Functies in de praktijk

Voorlopig bekijken we alleen functies met getallen als invoer en uitvoer. In de laatste paragraaf zullen we ook andere soorten invoer toelaten.

Als je weet wat een brief weegt, weet je hoeveel postzegels erop moet (per 01 augustus 2013 kost een postzegel $60$ cent):
gewicht (gram) $\to$ aantal postzegels

Bekijk de grafiek van het aantal postzegels als functie van het gewicht van een brief.

Hoeveel postzegels moet er op een brief van $110$ gram?

Een brief is twee keer zo zwaar als een andere. Maar er moet evenveel postzegels op.

Wat kan de lichtste van die twee brieven gewogen hebben? Geef een voorbeeld.

$1$ gram erbij en het aantal postzegels stijgt met $50 %$ .

Wat weegt de brief (ongeveer)?

Het aantal postzegels is een functie van het gewicht.
Je kunt de pijl niet omdraaien: het gewicht is geen functie van het aantal postzegels.

Waarom niet?

De Vrij gaat op vakantie in Indonesië. De vliegreis kost $€ 3000$ ,-. Het aantal dagen dat hij in Indonesië zal verblijven noemen we $d$ ; de verblijfkosten zijn $€ 50$ ,- per dag.

Wat kost de vakantie in totaal als de Vrij $14$ dagen in Indonesië zal verblijven?

Als je het aantal dagen $d$ kent dat De Vrij in Indonesië verblijft, kun je de totale kosten $v$ (euro) uitrekenen.
aantal verblijfdagen $d$ $\to$ totale vakantiekosten $v$

Geef de omrekenformule: $v = ... + ... \cdot d$ .

Wat zijn de gemiddelde kosten per vakantiedag als hij $14$ dagen in Indonesië verblijft?

Als je het aantal dagen $d$ kent, kun je de gemiddelde kosten $g$ (euro) per dag uitrekenen.
aantal verblijfdagen $d$ $\to$ gemiddelde kosten per dag $g$

Geef de omrekenformule.

Een tanker is lekgeslagen op de rotsen van Bretagne. Er lekt olie uit de tanker, elke dag $10.000$ m³. Er is een grote olievlek rond de tanker ontstaan, die zich voortdurend uitbreidt.
Als je het aantal dagen kent dat het geleden is dat de tanker op de rotsen sloeg, kun je de hoeveelheid olie uitrekenen die uit de tanker is gelekt.

Het aantal dagen lekken noemen we $d$ , de hoeveelheid gelekte olie in m³ noemen we $h$ .
We kunnen dus schrijven: $d \to h$ .

Geef de omrekenformule waarmee je $h$ kunt uitrekenen als je $d$ kent.

Neem aan dat de olievlek overal $1$ dm hoog is.
Als je het aantal dagen kent dat het geleden is dat de tanker op de rotsen sloeg, kun je ook de oppervlakte van de olievlek uitrekenen; die oppervlakte noemen we $v$ .
aantal dagen lekken $d$ $\to$ opp. olievlek $v$ (km²)
Afgekort: $d \to v$

Wat is dan de oppervlakte van de laag olie na $d$ dagen?

De “omgekeerde functie” voegt aan de oppervlakte $v$ het aantal dagen lekken $d$ toe. Dus $v \to d$ .

Geef de omrekenformule.

Neem aan dat de olievlek een cirkel is. (De werkelijkheid is vaak anders. Door de wind en de stroming zal de vlek anders van vorm worden en blijft hij ook niet rond het schip liggen).

Wat is dan de straal van de olievlek na $10$ dagen?

Als je het aantal dagen kent dat het geleden is dat de tanker op de rotsen sloeg, kun je de straal van de cirkel uitrekenen. Die straal noemen $r$ .
aantal dagen lekken $d$ $\to$ straal cirkel $r$ (km)
Afgekort: $d \to r$

Geef de omrekenformule.

Een boek heeft $170$ bladzijden.

Hoeveel moet je er nog lezen, als je $69$ bladzijden gelezen hebt?

Het aantal bladzijden dat je al gelezen hebt noemen we $x$ ; het aantal dat je nog moet lezen noemen we $y$ .

Is $y$ een functie van $x$ ?
Geef de omrekenformule (waarbij $y$ uitgedrukt wordt in $x$ ).

