Het snijpunt met de verticale as

We kijken nogmaals naar taxibedrijf Atax. In de grafiek zijn de kosten $y$ uitgezet tegen het aantal kilometers $x$ van een rit. Bij de lijn hoort de formule $y = 3 x + 6$ .
We nemen voor $x$ achtereenvolgens de waarden 0, 1, 2, 3, 4 en 5.

Bereken de bijbehorende waarden van $y$ .
Schrijf je antwoorden in een tabel zoals hieronder.

$x$ (in km)	0	1	2	3	4	5
$y$ (in euro's)

Het is heel eenvoudig om zo’n tabel te maken. Bij $x = 0$ komt er voor $y$ natuurlijk 6 uit. En telkens als $x$ met 1 toeneemt, neemt $y$ toe met ... .

Met welk getal?

Als we vanuit het punt op hoogte 6 op de $y$ -as één stap naar rechts gaan, moeten we 3 naar boven gaan om weer een punt van de grafiek te vinden.

En als we een halve stap naar rechts doen?
En als we één stap naar links doen?
En als we anderhalve stap naar links doen?

Conclusie:

Omdat alle trappen bij de grafiek

y = 3 x + 6

de verhouding

1 : 3

hebben, is de grafiek een rechte lijn.

Vanwege de concurrentie besluit Atax het voorrijtarief te verlagen naar 4 euro.

Neem de figuur over en teken de grafiek die hoort bij het nieuwe voorrijtarief.

De oude en de nieuwe grafiek lopen evenwijdig.

Leg uit hoe dat komt.

Welke formule hoort bij de nieuwe grafiek?

We bekijken de formule $y = 3 x$ .
Neem de tabel over en vul hem in.

$x$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = 3 x$

Neem de tabel bij de formule $y = 3 x + 1$ over en vul hem in.

$x$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = 3 x + 1$

Neem de tabel bij de formule $y = 3 x - 2$ over en vul hem in.

$x$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = 3 x - 2$

Neem het assenstelsel over en teken de lijn die hoort bij de formule $y = 3 x$ .
Teken ook de grafieken van $y = 3 x + 1$ en $y = 3 x - 2$ .

Je hebt net drie lijnen in een assenstelsel getekend. Het is handig om elke lijn een naam te geven, bijvoorbeeld:
$k$ is de lijn met formule $y = 3 x$ ,
$m$ is de lijn met formule $y = 3 x + 1$ ,
$p$ is de lijn met formule $y = 3 x - 2$ .

We noteren dit korter als:
$k : y = 3 x$ ,
$m : y = 3 x + 1$ ,
$p : y = 3 x - 2$ .

Geef de coördinaten van het snijpunt van $k$ met de $y$ -as? Doe dat ook voor $m$ en $p$ .

Hoe kun je deze snijpunten met de $y$ -as direct uit de formules halen?

Hoe kun je aan de formules zien dat ze evenwijdig zijn?

Welk van de drie verbanden is evenredig?

In plaats van de term formule gebruiken we ook de term vergelijking.

We bekijken de vergelijking $g : y = ‐ 3 x$ .

Teken in een assenstelsel lijn $g$ . Neem de assen van $‐5$ tot en met 5. (Maak eventueel een tabel op klad.)

Lijn $h$ gaat door het punt $(0,2)$ en loopt evenwijdig aan $g$ .

Teken $h$ in het assenstelsel van opgave a.

Neem over en vul in:
$y = ... x + ...$

$i$ is de lijn met vergelijking $y = ‐ 3 x - 4$ .

Geef de coördinaten van het snijpunt van $i$ met de $y$ -as.

De richtingscoëfficiënt

In opgave 16 heb je gezien wat er gebeurt met de grafiek van taxibedrijf Atax wanneer de voorrijkosten worden verlaagd. Atax kan er ook voor kiezen om de kilometerprijs te verlagen.

Leg uit wat er met de lijn $y = 3 x + 6$ gebeurt als Atax de kilometerprijs verlaagt naar 2 euro.

Geef een formule die hoort bij de nieuwe kilometerprijs.

