24.5 Gemengde opgaven >

Hoofdstukken > Goniometrie

Gevarieerde opgaven

Een steil pad maakt een hoek van $32 °$ met een horizontaal vlak. Het pad is $200$ meter lang.

Bereken het hoogteverschil tussen het begin het het einde van het pad in dm nauwkeurig.

Een zeewering heeft een hellingshoek van $32 °$ . De dijk is $18$ m hoog. Zie plaatje.

Bereken de lengte van de dijkhelling in dm nauwkeurig.

Vergelijk je antwoord met wat je in opgave 3c gevonden hebt.

De dijk van hierboven is symmetrisch: aan de landzijde heeft hij dezelfde helling. De kruin is $13$ m breed.

Maak een tekening.
Bereken hoe breed de dijk aan de voet is (in meter nauwkeurig).

Een glijbaan van $4$ meter maakt een hoek van $37 °$ met de grond. Het trapje staat verticaal.

Bereken de hoogte van het trapje en de afstand van de onderkant van de glijbaan tot de voet van het trapje in dm nauwkeurig.

Een vliegtuig stijgt op vanaf Schiphol. De piloot laat het vliegtuig in een rechte lijn stijgen onder een hoek van $55 °$ met de grond.
Hij stijgt tot een hoogte van $3000$ m.

Hoeveel km legt het vliegtuig af tot die hoogte van $3000$ m bereikt is (in hm nauwkeurig)?

Een schommel is aan een touw $300$ cm hoog opgehangen. In rust hangt de zitting $60$ cm boven de grond.
Sara gaat schommelen. Op gegeven moment heeft het touw waaran de schommel zit een uitwijking van $35 °$ , zie plaatje.

Bereken op welke hoogte dan het midden van de zitting is in hele cm.
Vergelijk je antwoord met wat je in opgave 11 gevonden hebt.

Door een kademuur die $9$ dm dik is loopt een drainagebuis. Om het water goed af te voeren loopt de buis een beetje omlaag, ongeveer $12 °$ .

Bereken de lengte van de buis en het hoogteverschil tussen begin- en uiteinde in cm nauwkeurig.

De band van een fiets heeft een diameter van $70$ cm. Op een gegeven moment is het ventiel op niveau 0 (dus op de grond). De fiets wordt $70$ cm vooruit geduwd.

Op welk niveau bevindt het ventiel zich nu (in cm nauwkeurig)? De dikte van de band wordt verwaarloosd.

(hint)

De omtrek van een cirkel is π $\cdot$ diameter.

Een gelijkmatig glooiend strand maakt een hoek van $3 °$ met de zeespiegel. Bij eb is het strand $80$ m breed en bij vloed $30$ m.

Bereken het verschil in waterhoogte bij eb en vloed in dm nauwkeurig.

Driehoeken van roosterpunten

In het vierkantenrooster is een driehoek $A B C$ getekend.
De vierkantjes zijn 1 bij 1.

Bereken de zijden van de driehoek exact (dus laat eventueel wortels in je antwoord staan).

Ga na dat driehoek $A B C$ rechthoekig is.
(Gebruik de omgekeerde stelling van Pythagoras.)

De stand waarin driehoek $A B C$ getekend is, is wat ongebruikelijk.
We willen $\sin (β)$ bepalen.
Vanuit hoek $B$ gezien is $A C$ de overstaande rechthoekszijde en $B C$ de schuine zijde, dus
$\sin (β)$ $= \frac{\sqrt{20}}{5}$ .

Bepaal zo ook $\cos (β)$ en $\tan (β)$ .

Bepaal $\sin (γ)$ , $\cos (γ)$ en $\tan (γ)$ .

Bereken met je rekenmachine $β$ en $γ$ .

Wat valt je op als je $\sin (β)$ , $\cos (β)$ en $\tan (β)$ met $\sin (γ)$ , $\cos (γ)$ en $\tan (γ)$ vergelijkt?
Kun je dit verklaren?

In het vierkantenrooster is een driehoek $A B C$ getekend.
De vierkantjes zijn 1 bij 1.

Bereken de zijden van de driehoek exact (dus laat eventueel wortels in je antwoord staan).

Je kunt zo zien dat driehoek $A B C$ niet rechthoekig is. Er is dus ook geen schuine of rechthoekszijde in die driehoek.
Toch kun je α wel berekenen.

Bereken α in graden nauwkeurig.

(hint)

Kijk in de driehoeken $A D C$ en $A B D$ waarbij $D$ het roosterpunt is, recht onder $B$ zodat hoek $A D B$ recht is.

De ruimte in

De ribben van de kubus zijn $4$ .
Driehoek $A C G$ is rechthoekig.

Welke hoek is recht?

Bereken hoek $C A G$ in graden nauwkeurig.

$M$ is het midden van $G H$ .
Driehoek $A M B$ is niet rechthoekig.

Bereken de zijden van driehoek $A M B$ .

Bereken hoek $B A M$ in graden nauwkeurig.

Een zendmast is op een hoogte van $87$ m met drie kabels vastgezet. De kabels maken hoeken van $64 °$ met de grond.

Bereken de lengte van zo’n kabel.

Hoe ver van de voet zijn de kabels in de grond bevestigd?

Een regelmatige vierzijdige piramide is $10$ hoog en het grondvlak is $5$ bij $5$ .

Bereken de hoek die een opstaande ribbe met het grondvlak maakt in graden nauwkeurig.

12s

14s

Het vakantiehuisje heb je ook in hoofdstuk 17 Pythagoras gezien.
Het is $4,80$ m hoog, $4$ m breed en $4$ m lang. De vier gevels zijn gelijkbenige driehoeken. Het dak bestaat uit acht rechthoekige dakpunten.

Bereken de hoeken in een gevel.

Bereken de hoeken in een rechthoekig dakvlak.

Bereken de hoek die een kilgoot met de grond maakt. (De kilgoot loopt van een hoekpunt van het vierkante grondvlak naar het punt waar de acht dakvlakken samen komen.)

Een doos van 4 bij 3 bij 1 dm staat op tafel. De deksel wordt zo geopend dat zijn rand op tafel rust.

Over hoeveel graden is de deksel gedraaid?