Evenredige verbanden

Janneke heeft een baantje, zij verdient € 5,- per uur. $u$ is het aantal uur dat zij gewerkt heeft en $V$ het bedrag dat zij ermee verdiend heeft.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$u$ (in uren)	0	1	2	3		14
$V$ (in euro's)					45		180

Geef formules voor het verband tussen $u$ en $V$ . Schrijf de formule in de gedaante $V = ... \cdot u$ en in de gedaante $u = ... \cdot V$ .

Als Janneke twaalf keer zo lang werkt, krijgt zij dan ook twaalf keer zoveel uitbetaald?

Teken de verdiensten-aantal-uren-grafiek. Zet het aantal uren op de horizontale as (1 cm = 2 uur) en de verdiensten op de verticale as (1 cm = € 30,-).

De scooter van Gerd rijdt gemiddeld 1 op 25. Dat betekent dat je 25 km kunt rijden met 1 liter benzine.

Hoeveel liter verbruikt de scooter als Gerd 90 km rijdt? En als hij 180 km rijdt?

Hoever kan Gerd met 2,3 liter komen?

Het aantal km noemen we $k$ en het aantal liter noemen we $l$ .

Geef een formule voor het verband tussen $k$ en $l$ .

Teken de aantal-km-aantal-liters-grafiek. Zet op de horizontale as het aantal liter (1 cm = 1 liter) en op de verticale as het aantal km (1 cm = 25 km).

De heer Jansen tuft 's zondags in zijn oude auto. Hij heeft uitgerekend dat 10 km rijden hem 3 euro kost. $y$ is het aantal euro dat $x$ km rijden kost.

Geef een formule voor het verband tussen $y$ en $x$ .

Maak op klad een tabel en teken de grafiek van het verband. Neem daarvoor het assenstelsel over.

Een gouden ring heeft een massa van 50 gram. De soortelijke massa van goud is 19,3 kg per dm³. We vragen ons af uit hoeveel cm³ goud de ring bestaat. Daarvoor moet je weten hoeveel cm³ er in één dm³ gaat en ook hoeveel gram er in één kg gaan.

Neem over en vul in: 1 dm³ = ...cm³, 1 kg = ...gram.

Uit hoeveel cm³ goud bestaat de ring?

Een staaf goud heeft een massa van 200 kg.

Hoeveel dm³ inhoud heeft de staaf?

Een staaf goud van $x$ dm³ heeft een massa van $y$ kg.

Geef een formule voor het verband tussen $x$ en $y$ .

Twee variabelen $x$ en $y$ zijn evenredig.
Dat betekent: als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot.
Hierbij kun je voor $k$ elk getal kiezen dat je maar wilt.

De term evenredig betekent letterlijk gelijke verhouding. Hij is ingevoerd door Simon Stevin (1548-1620). In andere talen gebruikt men een woord dat lijkt op proportioneel.

Ton geeft een feestje. Gemiddeld wordt er drie flesjes bier per persoon gedronken. In een krat passen 24 flesjes.

Als er 9 vrienden komen, hoeveel flesjes bier worden er dan gedronken?
Hoeveel kratten bier moet Ton dan kopen?

Als er 17 vrienden komen, hoeveel kratten bier moet Ton dan kopen?

Het aantal personen op het feestje noemen we $p$ , het aantal flesjes bier noemen we $b$ en het aantal kratten bier noemen we $k$ .

Geef een formule voor het verband tussen $p$ en $b$ .
Geef ook een formule voor het verband tussen $k$ en $b$ .

Als het aantal personen verdubbelt, heeft Ton dan ook twee keer zoveel flesjes bier nodig?

Is het aantal flesjes bier $b$ evenredig met het aantal personen $p$ ?

Is het aantal kratten bier $k$ evenredig met het aantal personen $p$ ?

Is de diagonaal van een vierkant evenredig met de omtrek? En met de oppervlakte? Leg je antwoord uit.

Met beginwaarde ongelijk aan nul

Een kaartje voor een avond in de sportschool kost je € 10,-. Voor die prijs kun je de hele avond sporten in de sportschool. $x$ is het aantal keer dat je naar de sportschool gaat. $K$ is het bedrag (in euro’s) dat je kwijt bent.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$x$	0	1	2	4
$K$ (in euro's)					80	320

Neem het assenstelsel over en teken de grafiek van dit verband.

Geef een formule voor het verband tussen $x$ en $K$ .

Als $x$ vier keer zo groot wordt, wordt $K$ dan ook vier keer zo groot?

Is $K$ evenredig met $x$ ?

Je kunt ook een kortingskaart kopen, dan betaal je maar € 6,- per avond. Maar een kortingskaart kost je wel € 50,-, en is een jaar geldig. $Z$ is het bedrag (in euro’s) dat je kwijt bent, als je in een jaar $x$ keer naar de sportschool gaat met kortingskaart.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$x$	0	1	2	4
$Z$ (in euro's)					80	320

Teken de grafiek van dit verband in het assenstelsel van opgave b erbij.