We bekijken de lijnen $p$ , $q$ en $r$ met de volgende vergelijkingen:
$p : y = 2 x + 3$ , $q : y = ‐5 x + 3$ , $r : y = x + 3$ .

Neem de tabel over en vul deze in.

Voor lijn $p$ geldt:
Als $x$ met 1 toeneemt, dan neemt $y$ met 2 toe.

Neem over en vul in:

Bij $q$ :	Als $x$ met 1 toeneemt, dan neemt $y$ met ... toe.
Bij $r$ :	Als $x$ met 1 toeneemt, dan neemt $y$ met ... toe.

Voor lijn $p$ geldt:
Als $x$ met 1 toeneemt, dan neemt $y$ met 2 toe. Daarom zeggen we: de richtingscoëfficiënt van lijn $p$ is 2. Voor de grafiek betekent dit: als je op een punt van de grafiek start en je gaat één eenheid naar rechts, dan moet je 2 eenheden omhoog gaan om weer op lijn $p$ uit te komen. Zie figuur.

Schrijf de richtingscoëfficiënten van $q$ en $r$ op.

Teken de lijnen $p$ , $q$ en $r$ . Neem de assen van $‐5$ tot en met 5.

Zeg in eigen woorden wat het betekent als de richtingscoëfficiënt van een lijn positief is.
Zeg ook wat het betekent als de richtingscoëfficiënt negatief is.
En ook als de richtingscoëfficiënt nul is.

Hoe kun je aan de vergelijkingen direct zien dat de lijnen hetzelfde snijpunt met de $y$ -as hebben?

Grafieken bekijken we van links naar rechts.
Daarom noemen we een lijn stijgend als de richtingscoëfficiënt positief is.
We noemen een lijn dalend als de richtingscoëfficiënt negatief is.

We bekijken de lijnen $s$ , $t$ en $u$ . De lijnen zijn in het assenstelsel getekend. Lijn $s$ heeft vergelijking $y = x$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt van lijn $s$ ?

Wat kun je zeggen over de richtingscoëfficiënt van lijn $t$ in vergelijking met die van $s$ ? En van lijn $u$ ?

De lijnen $v$ en $w$ hebben de volgende vergelijkingen:
$v : y = 2 x + 5$
$w : y = \frac{1}{4} x + 5$

Hoe kun je direct aan de vergelijking zien welk van deze twee lijnen het snelst stijgt?

De rol van a en b in y = ax + b

De lijnen $a$ , $b$ en $c$ hebben de volgende vergelijkingen.
$a : y = ‐ x$
$b : y = ‐ x - 1$
$c : y = ‐ x + 3$
Lijn $a$ is in het assenstelsel getekend.

De lijnen $a$ , $b$ en $c$ hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.

Hoe groot is die?

Op welke hoogte snijdt lijn $b$ de $y$ -as? En lijn $c$ ?

Neem de figuur (met lijn $a$ ) over en teken (zonder een tabel) de lijnen $b$ en $c$ .

Lijn $k$ is de lijn met richtingscoëfficiënt $2$ die door punt $A (1,‐1)$ gaat.

Neem het assenstelsel over en geef naast $A$ nog drie punten van $k$ aan.

Teken lijn $k$ .

Op welke hoogte snijdt lijn $k$ de $y$ -as?

Geef een vergelijking van lijn $k$ .

Teken lijn $m$ door $B$ met richtingscoëfficiënt -2.

Geef een vergelijking van $m$ .

Lijn $n$ heeft vergelijking $y = \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt van lijn $n$ ?

Op welke hoogte snijdt lijn $n$ de $y$ -as?

Teken lijn $n$ . Neem de assen van $‐5$ tot en met 5.

Lijn $p$ gaat door het punt $(0,3)$ en is evenwijdig met $n$ .

Teken lijn $p$ in het assenstelsel van vraag c.

Geef een vergelijking van lijn $p$ .

De grafiek bij de formule $y = a x + b$ is een rechte lijn. We noemen deze formule een vergelijking van de lijn. Een verband tussen $x$ en $y$ van de vorm $y = a x + b$ noemen we lineair.