Is $x$ een functie van $y$ ?
Geef de omrekenformule (waarbij $x$ uitgedrukt wordt in $y$ ).

De luchtdruk hangt af van de hoogte. We gaan uit van een luchtdruk van $105$ pascal op zeeniveau. Elke vijf km stijging daalt de luchtdruk met $50 %$ .
Als je de hoogte kent, kun je de luchtdruk uitrekenen:
hoogte (km) $\to$ luchtdruk (pascal)

Wat is de luchtdruk op $5$ km en op $10$ km hoogte?

Waarom wordt de luchtdruk binnen een vliegtuig dat op bijvoorbeeld $10$ km hoogte vliegt) kunstmatig geregeld?

Kun je de pijl ook omkeren, dus:
luchtdruk $\to$ hoogte? Waarom?

We hebben een stel voorbeelden gezien van functies. Functies kom je overal tegen. Zoals rekenen niet zonder getallen kan, en meetkunde niet zonder figuren, kan wiskunde niet zonder functies. Wat is een functie eigenlijk? Dat gaan we nu proberen te zeggen.

Stel dat je twee variabelen hebt, zeg $a$ en $b$ , en $b$ hangt op de een of andere manier samen met $a$ . In díe zin dat bij elke waarde van $a$ (in principe) maar één waarde van $b$ bestaat (niet meer).
Dan zeggen we dat $b$ een functie is van $a$ .
En we noteren: $a \to b$ .
Je zou de pijl kunnen uitspreken als: "aan $a$ wordt $b$ "toegevoegd" of "bij $a$ hoort b"
("In principe", omdat het wel eens moeilijk kan zijn om bij een waarde van $a$ de bijbehorende waarde van $b$ te bepalen.)

Machientjes zijn functies

Op mijn rekenmachine zit de knop $[1 / x]$ ; op andere machines heet diezelfde knop anders, bijvoorbeeld $x^{‐ 1}$ . Dat is een voorbeeld van een functie, en wel een heel eenvoudige. Je voert een getal in in de rekenmachine, drukt op die knop en er verschijnt een (meestal ander) getal in het venster.

Zoek uit wat de werking van die knop is.

Werkt die knop ook als je een negatief getal invoert? En als je $0$ invoert?

Welke invoergetallen laat de knop onveranderd?

Je voert een getal in in je rekenmachine. Een knop maakt er een ander getal van:
invoer $\to$ [knop] $\to$ uitvoer

De functie in opgave 9 heeft een eigen naam:
OMGEKEERDE, afgekort OMG.
Een formule van deze functie is: $y = \frac{1}{x}$ als de invoer $x$ heet, en de uitvoer $y$ .

We gaan nu kijken welke andere functies er standaard op de rekenmachine zitten:
$[x^{2}]$ , $[\sqrt{}]$ , $[+]$ , $[-]$ , $[\times]$ , $[:]$ , $[^]$

De knop $[x^{2}]$ voegt aan een getal zijn kwadraat toe.
Dus: invoer $x$ $\to$ uitvoer $y$ .
Er geldt: $y = x^{2}$ .
Deze functie noemen we $[KWADRAAT]$ .

De knop $[\sqrt{}]$ voegt aan een getal de wortel van dat getal toe.
Dus: invoer $x$ $\to$ uitvoer $y$
Er geldt: $y = \sqrt{x}$ .
Deze functie noemen we $[WORTEL]$ .

Welke getallen kun je niet als invoer nemen bij de functie $[WORTEL]$ ?

Wat hebben de functies $[KWADRAAT]$ en $[WORTEL]$ met elkaar te maken?

De andere vijf knoppen zijn eigenlijk een heleboel functies tegelijk. Bijvoorbeeld de knop $[+]$ . Door daarna een getal, zeg 5, in te tikken, ontstaat de functie $[PLUS 5]$ .
In hoofdstuk 9 heb je machientjes als $[PLUS 5]$ , $[MIN 3]$ , $[MAAL - 2]$ en $[DEEL DOOR 1,5]$ leren kennen. Dat zijn voorbeelden van functies.

We noemen de invoer weer $x$ en de uitvoer $y$ .
Bij de functie $[PLUS 5]$ hoort dan de formule $y = x + 5$ .
Bekijk de grafiek van deze functie.

Welke formules horen bij de functies $[MIN 3]$ , $[MAAL - 2]$ en $[DEEL DOOR 1,5]$ ?

