29.6 Vergelijkingen oplossen >

Hoofdstukken > Parabolen

Niet alle vergelijkingen zijn op te lossen met ontbinden. Soms is het zelfs niet nodig om haakjes uit te werken. Zie volgend voorbeeld.

Voorbeeld
Los op:
${(x + 4)}^{2} = 9$
$x + 4 = 3$ of $x + 4 = ‐ 3$
$x = ‐ 1$ of $x = ‐ 7$

In het bovenstaande voorbeeld had je eventueel de haakjes kunnen uitwerken en vervolgens kunnen ontbinden in factoren. Maar als je geen gehele getallen als oplossing krijgt lukt dat niet.
Hoe je de vergelijking ${(x + 4)}^{2} = 10$ oplost zie je hieronder.

Voorbeeld
Los op:
${(x + 4)}^{2} = 10$
$x + 4 = \sqrt{10}$ of $x + 4 = ‐ \sqrt{10}$
$x = ‐ 4 + \sqrt{10}$ of $x = ‐ 4 - \sqrt{10}$

Los zo ook de volgende vergelijkingen op.

${(x - 3)}^{2} = 100$	${(x - 3)}^{2} = 13$
${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 25$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 48$
${(2 x + 1)}^{2} = 36$	${(2 x + 1)}^{2} = 68$

Neem over en vul in.

$x^{2} + 10 x + ... = {(x + ...)}^{2}$	$x^{2} - ... x + 12 \frac{1}{4} = {(... - ...)}^{2}$
$x^{2} - ... x + ... = {(... - 6)}^{2}$	$x^{2} + 8 x = {(x + ...)}^{2} - ...$
$x^{2} - ... x + 64 = {(... - ...)}^{2}$	$x^{2} + 11 x = {(x + ...)}^{2} - ...$
$x^{2} + 9 x + ... = {(x + ...)}^{2}$	$x^{2} - 6 x = {(x - ...)}^{2} - ...$
$x^{2} - ... x + ... = {(... - 5 \frac{1}{2})}^{2}$

$x^{2} + 9 x + 20 \frac{1}{4}$ schrijven als ${(x + 4 \frac{1}{2})}^{2}$ en $x^{2} - 6 x$ schrijven als ${(x - 3)}^{2} - 9$ noemen we kwadraatafsplitsen.

Vergelijkingen oplossen met kwadraatafsplitsen

Voorbeeld
Hoe los je de vergelijking $x^{2} - 6 x = ‐ 4$ op?

$x^{2} - 6 x = ‐ 4$	PLUS ${(‐ 3)}^{2}$
$x^{2} - 6 x + {(‐ 3)}^{2} = ‐ 4 + {(‐ 3)}^{2}$	KWADRAATAFSPLITSEN
${(x - 3)}^{2} = 5$
$x - 3 = \sqrt{5}$	of	$x - 3 = ‐ \sqrt{5}$
$x = 3 + \sqrt{5}$	of	$x = 3 - \sqrt{5}$

Los zo ook de volgende vergelijkingen op.

$x^{2} + 10 x = 90$	$x^{2} - 12 x = ‐ 23$
$x^{2} + 7 x + 1 = 0$	$x^{2} - 5 x - 1 = 0$
$x^{2} + 10 x + 22 = 0$	$x^{2} = x + 3$
$x^{2} - 11 x = ‐ 7$	$x^{2} - 9 x - 3 = 0$

abc-formule

In de voorgaande vergelijkingen stond er steeds $x^{2}$ en niet bijvoorbeeld $2 x^{2}$ .
Wat te doen als dat wel het geval is? Een voorbeeld zie je hieronder.

Voorbeeld
Los op:

$2 x^{2} + 12 x + 6 = 0$	DELEN DOOR 2
$x^{2} + 6 x + 3 = 0$	PLUS 6
$x^{2} + 6 x + 3 + 6 = 6$	VEREENVOUDIGEN
$x^{2} + 6 x + 9 = 6$	KWADRAATAFSPLITSEN
${(x + 3)}^{2} = 6$
$x + 3 = \sqrt{6}$	of	$x + 3 = ‐ \sqrt{6}$
$x = ‐ 3 + \sqrt{6}$	of	$x = ‐ 3 - \sqrt{6}$

Er is een formule die je onmiddellijk de oplossingen geeft van een tweedegraads vergelijking. Dat is de zogenaamde abc-formule.
Van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ , met $a \neq 0$ , zijn de oplossingen:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Welk getal stellen $a$ , $b$ en $c$ voor in het voorbeeld $2 x^{2} + 12 x + 6 = 0$ van hierboven.

Vul de getallen voor $a$ , $b$ en $c$ in in de oplossingen $x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ en $x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ en laat zien dat er inderdaad voor $x$ de waarden $‐ 3 + \sqrt{6}$ en $‐ 3 - \sqrt{6}$ uit komen.

(hint)

\sqrt{96} = 4 \sqrt{6}

De abc-formule (wortelformule)
Algemeen:
$a x^{2} + b x + c = 0$ , met $a \neq 0$ , dan zijn de oplossingen:
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Of de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van $D = b^{2} - 4 a c$ . We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)

De vierkantsvergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ heeft

geen oplossingen als $D < 0$
één oplossing als $D = 0$ , namelijk: $x = ‐ \frac{b}{2 a}$
twee oplossingen als $D > 0$ namelijk: $x = \frac{‐ b + \sqrt{D}}{2 a}$ of $x = \frac{‐ b - \sqrt{D}}{2 a}$

Een bewijs van de abc-formule

$a x^{2} + b x + c = 0$	MAAL $4 a$
$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$	kwadraatafsplitsen
${(2 a x + b)}^{2} - b^{2} + 4 a c = 0$	PLUS $b^{2}$ en MIN $4 a c$
${(2 a x + b)}^{2} = b^{2} - 4 a c$
$2 a x + b = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$	of	$2 a x + b = ‐ \sqrt{b^{2} - 4 a c}$
$2 a x = ‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}$	of	$2 a x = ‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}$
$x = \frac{‐ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$	of	$x = \frac{‐ b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Voorbeeld
$7 x^{2} - 6 x + 1 = 0$
Deze vergelijking krijg je uit $a x^{2} + b x + c = 0$ door $a = 7$ , $b = ‐ 6$ en $c = 1$ in te vullen.
$D = {(‐ 6)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 36 - 28 = 8$ (dus de vergelijking heeft twee oplossingen)
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$
$x = \frac{‐ (‐ 6) + 2 \sqrt{2}}{14}$ of $x = \frac{‐ (‐ 6) - 2 \sqrt{2}}{14}$
$x = \frac{3}{7} + \frac{1}{7} \sqrt{2}$ of $x = \frac{3}{7} - \frac{1}{7} \sqrt{2}$

In de abc-formule komt $a$ in de noemer voor.
Dus $a$ mag niet 0 zijn in de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ . Als $a = 0$ , pas je de abc-formule natuurlijk ook niet toe.

Waarom niet?

Los de volgende vierkantsvergelijkingen op met de abc-formule. Kijk goed naar het voorbeeld.

$2 x {}^{2}- 3 x - 35 = 0$	$4 x = 1 + 4 x^{2}$
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$	${(x - 3)}^{2} = 5 - 3 x$
$7 x^{2} - 6 x + 2 = 0$	$5 x - 3 x^{2} = 0$
$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 4 \frac{1}{2} = 0$