30.3  Kwadratische functies >
Functies met een kwadraat
1

Bekijk de ketting:
[ MIN    1 ] [ KWADRAAT ] [ MAAL - 1 2 ] [ PLUS  3 ]

a

Stel een formule op voor deze functie (druk de uitvoer y uit in de invoer x ).

Bekijk de tabel van deze functie.

x

19

5

2

0

1

2

4

7

21

y

197

15

1,5

2,5

3

2,5

1,5

15

197

Het valt op dat elke uitvoer y twee keer optreedt; alleen uitvoer 3 komt maar één keer voor.

b

Neem over en vul in:
De uitvoeren bij x = 5 en x = ... zijn gelijk.
De uitvoeren bij x = 100 en x = ... zijn gelijk.

c

Druk de uitvoeren bij x = 1 + a en x = 1 a uit in a en laat zien dat deze hetzelfde zijn (haakjes uitwerken).

De grafiek is een parabool.

d

Teken die voor 4 x 4 .

2

De grafiek van y = 1 2 ( x 1 ) 2 + 3 is een parabool.
Je kunt aan de formule onmiddellijk zien welk punt de top is.

a

Hoe zie je dat?

Ook kun je aan de formule zien dat het een bergparabool betreft (met een hoogste punt).

b

Waar zie je dat aan?

Zeg van de volgende parabolen wat de top is en of het een berg- of een dalparabool is.

c

y = 2 ( x 5 ) 2 + 1
y = ( x + 4 ) 2 + 6
y = 1,5 ( x 10 ) 2

Herhaling

De grafiek van de functie y = c ( x a ) 2 + b , waarbij c 0 , is een parabool met top ( a , b ) .
Het is een bergparabool als c < 0 en een dalparabool als c > 0 .
Het getal c bepaalt de “steilte” van de parabool.
Als c positief is en groter wordt, of als c negatief is en kleiner wordt, wordt de parabool steiler.

3

Bekijk de parabool met top ( 2, 1 ) . Een formule van de parabool heeft de vorm y = c ( x ... ) 2 + ... , voor een of ander getal c .

a

Welke getallen komen op de invulstrepen?

De parabool gaat door het punt ( 5,2 ) . Met dit extra gegeven kun je het “steiltegetal” c berekenen.

b

Doe dat.

Als je vanuit de top op de parabool 1 naar rechts en 1 naar links gaat en een stukje naar boven, krijg je de punten ( 1,... ) en ( 3,... ) van de parabool.

c

Wat zijn de tweede coordinaten van die punten?

4
a

Stel een formule op voor de parabool met top ( 3, 2 ) , die door het punt ( 5,6 ) gaat.

b

Stel een formule op van de parabool die raakt aan de x -as, de lijn x = 2 als symmetrieas heeft en door het punt ( 8,20 ) gaat.

5

We bekijken vier parabolen. Op elke parabool zijn een aantal roosterpunten aangegeven.

Zoek van elke parabool een vergelijking in de gedaante y = ... ( x ... ) 2 + ... .
Zoek eerst de top. Bepaal dan het steiltegetal.

6

Twee parabolen snijden elkaar in twee punten.

a

Stel een formule op voor elk van de parabolen.

b

Lees af wat de snijpunten zijn.

c

Controleer met een berekening of de punten inderdaad aan de vergelijkingen van de twee parabolen voldoen.

Je kunt de x -coördinaten van de snijpunten ook berekenen door de vergelijking 1 2 ( x 2 ) 2 + 1 = 1 2 ( x 4 ) 2 + 6 op te lossen.

d

Doe dat.

7

Opgave 24 ging over de parabolen met formules:
y = 1 2 ( x 1 ) 2 + 3

y = 2 ( x 5 ) 2 + 1

y = ( x + 4 ) 2 + 6

y = 1,5 ( x 10 ) 2

a

Werk van allevier de haakjes uit. Je krijgt dan formules in de gedaante y = ... x 2 + ... x + ... .

b

Bereken de snijpunten van de parabool y = 2 ( x 5 ) 2 + 1 met de parabool y = x 2 .

c

Bereken de snijpunten van de parabool y = 2 ( x 5 ) 2 + 1 met de parabool y = 2 x 2 .

d

Bereken de snijpunten van de parabool y = 2 ( x 5 ) 2 + 1 met de lijn y = 2 x + 3 .

8
a

Wat is de top van de parabool y = 1 4 ( x + 4 ) 2 4 ?

b

Teken de parabolen y = x 2 en y = 1 4 ( x + 4 ) 2 4 in één figuur.

c

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de parabolen.

