Bepaal op je rekenmachine $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{8}$ en $\sqrt{15}$ .

Denk je dat: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}$ ?
Denk je dat: $\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8}$ ?

Met je rekenmachine kun je alleen maar concluderen dat $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$ en $\sqrt{15}$ ongeveer gelijk zijn.
Dat ze exact hetzelfde zijn, kun je als volgt inzien.
Als je $\sqrt{15}$ kwadrateert krijg je $15$ .
Als je $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$ kwadrateert, krijg je: ${(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5})}^{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = {(\sqrt{3})}^{2} \cdot {(\sqrt{5})}^{2} = 3 \cdot 5 = 15$ .

Ga met kwadrateren (zoals hierboven) na dat: $\sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63}$ .

Welk getal moet er op de plaats van het vraagteken staan?
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{?}$

Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek exact, dus laat zo nodig een $\sqrt{}$ -teken in je antwoord staan.

Hoe kun je nu zonder rekenmachine concluderen dat $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{8}$ ?

Voor alle positieve getallen $p$ en $q$ geldt:
$\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} = \sqrt{p \cdot q}$
$\sqrt{p} + \sqrt{q} > \sqrt{p + q}$

Voorbeeld 1
In opgave 9 moest je met kwadrateren laten zien:
$3 \sqrt{6} = \sqrt{54}$ , $5 \sqrt{6} = \sqrt{150}$ en $4 \sqrt{5} = \sqrt{80}$ .
Dat kan ook met de regel $\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} = \sqrt{p \cdot q}$ , namelijk zó:
$3 \sqrt{6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$ ,
$5 \sqrt{6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}$ en
$4 \sqrt{5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$ .

Schrijf zonder getal voor het $\sqrt{}$ -teken zoals in voorbeeld 1.

$2 \sqrt{5}$

$5 \sqrt{2}$

$5 \sqrt{3}$

$a \sqrt{5}$

$2 \sqrt{a}$

$a \sqrt{b}$

a

b

zijn positieve getallen.

Vaak wordt gevraagd een wortelvorm te schrijven met een zo klein mogelijk geheel getal onder het $\sqrt{}$ -teken. In plaats van $\sqrt{54}$ schrijf je dan $3 \sqrt{6}$ en in plaats van $\sqrt{300}$ schrijf je dan $10 \sqrt{3}$ .
Dit noem je: een wortel vereenvoudigen.

Voorbeeld 2
$\sqrt{12}$ vereenvoudigen gaat zo:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ .
$\sqrt{\frac{5}{100}}$ vereenvoudigen gaat zo:
$\sqrt{\frac{5}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{10} \sqrt{5}$ .

Vereenvoudig de volgende wortels.

$\sqrt{8}$

$\sqrt{18}$

$\sqrt{28}$

$\sqrt{48}$

$\sqrt{20}$

$\sqrt{40}$

$\sqrt{60}$

$\sqrt{80}$

$\sqrt{\frac{7}{25}}$

$\sqrt{\frac{7}{36}}$

$\sqrt{\frac{7}{100}}$

$\sqrt{\frac{3}{49}}$

Vereenvoudig de volgende wortels.

$\sqrt{72}$	$\sqrt{76}$	$\sqrt{80}$	$\sqrt{84}$
$\sqrt{\frac{12}{49}}$	$\sqrt{\frac{48}{49}}$	$\sqrt{2 \frac{2}{25}}$	$\sqrt{\frac{10}{b^{2}}}$

Opmerking:

$\sqrt{48}$ vereenvoudigen gaat zo:
$\sqrt{48} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{12} = 2 \cdot \sqrt{12} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$
of in één keer:
$\sqrt{48} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .

Bereken met je rekenmachine $\sqrt{63} - \sqrt{28} - \sqrt{7}$ .

Dit vind je ook zonder rekenmachine als volgt:
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3 \sqrt{7}$ en $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2 \sqrt{7}$ , dus
$\sqrt{63} - \sqrt{28} - \sqrt{7} = 3 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$ .

Laat ook zonder rekenmachine zien:
$\sqrt{160} - \sqrt{90} - \sqrt{10} = 0$ .

Opmerking:

Voorbeeld 3
$\sqrt{12} + \sqrt{75}$ kun je met één wortel schrijven:
$\sqrt{12} + \sqrt{75} = 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$ .

Schrijf met één wortel, vereenvoudig de wortels.

$\sqrt{27} + \sqrt{75}$

$\sqrt{8} + \sqrt{18}$

$\sqrt{10} + \sqrt{1000}$

$\sqrt{45} - \sqrt{20}$

$\sqrt{32} - \sqrt{8}$

$\sqrt{300} - \sqrt{3}$

$\sqrt{a} + \sqrt{4 a}$

$\sqrt{12} + \sqrt{\frac{3}{4}}$

$\sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{3}{16}}$

Bereken op je rekenmachine: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ .

Kun je ook zonder rekenmachine berekenen dat $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = 6$ ?

Laat zonder rekenmachine zien dat $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$ .

In deze opgave mag je geen rekenmachine gebruiken.

Schrijf met één wortel, vereenvoudig de wortels. $\sqrt{\frac{2}{9}} + \sqrt{\frac{8}{9}}$ ; $\sqrt{1 \frac{1}{4}} + \sqrt{11 \frac{1}{4}}$

Welk geheel getal moet er op de invulstreep komen?
$\sqrt{2^{3}} + \sqrt{2^{5}} + \sqrt{2^{7}} + \sqrt{2^{9}} =_\sqrt{2}$ ?

Opmerking:

Voorbeeld 4
De volgende vormen kun je met hoogstens één $\sqrt{}$ -teken schrijven, met een zo klein mogelijk geheel getal onder het $\sqrt{}$ -teken.
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$
(of: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ).
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

Schrijf de volgende vormen met hoogstens één $\sqrt{}$ -teken, vereenvoudig de wortels.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{8}$

Welke van de volgende gelijkheden zijn waar? Leg je antwoord uit zonder rekenmachine.

$\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{2 \frac{1}{4}}$	$\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{25}$
$\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{1} = \sqrt{4}$	$\sqrt{1} + \sqrt{100} = \sqrt{101}$

10s

12s

Bereken voor welk getal $x$ geldt:

$\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{x}$

$100 \sqrt{\frac{1}{100}} + \frac{1}{100} \sqrt{100} = \sqrt{x}$

$\sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{x} = \sqrt{14}$

$x \sqrt{0,02} - \sqrt{2} = 0$

$\sqrt{x} + \sqrt{12} = \sqrt{300}$

$\frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1$