronden”.
Als je afrondt naar beneden op een geheel getal, krijg je . We zeggen ook wel: is het gehele deel van . En is de rest (het breukdeel) van .
De afrondfunctie die aan een getal zijn gehele deel koppelt, heet Integer (het Engelse woord voor geheel).
Op een programmeerbaar rekenmachientje zit deze functie ook, meestal onder de naam
Integer. De functie rondt consequent naar beneden af,
ook bij negatieve getallen. Dus .
Even oefenen: Wat is de uitvoer van INT bij de volgende invoeren?
Teken de grafiek van de functie .
De functie voegt aan een getal het breukdeel toe. Bijvoorbeeld:
Even oefenen: Wat is de uitvoer van bij de volgende invoeren?
Teken de grafiek van de functie .
getal het breukdeel
Welke waarden kan de uitvoer van hebben?
Op een veiling worden tomaten verhandeld: tuinders bieden tomaten aan, winkeliers kopen ze op. Hoeveel tomaten de tuinders naar de veiling brengen (het aanbod), hangt af van de prijs die ze voor de tomaten ontvangen. De prijs bepaalt ook hoe groot de vraag is.
Welk effect zal een prijsverhoging hebben op het aanbod? En op de vraag?
is de prijs van een kg tomaten.
De aanbodfunctie voegt aan de prijs het aanbod toe (in honderden kg).
Dus: .
De vraagfunctie voegt aan de prijs het aanbod toe (in honderden kg).
Dus: .
Deze functies hangen in de praktijk af van allerlei factoren. Om economische
verschijnselen beter te kunnen verklaren,
wordt in de economie de werkelijkheid vereenvoudigd tot een model.
In het meest eenvoudige model gebruikt men lineaire functies, dus functies waarvan
de grafiek een rechte lijn is.
We nemen als voorbeeld: en .
Teken de grafieken van deze functies in een figuur.
In normale omstandigheden is de tomatenmarkt in evenwicht. Vraag en aanbod zijn dan precies gelijk: er is geen tekort en ook geen overschot.
Bereken de evenwichtsprijs en de evenwichtshoeveelheid in ons voorbeeld.
Soms zijn de omstandigheden niet normaal. Zo kan de vraag ineens instorten. Veronderstel dat de vraag wordt: , terwijl het aanbod blijft: . De evenwichtsprijs is dan veel te laag voor de tuinders. De overheid stelt dan een minimumprijs vast, zeg .
Hoe groot is het overschot aan tomaten, bij die prijs? (Dat is het aanbod min de vraag.)
In zo’n situatie wordt het overschot door de overheid uit de markt genomen
(= “doorgedraaid”).
Soms kan het aanbod drastisch afnemen. Veronderstel dat de aanbodfunctie wordt: ,
terwijl de vraag blijft: . De evenwichtsprijs is dan onaanvaardbaar hoog voor de
consument. De overheid stelt dan een maximumprijs vast, zeg .
Hoe groot is het tekort aan tomaten bij die prijs? (Dat is de vraag min het aanbod.)
In zo’n situatie van schaarste worden de tomaten gedistribueerd (via een bonnensysteem).
We hebben ons tot nu toe beperkt tot functies met reële getallen als invoer en uitvoer. In het vervolg van deze paragraaf bekijken we functies waarbij de invoer en uitvoer ook andere dingen kunnen zijn.
We werken met de verzameling mensen die leven of ooit geleefd hebben.
is de functie die aan een mens zijn/haar vader toevoegt.
Dus: .
is de functie die aan een mens zijn/haar moeder toevoegt.
Dus: .
Merk op dat een mens maar een vader en een moeder heeft; dus zijn en inderdaad functies.
Waarom kunnen we niet spreken van de functie die aan een mens zijn/haar grootvader toevoegt?
Door met en kettingen te maken, krijg je nieuwe functies die aan mensen mensen toevoegen.
Beschrijf in woorden wat de volgende kettingen doen:
,
,
.
We bekijken alle rijtjes van vier cijfers. Bijvoorbeeld: , , .
Hoeveel van die rijtjes zijn er?
We bekijken drie functies waarbij zowel de invoer als uitvoer rijtjes van vier cijfers zijn.
De functie keert de volgorde om.
Bijvoorbeeld: .
De functie verwisselt de middelste twee cijfers.
Bijvoorbeeld: .
De functie zet het laatste cijfer vooraan.
Bijvoorbeeld: .
Omschrijf de volgende kettingen in woorden:
,
,
.
Nu omgekeerd. Door handig twee of meer van de functies , en te combineren, kun je de drie kettingen in de vragen c, d en e maken. Pas op: het zijn best lastige puzzels. Er zijn meerdere goede antwoorden mogelijk.
Welke ketting verwisselt het voorste en achterste cijfer (en laat de andere twee op hun plaats)?
Welke ketting verwisselt het voorste twee cijfers (en laat de achterste twee op hun plaats)?
Welke ketting verwisselt het eerste en het derde cijfer en ook het tweede en het vierde cijfer?
Iemand werpt met twee dobbelstenen, een oker en een blauwe. Getekend staat een plaatje
van de
verzameling mogelijke worpen. Als voorbeeld is de worp aangegeven: ogen met de oker dobbelsteen
en ogen met de blauwe.
We bekijken functies bij de worpen met de twee dobbelstenen.
Je krijgt zoveel euro van mij als de som van de ogen bedraagt.
De functie SOM telt de ogen van beide dobbelstenen op.
Dus .
Wat is de uitvoer van bij de worp ?
En bij de worp ?
Je krijgt zoveel euro van mij als het verschil van de ogen bedraagt.
De functie neemt het (absolute) verschil tussen de twee aantallen ogen, dat is de grootste min
de kleinste.
Dus .
Wat is de uitvoer van bij de worp ?
En bij de worp ? Onderscheid twee gevallen.
Je krijgt zoveel euro van mij als het aantal ogen op de blauwe dobbelsteen bedraagt.
De functie neemt het aantal ogen van de blauwe dobbelstenen.
Dus .
Wat is de uitvoer van bij de worp ?
Je krijgt euro’s van mij als de aantallen ogen gelijk zijn; anders krijg je niets.
De functie geeft als uitvoer als de aantallen ogen gelijk zijn en anders het getal .
.
Wat is de uitvoer van bij de worp ?
En bij de worp ? Onderscheid twee gevallen.
Je krijgt zoveel euro’s van mij als het grootste aantal ogen bedraagt.
De functie neemt het maximum (de grootste) van de twee aantallen ogen.
Wat is de uitvoer van bij de worp ?
En bij de worp ?
Voor elk even aantal ogen krijg je euro, voor elk oneven aantal moet je euro betalen.
Deze functie noemen we ; bekijk zijn "röntgenfoto".
Wat is de uitvoer van bij de worp ?
Zeg in woorden wat met de twee aantallen ogen doet.
In totaal zijn er worpen met een oker en een blauwe dobbelsteen. We gebruiken de functies van
opgave 45. Er zijn twee worpen waarbij uitvoer geeft. Die zijn in het plaatje aangegeven.
De kans op een dergelijke worp is dus .
Teken zelf vijf plaatjes en geef aan welke worpen uitvoer geven bij de andere functies van de vorige opgave: , , , en .
Wat is de kans op uitvoer bij elk van de zes functies?
Welke waarden kan de uitvoer bij elk van de zes functies aannemen?
De zes functies zijn zogenaamde toevalsfuncties of stochasten. De waarde van de uitvoer wordt door het toeval bepaald.