Het getal $a$ bepaalt de richting van de lijn: ga je vanuit een punt van de lijn één eenheid naar rechts, dan kom je weer op de lijn uit als je $a$ eenheden omhoog gaat.
$a$ heet de richtingscoëfficiënt van de lijn.
We korten richtingscoëfficiënt af met rc.
Het getal $b$ bepaalt de hoogte waarop de lijn de $y$ -as snijdt: de lijn snijdt de $y$ -as in het punt $(0, b)$ . $b$ wordt ook wel de beginhoogte genoemd.

Voorbeelden

$k : y = ‐2 x + 5$
rc = $‐2$ , dus als je één eenheid naar rechts gaat, moet je twee eenheden naar beneden om weer op de lijn uit te komen.
Lijn $k$ snijdt de $y$ -as op hoogte 5 en gaat dus door het punt $(0,5)$ .

$m : y = \frac{1}{2} x$
rc = $\frac{1}{2}$
Lijn $m$ snijdt de $y$ -as op hoogte 0. De lijn gaat dus door de oorsprong $O (0,0)$ .

Lijn $m$ heeft vergelijking: $y = 1 \frac{1}{3} x - 3$ . De lijn is in het assenstelsel getekend. Als je in het plaatje kijkt, is niet zo gemakkelijk te zien hoeveel je omhoog gaat als je één naar rechts gaat.

We zien wel het volgende:
als we vanuit een roosterpunt op lijn $m$ 3 hokjes naar rechts en 4 hokjes naar boven gaan, komen we weer op een roosterpunt van lijn $m$ uit.

Als je vanuit een punt op lijn $m$ 6 hokjes naar rechts gaat, hoeveel hokjes moet je dan omhoog om weer op lijn $m$ uit te komen?

En als je 1 naar rechts gaat?

Teken een assenstelsel, neem de assen van $‐5$ tot en met 5, en teken daarin de volgende lijnen.
Zoek roosterpunten! Dus wat zijn handige waarden om voor $x$ in te vullen.

$a : y = \frac{1}{4} x + 1$	$b : y = ‐ \frac{2}{3} x + 4$
$c : y = 1 \frac{3}{5} x - 3$	$d : y = ‐1 \frac{1}{4} x - 1 \frac{1}{2}$

Lijn $e$ gaat door het punt $(0,3)$ en is evenwijdig met $a$ .

Geef een vergelijking van lijn $e$ .

Lijn $f$ gaat door het punt $(0, 1 \frac{1}{2})$ en is evenwijdig met $c$ .

Geef een vergelijking van lijn $f$ .

Twee speciale gevallen

We bekijken de lijn $r : y = 0 x + 2$ .

Neem de tabel over en vul hem in.

$x$	$‐2$	$‐1$	0	1	2	3
$y = 0 x + 2$

Neem over en vul in:
Als $x$ met 1 toeneemt, dan neemt $y$ met ... toe.

Wat is de richtingscoëfficiënt van lijn $r$ ?

Teken lijn $r$ . Neem de assen van $‐5$ tot en met 5.

Volgens Ton mag je het verband ook schrijven als $y = 2$ .

Wat vind jij hiervan?

Teken een assenstelsel en kleur de punten:
$(‐4,2)$ , $(‐4 \frac{1}{2},2)$ , $(‐4 \frac{1}{2},1)$ , $(‐1,2)$ .

Twee van deze punten voldoen aan de vergelijking $x = ‐4 \frac{1}{2}$ .

Welke punten zijn dat?

Teken de grafiek bij de vergelijking $x = ‐4 \frac{1}{2}$ .

Horizontale lijn
De vergelijking $y = p$ , waarbij $p$ een zeker getal is, heeft als grafiek een horizontale lijn.
Een horizontale lijn heeft richtingscoëfficiënt 0.

Verticale lijn
De vergelijking $x = q$ , waarbij $q$ een zeker getal is, heeft als grafiek een verticale lijn.
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt: als je vanuit een punt op de lijn één eenheid naar rechts gaat en daarna omhoog of omlaag, kom je nooit meer in een ander punt van die lijn terecht.

In de figuur zijn de lijnen met de vergelijkingen $x = ‐2$ en $y = 3$ getekend.

$p : y = 2 x + 3$

$q : y = ‐5 x + 3$

$r : y = x + 3$