Op de site van de Wageningse Methode vind je de Software_fundamenten_algebra, met het programma Verwante Grafieken. Daarin kan de topvergelijking van een parabool geoefend worden. Kies alleen voor de optie Parabool y = c ( x a ) 2 + b .


9

TV-schotels zijn parabolisch. Dat wil zeggen dat de doorsneden (door het midden) parabolen zijn. Door hun speciale vorm worden alle signalen die evenwijdig aan de symmetrieas op de schotel vallen, gespiegeld naar een punt, het zogenaamde brandpunt. Zodoende worden de signalen gebundeld (en dus versterkt). In het brandpunt zit de ontvanger.

We bekijken een schotel met diameter 80  cm en diepte 8  cm. We plaatsen zijn doorsnede in een assenstelsel, met zijn top in de oorsprong en met de y -as als symmetrieas. De eindpunten van de doorsnede zijn dus de punten ( 40,8 ) en ( 40,8 ) .

a

Geef een vergelijking van de doorsnede.

Een andere schotel is twee keer zo groot: de diameter is 160  cm en de diepte is 16  cm. De doorsnede van deze grotere schotel wordt op dezelfde manier in het assenstelsel geplaatst.

b

Geef ook een vergelijking van deze schotel.

c

Wat vind jij, zijn de schotels in de top even sterk gekromd?
Dit is een vraag om over te discussiëren. In de antwoorden is hier niets over opgenomen.

In een dal in de Eifel te Effelsberg (Duitsland) staat de grootste radiotelescoop ter wereld die in alle richtingen draaibaar is. Het is een parabolische reflector-antenne, waarmee het Max-Planck-Institut observaties doet in de ruimte. Hij weegt in totaal zo’n 3.200  ton. Zestien motoren met een vermogen van 10,2  kW zorgen voor de horizontale rotatie van het gevaarte. De beweging van de schotel komt voor rekening van vier motoren van 17,5  kW elk. De reflector is opgebouwd uit 2.352  panelen, samen goed voor 7.850  m2. De doorsnede van de schotel is 100  m.
Bekijk de schotel op Effelsberg. Daar kun je het gevaarte ook zien draaien (klik op webcam).

10

Als bij een tenniswedstrijd de bal zonder effect wordt geslagen, volgt hij een parabolische baan. Veronderstel dat het hoogste punt van de baan precies boven het midden van het net ligt, op 2  meter hoogte. Neem bovendien aan dat de bal precies op het midden van de achterlijn terecht komt (de bal is dan nog net “in”). De baan ligt dus recht boven de as van het tennisveld.
De afstand net-achterlijn is 12  m.

We gaan de baan van de bal in een assenstelsel tekenen. Neem de y -as verticaal door het hoogste punt van de baan en de x -as over de as van het veld.

a

Stel een vergelijking op van de baan.

b

Teken de baan op schaal 1 : 200 .

c

Op welke hoogte moet de bal zijn geslagen als de speler 6  meter van het net stond?

Je kunt elke formule in de gedaante y = ... x 2 + ... x + ... schrijven als y = c ( x a ) 2 + b .
Dat doe je met kwadraatafsplitsen.

Voorbeeld
y = x 2 + 10 x + 7
y = x 2 + 10 x + 25 18
y = ( x + 5 ) 2 18
De grafiek is dus een parabool met top ( 5, 18 ) .

11
12

Vind zo ook de top van de parabolen:
y = x 2 8 x
y = x 2 8 x + 11
y = x 2 + 100 x + 100

11s
12s

Voorbeeld
We schrijven de formule y = 1 2 x 2 + 3 x 11 in de gedaante y = c ( x a ) 2 + b .
Vermenigvuldig eerst met 2 en splitst vervolgens kwadraat af:
2 y = x 2 6 x + 22
2 y = x 2 6 x + 9 + 13
2 y = ( x 3 ) 2 + 13
Deel dan door 2 :
y = 1 2 ( x 3 ) 2 6 1 2
Het is dus een bergparabool met top ( 3, 6 1 2 ) .

Vind zo ook de top van de parabolen:

  • y = 10 x x 2

  • y = 2 x 2 + 12 x + 100

  • y = 2 3 x 2 + 4 x + 6

  • y = 2,5 x 2 + 10 + 5 x

13

y = ( x 2 ) ( x + 3 )

a

Schrijf de formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Je ziet dat de grafiek van deze functie een parabool is.

b

Welk punt is de top van de parabool?

Zoals eerstegraads functies y = a x + b altijd een rechte lijn als grafiek hebben, hebben ook tweedegraads of kwadratische functies eenzelfde soort grafiek.

De grafiek van een kwadratische functie y = x 2 + p x + q is een parabool.
De top daarvan vind je met kwadraatafsplitsen.