Teken de grafieken van deze functies.

Ten slotte de functie $[^3]$ ; je zou dit machientje DERDEMACHT kunnen noemen.

Wat doet die functie met een getal?

Geef een formule voor de uitvoer $y$ , uitgedrukt in de invoer $x$ .

Ken jij een andere naam voor de functie $[^2]$ ?

Weet jij een andere naam voor de functie $[PLUS - 2]$ ?

En voor de functie $[MIN - 2]$ ?

Weet je een andere naam voor de functie $[MAAL \frac{1}{2}]$ ?

En voor de functie $[DEEL DOOR - \frac{1}{2}]$ ?

10s

11s

$[MAAL \frac{p}{q}] = [DEEL DOOR ?]$
Welk getal hoort op de plaats van het vraagteken?

Er is nog de knop $[+ / -]$ op mijn rekenmachine. Die maakt van invoer $3$ uitvoer $‐3$ en van invoer $‐ \frac{1}{2}$ uitvoer $\frac{1}{2}$ .

Zeg in eigen woorden wat deze knop doet.

Geef een formule voor de uitvoer $y$ , uitgedrukt in de invoer $x$ .

Niet elke rekenmachine heeft deze knop, maar dat is niet erg.

Wat kun je doen om deze functie uit te voeren op een rekenmachine die deze knop mist?

Ook deze functie heeft een eigen naam: $[TEGEN]$ .

Kettingen

De functies in de laatste opgaven waren erg eenvoudig. Dat zijn “basisfuncties”. De basisfuncties zitten allemaal op zelfs de meest eenvoudige rekenmachine. Door de basisfuncties te combineren (na elkaar te schakelen), kun je er ingewikkelde(re) functies mee bouwen. Je zou dus kunnen zeggen dat de basisfuncties bouwstenen zijn voor andere functies.

Een auto rijdt van Utrecht naar Arnhem over Rijksweg A12. Om $10.20$ uur komt hij bijverkeersplein Oudenrijn op de rijksweg en verlaat deze weer om $11.00$ uur via afslag Arnhem. Hij heeft dan $60$ km op de A12 afgelegd. We nemen aan dat de auto met constante snelheid rijdt.

Hoeveel km legt de auto per minuut af?

Je kunt op elk moment uitrekenen hoeveel km de auto van Oudenrijn af is. Het aantal minuten over $10$ uur noemen we $t$ ; het aantal kilometer vanaf Oudenrijn noemen we $a$ .

Maak een tabel voor de waarden $t$ is $20$ , $30$ , $40$ , $50$ en $60$ en teken de grafiek.

$t$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$a$	...	...	...	...	...

Neem $t = 44$ . De berekening van de bijbehorende waarde van $a$ gaat in twee stappen. Eerst trek je een getal van $44$ af en dan vermenigvuldig je de uitkomst met een getal.

Schrijf die berekening op.

Om de tijd $t$ (het aantal minuten over $10$ uur) om te rekenen naar de afstand $a$ van Oudenrijn, pas jij twee machientjes toe.

Neem over en vul de juiste getallen in:
$t \to [MIN ...] \to [MAAL ...] \to a$ .

Je kunt ook een formule geven voor het verband waarbij $a$ wordt uitgedrukt in $t$ .

Geef die formule.

We gaan verder met de context van opgave 15. Een motor rijdt dezelfde weg, met dezelfde snelheid, maar in tegengestelde richting. Om $10.00$ uur komt hij bij Arnhem op de A12 en hij verlaat hem bij Oudenrijn om $10.40$ uur. Je kunt berekenen hoeveel km $a$ de motor van Oudenrijn af is om $t$ minuten over $10$ uur.

Maak een tabel voor de motor en teken de grafiek in dezelfde figuur als bij de vorige opgave.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$
$a$	$60$	...	...	...	...

Er is een ketting van twee machientjes die voor de motor $t$ omrekent in $a$ .

Neem over en vul in:
$t \to [MAAL - 1,5] \to [PLUS ...] \to a$ .

Geef een formule voor het verband die voor de motor $a$ uitdrukt in $t$ .

Bereken hoe laat de auto van opgave 15 en de motor elkaar op de A12 ontmoeten. Los daartoe een vergelijking op. Controleer je antwoord in de grafiek.

