Je ziet een plaatje van de Müngstener Brücke over het riviertje de Wupper bij Solingen. De boog heeft de vorm van een parabool. Volgens wetten uit de natuurkunde garandeert deze vorm een gelijkmatige verdeling van de verticale druk.
De hoogte van de brug boven de Wupper is ongeveer 100 meter.

We beschrijven de boog met de volgende vergelijking: $h = 0,0625 x^{2}$ . Als je bijvoorbeeld 10 meter vanaf de top van de boog over de spoorlijn naar links loopt, is de hoogte van de boog $0,0625 \cdot {(‐ 10)}^{2}$ , dus 6,25 m lager dan de spoorlijn.

40 meter van het midden van de brug staan aan weerszijden twee pijlers.

Bereken de hoogte van de pijlers.

Vanaf de top zijn om de 10 meter verticale verbindingsstukken aangebracht.

Bereken de lengte van elk van die stukken.

Beneden bij de Wupper is de boog 80 meter breed.

Op welke hoogte boven de Wupper is de breedte van de boog 70 meter?

Nulpunten

Janneke wil de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 6 x$ tekenen. Daarvoor rekent ze eerst de nulpunten uit. De nulpunten van $y = x^{2} - 6 x$ zijn de oplossingen van de vergelijking $0 = x^{2} - 6 x$ .

Bereken de nulpunten van de parabool.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas? Gebruik daarvoor het antwoord uit vraag a.

De top van de parabool ligt op de symmetrieas.

Bereken de coördinaten van de top.

Neem de tabel over en vul hem verder in zonder iets uit rekenen. Gebruik daarbij het antwoord uit vraag b.

Teken de parabool $y = x^{2} - 6 x$ .

Teken in hetzelfde assenstelsel de parabolen met vergelijking $y = x^{2} - 6 x + 1$ en $y = x^{2} - 6 x + 5$ .

Welk getal moet je bij $y = x^{2} - 6 x + ...$ invullen om de top van de parabool op de $x$ -as te krijgen?

Schrijf de vergelijking van vraag g als $y = {(.......)}^{2}$ .

De nulpunten van een vergelijking zijn de oplossingen van de vergelijking als $y = 0$ .

Bereken de nulpunten van de parabool met vergelijking $y = x^{2} + 8 x$ .

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

Bereken de coördinaten van de top.

Maak een tabel zoals in de vorige opgave. Zorg ervoor dat je punten links en rechts van de symmetrieas krijgt en teken de grafiek.

Welk getal moet je bij $y = x^{2} + 8 x + ...$ invullen om de top van de parabool op de $x$ -as te krijgen?

Schrijf de vergelijking van vraag e als $y = {(......)}^{2}$ .

Bereken de nulpunten van de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} - 2 x$ .

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

Bereken de coördinaten van de top.

Maak een tabel. Zorg ervoor dat je punten links en rechts van de symmetrieas krijgt en teken de grafiek.

Welk getal moet je bij $y = ‐ x^{2} - 2 x + ...$ invullen om de top van de parabool op de $x$ -as te krijgen?

Uit een driehoekige lap stof knippen we een rechthoekig stuk. Hieronder is dat stuk wit.
Noem de breedte van dit stuk $x$ en de oppervlakte $O$ .

Bereken $O$ voor $x = 12$ . Bereken daarvoor eerst $y$ .

(hint)

Denk aan gelijkvormigheid.

Vul in:

$y = ... x$ . (Denk weer aan gelijkvormigheid!)

Wat is de oppervlakte van het (witte) rechthoekige stuk. Druk daarbij $O$ uit in $x$ .

We willen de afmetingen weten waarbij de oppervlakte van de rechthoek het grootst is.

Bereken bij welke $x$ de oppervlakte het grootst is.

Hoe groot is de oppervlakte dan?

Snijpunt met de y-as

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 2 x + 4$ met de $y$ -as.

Er is nog een punt van de parabool waarvan de hoogte 4 is.
De vergelijking die je op moet lossen om dat punt te vinden is: $x^{2} - 2 x + 4 = 4$ .

Los die vergelijking op.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

Bereken de coördinaten van de top.

