28.4  Optimaliseren >
1

Door beperkende voorwaarden zoals de grootte van het terrein, is het aantal haalbare plannen voor de woningbouwvereniging beperkt. Haalbare plannen ( w , v ) moeten voldoen aan de onderstaande ongelijkheden.

w + 2 v 28

(grootte terrein)

12 w 22

(aantal woningen)

3 v 8

(aantal voorzieningen)

1 1 2 w + v 30

(tijdsduur bouw)


We gaan alle roosterpunten ( w , v ) die aan deze ongelijkheden voldoen in het assenstelsel aangeven.

a

Schrijf in het assenstelsel op je werkblad bij elke lijn welke voorwaarde erbij hoort.

b

Kleur het gebied waarin de roosterpunten liggen die voldoen aan w + 2 v 28 .

c

Kleur (telkens met een andere kleur) het gebied waar de punten liggen die aan de andere ongelijkheden voldoen.

Het gebied dat vier keer is ingekleurd, is het toelaatbare gebied. Hierin liggen de plannen die aan de vier voorwaarden tegelijk voldoen.

d

Hoeveel haalbare plannen zijn er?

e

Neemt het aantal haalbare plannen af als de woningbouwvereniging besluit dat er maximaal 7  voorzieningeneenheden gebouwd mogen worden?

f

En neemt het aantal haalbare plannen af als de woningbouwvereniging besluit dat er maximaal 9  voorzieningeneenheden gebouwd mogen worden?

Een woning kost de woningbouwvereniging 150.000  euro en een voorzieningeneenheid kost 100.000  euro. De woningbouwvereniging wil de kosten minimaliseren.

g

Voor welk van de haalbare plannen zal de woningbouwvereniging kiezen?

h

Hoeveel procent van het terrein wordt in dit plan bebouwd?

i

Hoeveel woningen en hoeveel voorzieningeneenheden worden er gerealiseerd als de woningbouwvereniging 100 % van het terrein bebouwt tegen zo laag mogelijke kosten?

2

Ahmed is in Amsterdam een zogenaamd Turks atelier begonnen. In dit confectiebedrijfje werkt hij met zijn vrouw en dochter. Ze maken jurken in twee modellen. Voor een jurk van model A is twee uur werk nodig, voor een jurk van model B drie uur. Zeg dat ze per dag x  jurken van model A en y  jurken van model B maken.

a

Hoeveel uur werk is hiervoor nodig?

Per dag werken ze samen hooguit 30  uur.

b

Welke ongelijkheid voor x en y volgt hieruit?

Voor een jurk van model A is 2  meter stof nodig en voor een jurk van model B 1,5  meter. Per dag is er een rol van 21  meter beschikbaar.

c

Welke ongelijkheid voor x en y volgt hieruit?

Ahmed heeft al één vaste afnemer. Die neemt per dag minstens drie jurken van model A en minstens vier jurken van model B af.

d

Welke twee ongelijkheden volgen hier weer uit?

Je hebt nu vier ongelijkheden voor x en y . We gaan alle roosterpunten ( x , y ) die aan deze ongelijkheden voldoen in een assenstelsel aangeven.
In opgave b heb je de ongelijkheid 2 x + 3 y 30 gevonden.

e

Teken een assenstelsel met de lijn 2 x + 3 y = 30 .
Dit is de grenslijn van het gebied waarin de roosterpunten liggen die aan 2 x + 3 y 30 voldoen.
Kleur dit gebied (licht).

f

Teken de grenslijnen bij de andere ongelijkheden en kleur (telkens met een andere kleur) het gebied waar de punten liggen die aan de bijbehorende ongelijkheid voldoen.

Het gebied dat vier keer is ingekleurd, is het toelaatbare gebied.

g

Geef de roosterpunten in dit gebied met een stip aan.

Op elke jurk wordt een winst van 15  euro gemaakt.

h

Schrijf bij elke stip de bijbehorende winst.

i

Welke productieschema’s (een aantal jurken van model A en een aantal van model B) leveren de meeste winst op?