Bekijk de ketting: $x \to [TEGEN] \to [PLUS 4] \to y$ .

Welke formule drukt bij deze ketting de uitvoer $y$ uit in de invoer $x$ ?

Dezelfde vraag voor de ketting: $x \to [PLUS 4] \to [TEGEN] \to y$

De drie functies $[PLUS - 2]$ , $[MAAL \frac{1}{2}]$ en $[KWADRAAT]$ kun je op zes manieren na elkaar schakelen tot een ketting.

Schrijf die zes kettingen op.

Geef bij elke ketting de formule.

$x \to [OMGEKEERDE] \to [MAAL 4] \to y$

Geef een formule voor $y$ als functie van $x$ .

Maak een tabel op klad en teken de grafiek van deze functie.

Voor welke invoer $x$ is er geen uitvoer?

Welke invoer $x$ levert uitvoer $20$ op?

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

Schrijf deze functie als ketting van drie machientjes.

Maak een tabel op klad en teken de grafiek van deze functie.

Welke getallen kun je bij deze functie niet als invoer kiezen?

Welke invoer $x$ levert uitvoer $20$ op?

Bekijk deze grafiek van een functie met $x$ als invoer en $y$ als uitvoer.

Stel een formule voor $y$ , uitgedrukt in $x$ .

Schrijf deze functie als ketting van machientjes.

Welke invoer $x$ levert uitvoer $24$ op?

Je kunt een functie beschouwen als een machine. Daarin kun je getallen invoeren. In het inwendige van de machine gebeurt het een en ander. Daarna voert de machine een getal uit. De uitvoer hangt af van de invoer. Bij een getal als invoer hoort nooit meer dan een getal als uitvoer.

De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Maar voorlopig is dat voor ons wel het geval. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bekijken we ook andere soorten functies.

Van twee functies kun je een “ketting” maken door de ene na de andere toe te passen. Zodoende kun je met de basisfuncties nieuwe functies bouwen. Maar soms zijn die kettingen eigenlijk een oude functie, zoals in de volgende opgave.

De ketting van de functies $[PLUS 6] \to [MIN ‐ 9]$ kun je korter weergeven. Hoe?

Zo is ook de ketting $[MAAL 6] \to [MAAL ‐ 9]$ een oude bekende.

Welke functie is dat?

Schrijf zo ook korter:

$[MIN 5] \to [MIN - 3]$
$[DEEL DOOR \frac{1}{2}] \to [DEEL DOOR 3]$
$[TEGEN] \to [MAAL 4]$
$[TEGEN] \to [TEGEN] \to [TEGEN]$
$[OMG] \to [OMG] \to [OMG]$

Vergelijk de kettingen $[PLUS 2] \to [MAAL - 3]$ en $[MAAL - 3] \to [PLUS 2]$ .

Welke uitvoer geeft elk van de functies bij invoer $8$ ?
En bij invoer $100$ ?

Welke uitvoer geeft elk van de functies bij invoer $x$ ?
Schrijf die zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Je ziet dat bij de ene functie de uitvoer altijd groter is dan bij de andere.

Hoeveel groter?

19s

21s

$[TEGEN] \to [PLUS 5]$ en $[PLUS 5] \to [TEGEN]$ zijn verschillende kettingen. Dat wil zeggen dat ze bij dezelfde invoer verschillende uitvoer geven.

Welke van de twee kettingen geeft de grootste uitvoer? Hoeveel groter dan de andere ketting?

$[OMG] \to [MAAL 5]$ en $[MAAL 5] \to [OMG]$ zijn verschillend. De twee kettingen geven bij dezelfde invoer verschillende uitvoer.

Met welk getal moet je de uitvoer bij de tweede ketting vermenigvuldigen om de uitvoer bij de eerste ketting te krijgen?

20s

22s

$[MIN 1] \to [MAAL 2] \to [MIN 1] \to [MAAL 2] \to [MIN 1] \to [MAAL 2]$

Druk de uitvoer $y$ van deze ketting uit in de invoer $x$ . Schrijf de formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Kettingen waarin alleen de functies $[PLUS ...]$ , $[MIN ...]$ , $[MAAL ...]$ en
$[DEEL DOOR ...]$ voorkomen hebben een formule van de vorm $y = a x + b$ .
De grafiek van zo’n kettingfunctie is een rechte lijn; we spreken van een lineaire functie.