Teken de parabool $y = x^{2} - 2 x + 4$ . Maak daarvoor een passende tabel.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de parabool met vergelijking $y = ‐ 2 x^{2} + 4 x + 2$ met de $y$ -as.

Er is nog een punt van de parabool waarvan de hoogte 2 is.

Stel een vergelijking op om dat punt te berekenen en los die vergelijking op.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

Bereken de coördinaten van de top.

Teken de parabool $y = ‐ 2 x^{2} + 4 x + 2$ .

Teken de volgende parabolen. Bereken bij elke parabool:

de nulpunten (indien mogelijk),
het snijpunt met de $y$ -as,
de vergelijking van de symmetrieas,
de top en
enkele punten links en rechts van de symmetrieas.

$y = x^{2} - 2 x$	$y = 2 x^{2} - 3 x + 1$
$y = ‐ x^{2} + 5 x - 2$	$y = ‐ 3 x^{2} - 9 x + 6$
$y = (x + 2) (x - 8)$	$y = x (x - 8) + 2$

De rol van b in de vergelijking y = (x – a)² + b

Wat is de top van de parabool $y = x^{2}$ ?

Wat is de top van $y = x^{2} + 1$ en van $y = x^{2} - 3$ ?

De top van $y = {(x + 2)}^{2}$ is wat moeilijker te vinden.

Wat kan $y$ zo allemaal zijn als je voor $x$ een willekeurig getal invult?

Omdat $y$ een kwadraat is, is $y$ minimaal 0. En je krijgt die waarde door $x = ‐ 2$ te nemen. Dus is $(‐ 2,0)$ het laagste punt van de parabool.

Wat is dus de top van $y = {(x + 2)}^{2}$ ?

En de top van $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ en $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ ?

Teken $y = {(x + 2)}^{2}$ , $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ en $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ in één assenstelsel. Neem daarvoor onderstaande tabel over en vul hem verder in.

De parabool $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ heeft géén nulpunten.

Hoe kun je dat zeker weten zonder de grafiek te tekenen?

Wat kan $y$ allemaal zijn als je voor $x$ een willekeurig getal invult?

Is $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ een vergelijking van een dal- of een bergparabool? Licht je antwoord toe.

Verander de vergelijking van de parabool zodat de grafiek één nulpunt heeft.

Hoe moet je de vergelijking veranderen zodat de grafiek twee nulpunten heeft?

Wat is de vergelijking van de symmetrieas van de parabool met vergelijking $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ ?

Wat is de top van de parabool $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ ?

Teken de parabool $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ . Maak daarbij eventueel een tabel.

Is de vergelijking $y = ‐ 2 {(x + 1)}^{2} + 6$ een vergelijking van een dal- of een bergparabool? Licht je antwoord toe.

Hoeveel nulpunten heeft de parabool. Licht je antwoord toe.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

Wat is de top?

Teken de parabool $y = ‐ 2 {(x + 1)}^{2} + 6$ .

Hoe kun je aan de vergelijking $y = c {(x - a)}^{2} + b$ zien of je te maken hebt met een dalparabool of met een bergparabool?

Wat is de top van de vergelijking $y = c {(x - a)}^{2} + b$ ? Kijk goed naar je antwoorden van opgave 19, 20 en 21.

De parabool $y = c {(x - a)}^{2} + b$ (met $c \neq 0$ ) is een dalparabool als $c > 0$ en een bergparabool als $c < 0$ . Het getal $c$ bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De top van de parabool is $(a, b)$ .
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top.
Een vergelijking van de symmetrieas is: $x = a$ .

De vergelijking van de symmetrieas van een parabool is $x = 4$ . Verder is bekend dat de punten $(10,‐3)$ en $(‐1,19)$ op de parabool liggen.
Zonder de vergelijking van de parabool te kennen weet je nog twee punten van de parabool.

Welke punten zijn dat?

13s

14s

De top van een parabool met verticale symmetrieas ligt op de $y$ -as. Twee punten van de parabool zijn $(2,4)$ en $(‐3,6)$ .

Is dit een berg- of een dalparabool? Licht je antwoord toe.