3

Na verloop van tijd blijkt dat er een grote vraag is naar jurken van model B. Ahmed verhoogt de prijs voor deze jurken. Zijn winst op een jurk van model B wordt 25  euro. (De winst op een jurk van model A blijft 15  euro.)

a

Neem het toelaatbare gebied van de vorige opgave over en schrijf bij een aantal roosterpunten de bijbehorende winst.

b

Bij welk productieschema is de winst nu maximaal?

c

Hoeveel uur moet er bij dit productieschema gewerkt worden? En hoeveel stof wordt er verwerkt?

4
7

Heer Bommel voelt zich wat slapjes. Zijn huisarts schrijft hem extra vitamine B voor:
per dag minstens 18  mg B1, 12  mg B2 en 8  mg B6.
Aangekomen in de Rommeldamse apotheek blijkt dat hij kan kiezen uit pillen van merk P en pillen van merk Q. In de tabel staat hoeveel mg van elke soort in een pil zit.

a

Hoeveel mg B1 krijgt heer Bommel binnen als hij 3 pillen van merk P en 4 pillen van merk Q slikt?
En hoeveel als hij x pillen van merk P en y pillen van merk Q slikt?

Uit het feit dat Bommel per dag minstens 18  mg B1 binnen moet krijgen, kun je een ongelijkheid met x en y afleiden, namelijk 2 x + 3 y 18 .

b

Leid soortgelijke ongelijkheden met x en y af uit de minimale dagelijkse hoeveelheden B2 en B6.

c

Kleur in een assenstelsel het toelaatbare gebied.

Omdat heer Bommel een uitgesproken hekel heeft aan het slikken van pillen, wil hij per dag volstaan met een zo klein mogelijk aantal.

d

Bepaal hoeveel pillen heer Bommel per dag minstens moet slikken.

5

Gepetto maakt twee soorten houten speelgoed: poppen en treinen. In verband met de beperkte hoeveelheid hout kan Gepetto per dag in totaal hoogstens acht stukken speelgoed vervaardigen. Het kost Gepetto twee uur om een pop te vervaardigen en één uur om een trein te maken.
Gepetto werkt maximaal tien uur per dag. Omdat de verkoop van poppen de laatste tijd tegenvalt, maakt Gepetto niet meer dan vier poppen per dag.
Zeg dat Gepetto per dag x  poppen en y  treinen maakt.

a

Schrijf de drie ongelijkheden op waaraan x en y moeten voldoen (naast x 0 en y 0 ).

b

Kleur in een assenstelsel het toelaatbare gebied.

Gepetto maakt op een pop 30  euro winst en op een trein 20  euro.

c

Druk de totale winst voor x poppen en y treinen uit in x en y .

d

Welk productieschema levert Gepetto de meeste winst op?

6

In de stal van Jan Pol worden de pony’s precies zo gevoerd als het hoort.
‘s Winters wordt er hoofdzakelijk hooi en biks aan de dieren gegeven.
De belangrijkste bestanddelen van dit voer zijn:

  • koolhydraten (zetmeel en suiker), ruwvezel en vetten, die zorgen voor de energievoorziening. Hoeveel er van deze bestanddelen in het voer zit, wordt uitgedrukt in grammen zetmeel.

  • eiwitten die van groot belang zijn voor de vorming van spieren, hoeven, bloed, enzovoort.


Jan weet dat:

    in 1  kg hooi 300  gr zetmeel en 60  gr eiwit zit,

    in 1  kg biks 600  gr zetmeel en 80  gr eiwit zit.


    Jasper is een pony die bij Jan op stal staat. Volgens het boekje heeft Jasper per dag minstens 210  gram zetmeel en 360  gram eiwit nodig.
    Jasper krijgt elke dag x  kg biks en y  kg hooi.

    a

    Aan welke ongelijkheden moeten x en y voldoen?

    b

    Teken in een assenstelsel het toelaatbare gebied.

