Snijpunten van rechte lijnen

In opgave 38 hebben we het snijpunt van twee lijnen berekend. In deze paragraaf moet je dat nog een aantal malen doen.
In de figuur is lijn $k$ met vergelijking $y = \frac{1}{2} x + 2$ getekend.

Laat met een berekening zien dat de punten $(‐2,1)$ en $(5,4 \frac{1}{2})$ op lijn $k$ liggen.

Welk punt met eerste coördinaat 10 ligt op lijn $k$ en welk punt met tweede coördinaat 10?

$m$ is de lijn met richtingscoëfficiënt $‐1$ door $(0,5)$ .

Neem de figuur over en teken lijn $m$ erbij.

Geef een vergelijking van lijn $m$ .

Het snijpunt van de lijnen $k$ en $m$ noemen we $S$ .

Lees de coördinaten van $S$ zo goed mogelijk af.

Controleer met de vergelijkingen van de lijnen $k$ en $m$ of je vermoeden juist is.

Voorbeeld:

Je kunt het snijpunt $S$ van $y = \frac{1}{2} x + 2$ en $y = ‐ x + 5$ ook als volgt berekenen.
We zoeken een waarde voor $x$ zodat $\frac{1}{2} x + 2$ en $‐ x + 5$ gelijk zijn.

Dus:

$\frac{1}{2} x + 2$	$=$	$‐ x + 5$	PLUS $x$
$1 \frac{1}{2} x + 2$	$=$	$5$	MIN $2$
$1 \frac{1}{2} x$	$=$	$3$	DELEN DOOR $1 \frac{1}{2}$
$x$	$=$	$2$

$y$ vind je door voor $x = 2$ in te vullen. Dat kan in $y = \frac{1}{2} x + 2$ of in $y = ‐ x + 5$ .
$y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 3$ of $y = ‐2 + 5 = 3$

Dus het snijpunt is $(2,3)$ .

In de figuur zijn de lijnen met vergelijking $y = x + 4$ en $y = ‐2 x + 1$ getekend.

Je kunt het snijpunt van de lijnen aflezen. Maar dat is nu niet de bedoeling.
Bereken de coördinaten van het snijpunt.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen met vergelijking:

$y = 2 x + 3$ en $y = ‐ \frac{1}{2} x + 7$

$y = ‐ 2 x + 3$ en $y = ‐5 x - 6$

$y = 2 x + 3$ en $y = \frac{1}{2} x + 3$

$y = 4 x - 3$ en $y = ‐ \frac{1}{2} x + 15$

$y = 2 x + 3$ en $y = ‐1 \frac{1}{2} x - 88$

Snijpunten met de x-as en de y-as

$k$ is de lijn met vergelijking $y = 2 x + 3$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn $k$ met de lijn $x = 1$ . (Als dit niet lukt, moet je ze maar eens in een assenstelsel tekenen.)

Bereken ook het snijpunt van lijn $k$ met de lijn $x = 0$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn $k$ met de lijn $y = 1$ . En ook met de lijn $y = 0$ .

In het assenstelsel is een lijn getekend. De snijpunten met de $x$ -as en de $y$ -as zijn roosterpunten.

Lees af wat de snijpunten met de $x$ -as en de $y$ -as zijn.

$k$ is de lijn met vergelijking $y = 1 \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

Bereken $y$ als $x = 3$ en als $x = ‐1$ .

Dus $(3,4)$ en $(‐1,‐2)$ zijn twee punten van lijn $k$ .

Neem de figuur over en teken lijn $k$ er in.

We zijn geïnteresseerd in de snijpunten van lijn $k$ met de $y$ -as en de $x$ -as.

Wat weet je over alle punten op de $y$ -as? En wat weet je over alle punten op de $x$ -as?

Het snijpunt van lijn $k$ met de $y$ -as heeft eerste coördinaat 0, dus $x = 0$ .

Bereken de bijbehorende waarde van $y$ . Welk punt is het snijpunt met de $y$ -as?

Het snijpunt van lijn $k$ met de $x$ -as heeft tweede coördinaat 0, dus $y = 3$ .

Bereken de bijbehorende waarde van $x$ .
Welk punt is het snijpunt met de $x$ -as?

$m$ is de lijn met vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} x + 3$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten met de $x$ -as en met de $y$ -as.

Het snijpunt met de $x$ -as heeft $y$ -coördinaat 0.
Het snijpunt met de $y$ -as heeft $x$ -coördinaat 0.

Gegeven zijn drie lijnen: $p : y = 2 x + 7$ , $q : y = ‐ \frac{1}{3} x + 5$ en $r : y = ‐2 x + 2 \frac{1}{2}$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijnen $p$ , $q$ en $r$ met de $x$ -as en met de $y$ -as.

$k$ is de lijn met vergelijking $y = 2 x + 3$ en $m$ is de lijn met vergelijking $y = 2 x - 1$ .
$k$ en $m$ hebben geen gemeenschappelijke punten.

Hoe kun je dat aan hun vergelijkingen zien?

Gegeven zijn de lijnen met vergelijking: $y = a x + 2 a$ , waarbij je voor $a$ alle mogelijke getallen mag kiezen.
Als je bijvoorbeeld voor $a = 2$ kiest, krijg je de lijn $y = 2 x + 4$ .
Als je voor $a = ‐1$ kiest, krijg je de lijn $y = ‐ x - 2$ .

Kies nog twee waarden voor $a$ en teken de bijbehorende lijnen in je schrift. Label ze met de juiste $a$ -waarde. Neem daarvoor de figuur over.

Wat moet je voor het getal $a$ kiezen om de lijn met richtingscoëfficiënt 3 te krijgen?

Teken die lijn.

Wat moet je voor het getal $a$ kiezen om de lijn door het punt $(2,1)$ te krijgen?

Teken die lijn.

Alle lijnen $y = a x + 2 a$ gaan door één punt.

Welk punt?

Ga met een berekening na dat de lijn $y = 100 x + 200$ ook door dat punt gaat.