Geef een formule voor het verband tussen $x$ en $Z$ .

Als $x$ vier keer zo groot wordt, wordt $Z$ dan ook vier keer zo groot?

Is het verband tussen $x$ en $Z$ evenredig?

Lees af hoeveel keer per jaar je minstens naar de sportschool moet om met een kortingskaart voordeliger uit te zijn.

De volgende dingen komen op hetzelfde neer:

$x$ en $y$ zijn evenredig,
als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot,
de verhouding $\frac{y}{x}$ is constant,
een formule voor het verband tussen $x$ en $y$ is van de vorm: $y = c \cdot x$ , voor een zeker getal $c$ .

Het getal $c$ wordt de evenredigheidsconstante genoemd.

Voorbeelden

opgave 7:
$V = 5 u$ , de evenredigheidsconstante is 5.
opgave 8:
$K = 10 x$ , $K$ en $x$ zijn evenredig, de evenredigheidsconstante is 10.
$Z = 6 x + 50$ , $Z$ en $x$ zijn niet evenredig.

De kosten van een taxirit bestaan meestal uit een vast bedrag, het voorrijgeld, plus een bedrag dat afhangt van het aantal kilometers. Bij de Taxi-centrale is het voorrijgeld € 10,- en de kilometerprijs € 5,-.
De kosten van een rit van $x$ kilometer zijn $y$ euro.
Als $x = 4$ rij je 4 km.
Hiervoor betaal je $10 + 5 \cdot 4 = 30$ euro, dus dan $y = 30$ .
Dit geeft het punt $(4,30)$ . Dat is in het assenstelsel al getekend.

Bereken zo nog enkele punten en teken ze in het assenstelsel. Neem daarvoor het assenstelsel over.

Teken de afstand-kosten-grafiek door de punten die je getekend hebt met elkaar te verbinden.

Druk $y$ uit in $x$ .

Een verband tussen $x$ en $y$ van de vorm $y = a x + b$ wordt ook wel een lineair verband genoemd.

In een stad werken drie grote taxibedrijven, Atax, Betax en Citax. Een consumentenvereniging heeft de tarieven vergeleken. Hiervan zie je het resultaat van dit onderzoek.

Bij welk bedrijf is het voorrijgeld het laagst?
Hoe zie je dat in de grafiek?

Bij welk bedrijf is de kilometerprijs het laagst?
Hoe zie je dat in de grafiek?

Ivo moet een rit van 5 km maken.

Bij welk bedrijf is hij het goedkoopste uit?

Een toerist wil voor € 30,- zoveel mogelijk kilometers door de stad rijden.

Welk bedrijf moet hij kiezen?

De kosten van een rit van $x$ kilometer noemen we $y$ .

Hieronder staan drie formules. Zeg voor elke formule welk taxibedrijf erbij hoort. Leg ook uit waarom.
$y = 1,5 x + 15$ , $y = 2 x + 11$ , $y = 3 x + 6$

Gerd gaat elk jaar naar de kermis in Bemmel en Gendt. In Bemmel betaalt Gerd 15 euro entree voor de feesttent en 5 euro voor drie munten (met de munten kan hij drankjes kopen).
In Gendt betaalt Gerd 10 euro entree en ook 5 euro voor drie munten.
We noemen het aantal munten dat Gerd koopt $m$ en de kosten $K$ .

Teken beide grafieken voor het verband tussen $m$ en $K$ . Zet het aantal munten $m$ op de horizontale as (3 munten = 1 cm) en de totale kosten $K$ op de verticale as ( € 5,- = 1 cm).
Geef aan welke grafiek bij welke kermis hoort.

Geef de formules voor de twee verbanden tussen $K$ en $m$ .

Hoe kun je aan de twee formules zien dat de bijbehorende grafieken evenwijdig lopen?

Hoe kun je aan deze twee formules zien dat de grafiek bij de kermis in Bemmel hoger ligt dan de grafiek bij de kermis in Gendt?

In een elektro-winkel verkopen ze drie soorten snoer: twee-aderig snoer, drie-aderig snoer en tweelingsnoer. De voorraad zit op haspels.
Een leeg haspel weegt 800 gram. Twee-aderig snoer weegt 60 gram per meter, drie-aderig snoer 80 gram per meter en tweelingsnoer weegt 30 gram per meter. Het gewicht van de haspel met snoer $y$ (in gram) hangt af van $x$ , het aantal meters snoer dat er op een haspel zit.

Druk voor elk van de drie soorten snoer $y$ uit in $x$ .

Neem het assenstelsel over en teken de drie grafieken bij de formules.

Hoe kun je aan de formules zien welke grafiek het steilst loopt?

Het totale gewicht van de haspel met twee-aderig snoer is op een gegeven moment 3110 gram.

Hoeveel cm snoer zit er dan op die haspel?
Schrijf je berekening op.

Bekijk de grafieken die tot nu toe in dit hoofdstuk aan de orde geweest zijn en schrijf op wat de kenmerken van de grafiek van een evenredig verband zijn.