    Een zak biks van 15  kg kost 15  euro, een baal hooi van 10  kg kost 4  euro.

    c

    Zoek drie plannen waarvoor de kosten 4  euro zijn.
    Zoek ook drie plannen waarvoor de kosten 6  euro zijn.

    d

    Druk de totale kosten voor x  kg biks y  kg hooi uit in x en y .

    e

    Wat is het optimale (dus goedkoopste) voerplan?

    4s
    7s

    De kleine rederij Via Mare is gevestigd in het havenplaatsje Porto Marino. In verband met een jeugdkamp krijgt Via Mare de opdracht om binnen een dag 258  personen en 12.000  kg vracht over te brengen naar het voor de kust gelegen eilandje Solatio.
    Via Mare beschikt over twee scheepjes: de Aringa die ruimte heeft voor 16  passagiers en 400  kg vracht, en de Balena die ruimte heeft voor 6 passagiers en 2.000  kg vracht. De Aringa kan in een dag ten hoogste 20 keer heen en weer varen naar Solatio, de Balena ten hoogste 15  keer.
    Stel dat men de Aringa x  keer heen en weer laat varen, en de Balena y  keer.

    a

    Welke voorwaarde geldt voor x afzonderlijk, naast x 0 ? En welke voorwaarden geldt voor y afzonderlijk, naast y 0 ?

    b

    Toon aan dat deze twee beperkende voorwaarden kunnen worden beschreven door 8 x + 3 y 129 en x + 5 y 30 .

    c

    Teken op millimeterpapier het toegestane gebied. Neem als eenheid 1  cm.

    Een keer heen en weer varen met Aringa kost de rederij 500  euro, en met de Balena 200  euro. Via Mare streeft er naar elke opdracht uit te voeren met zo laag mogelijke kosten.

    d

    Schrijf bij een aantal roosterpunten in het toelaatbare gebied de bijbehorende kosten.

    e

    Wat is het optimale (dus goedkoopste) plan? Worden de passagierscapaciteit en de vrachtcapaciteit volledig benut in dit plan?

    De rederij krijgt het bericht dat er niet 258 maar slechts 240 personen vervoerd moeten worden.
    De hoeveelheid vracht blijft 12.000  kg. Men vraagt zich af hoe de opdracht nu met zo laag mogelijke kosten kan worden uitgevoerd.

    f

    Geef antwoord op deze vraag. Vermeld in je antwoord de kosten en geef aan of de passagierscapaciteit en de vrachtcapaciteit volledig benut worden.

    Tot slot bekijken we een transportprobleem zoals dat uit opgave 11.

    8

    De elektronicazaak Elektron heeft 36 wasmachines uit China geïmporteerd.
    In de haven van Rotterdam zijn 20  wasmachines aangekomen en in Antwerpen 16 . De wasmachines moeten vervoerd worden naar de vestigingen van Elektron in Amsterdam, Breda en Utrecht. Elk van deze vestigingen krijgt 12 wasmachines. De transportkosten per wasmachine zijn in de tabel aangegeven. Zeg dat er 5  wasmachines van Rotterdam naar Amsterdam gaan en 7 van Rotterdam naar Breda.

    a

    Hoeveel wasmachines worden in dat geval van de beide havens naar de drie vestigingen verzonden?

    Uit het vorige onderdeel blijkt dat door de keuze van de aantallen die vanuit Rotterdam naar Amsterdam en Breda worden gezonden de overige aantallen vastliggen.
    Zeg dat er x  wasmachines van Rotterdam naar Amsterdam gaan en y van Rotterdam naar Breda.

    b

    Neem het schema over en vul het verder in. Op de stippen komen uitdrukkingen in x en y .

    De getallen in het schema moeten minstens 0 zijn, aangezien aantallen niet negatief kunnen zijn.

    c

    Welke zes ongelijkheden krijg je zo voor x en y ?

    d

    Teken het toelaatbare gebied.

    e

    Druk de totale transportkosten uit in x en y .

    f

    Bij welke plan zijn de transportkosten minimaal?