Met grafieken

Bekijk de grafiek van de waterstand bij Hoek van Holland van 18 uur op 25 maart tot 8 uur op 26 maart. De waterhoogten zijn gegeven in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil).
Een Noors vrachtschip was toen onderweg van Stavanger naar Rotterdam en kon de Nieuwe Waterweg alleen maar opvaren, als de waterhoogte bij Hoek van Holland niet lager was dan 40 cm beneden NAP.

Maak in je schrift drie keer de tijdbalk, recht onder elkaar.

Geef op de eerste tijdbalk de tijden aan waarop het Noorse vrachtschip de Nieuwe Waterweg op kon varen.

Voor een schip is het (een klein beetje) voordelig als het zijn weg van Hoek van Holland naar Rotterdam bij opkomend tij vaart. Dan vaart het namelijk met de stroom mee.

Geef op de tweede tijdbalk aan wanneer de stroming landinwaarts is (dus bij opkomend tij).

Geef op de derde tijdbalk aan wanneer het Noorse vrachtschip met de stroom mee de Nieuwe Waterweg op kan varen.

In een stad vind je de grote warenhuizen vooral in het centrum, terwijl de woonwijken meer aan de rand van de stad liggen. Dat komt omdat grote winkels, kantoren en horecagelegenheden, zich graag in het centrum willen vestigen. Zij bieden dan ook veel geld voor de grond in het centrum, veel meer dan de eigenaars van gewone woningen. Hiernaast zijn de biedprijzen van warenhuizen, kantoren en huizenbouwers aangegeven. De grafiek geeft voor geen enkele stad de werkelijkheid precies weer; wel kun je er uit aflezen hoe het in veel steden ongeveer is. Horizontaal staat de afstand vanaf het centrum in km, verticaal staat de biedprijs in euro’s per m².

Welk bedrag per m² biedt een huizenbouwer voor grond die 4 km van het centrum af ligt?

Hoever van het centrum ligt de grond waarvoor kantoren per m² € 500,- bieden?

Bij welke afstand tot het centrum is de grond volgens de grafieken voor een warenhuis waardeloos?

Bij welke van de drie daalt de biedprijs het snelst als je je van het centrum verwijdert?
Bij welke het langzaamst?

Wie biedt het meest voor een stuk grond dat 500 meter van het centrum af ligt?
En voor een stuk grond dat 1200 meter van het centrum af ligt?

Neem de afstandsbalk over en geef daarop met rood aan waar de warenhuizen de hoogste bieders zijn.
Geef met blauw aan waar de kantoren de hoogste bieders zijn en met groen waar de huizenbouwers de hoogste bieders zijn.

In de plattegrond van een stad is het centrum met een stip aangegeven.

Kleur op het werkblad het gebied waar de warenhuizen de hoogste bieders zijn rood, waar de kantoren de hoogste bieders zijn blauw en waar de huizenbouwers de hoogst bieders zijn groen.

Een slak probeert langs een paal omhoog te klimmen. Af en toe moet hij rusten en dat is niet gunstig voor zijn vorderingen. Hiernaast staat de tijd-hoogte-grafiek van een slak.

Wat kun je vertellen van de moeizame manier waarop de slak klimt?

Maak drie keer een tijdbalk, recht onder elkaar.

Geef op de eerste tijdbalk aan wanneer de slak 15 cm of hoger is.

Geef op de tweede tijdbalk aan wanneer de slak 30 cm of lager is.

Geef op de derde tijdbalk aan wanneer de slak minstens 15 cm hoog is en tegelijkertijd hoogstens 30 cm hoog is.

Als je de hoogte van de slak boven de grond $h$ noemt, wordt in onderdeel b gevraagd naar de tijdstippen waarop $h \geq 15$ .

Schrijf op een soortgelijke manier op naar welke tijdstippen in onderdeel c gevraagd wordt.
En naar welke tijdstippen in d gevraagd wordt.

Intervallen

Je hebt bij de slakkengang van opgave 27d vier stukjes van de tijdbalk gekleurd. Zulke stukjes noemen we tijdsintervallen.
Bij de biedprijzen van opgave 26f heb je afstandsintervallen gekleurd.

Voorbeeld

Welke getallen kan $x$ voorstellen als $3 x + 2 < 11$ ?
Door enkele getallen voor $x$ te proberen, zul je snel uitvinden wat het antwoord op deze vraag is. Maar misschien kom je er ook wel uit door te redeneren. Je mag zelf weten hoe je het antwoord vindt.
Op deze vraag is het antwoord: $x < 3$ .

Dit interval is getekend op een getallenlijn.

In plaats van $x < 3$ geeft Anneke als antwoord: $x \leq 2$ . Want, zegt ze, als een getal kleiner dan 3 is, is het kleiner dan of gelijk aan 2.

Waarom heeft Anneke geen gelijk?

Een interval is een deel van de getallenlijn “uit één stuk”. Dat wil zeggen: een aaneengesloten deel, zonder gaten. “Inter” betekent “tussen”; “interval” betekent letterlijk “tussenruimte”.
Er zijn acht typen intervallen: vier met één grenspunt en vier met twee grenspunten. Van elk type staat hiervan een voorbeeld. Naast het plaatje staat het interval beschreven met behulp van de variabele $x$ .

In plaats van “ $x < 3$ ” kun je ook schrijven: “ $3 > x$ ”.

In plaats van “ $‐ 2 \leq x < 3$ ” kun je ook schrijven: “ $3 > x \geq ‐ 2$ ”. Enzovoort.

De getallen die $x$ kan voorstellen in elk van de volgende gevallen, vormen steeds een interval.
Teken dat interval op een getallenlijn.

$2 x > 4$

$x + 1 < 2$

$3 x + 6 > 3$

$2 x - 2 < 8$

$4 x < 0$

$4 - x < 0$

$‐ x < 6$

$‐ x < ‐ 6$

$x^{2} > 4$

$x^{2} > ‐ 4$

In het middelbaar onderwijs zijn in Nederland de klassen niet groter dan 32 leerlingen. Bij 33 of meer leerlingen komt er een extra klas. Een school behoort zich netjes aan de norm te houden van maximaal 32 leerlingen per klas. Meer klassen dan nodig is, wil een school ook niet maken, want zo’n extra klas kost een hoop geld.

Hoeveel derdeklassen zal een school hebben met103 derdeklassers?

Een school heeft vijf derde klassen. Er zijn te veel leerlingen om ze in vier klassen onder te brengen, maar een zesde derde klas was niet nodig.

Wat weet je van het aantal derdeklassers $x$ op die school? Schrijf je antwoord met behulp van ongelijktekens.

Bij welk aantal leerlingen $x$ zullen er twee klassen zijn? Schrijf dat met ongelijkheden. Bij welk aantal drie klassen?
Bij welk aantal vier klassen?
Bij welk aantal zes klassen?
Bij welk aantal zeven klassen?

Omdat in deze opgave $x$ een aantal leerlingen is, kan $x$ alleen een geheel getal zijn.

In dat geval bestaat het interval

13 \leq x \leq 18

dus uit losse stippen:

Dergelijke vragen noemen we ongelijkheden.
We willen dan alle getallen weten die aan de ongelijkheid voldoen.

Door wat getallen te proberen kun je vaak een ongelijkheid oplossen. En ook door te redeneren.
In de wiskunde kun je je redenering kort opschrijven. Het voordeel is dat anderen dan ook kunnen zien hoe jij aan je antwoord bent gekomen.

Voorbeeld
Vraag:
Voor welke getallen $x$ geldt: $3 x + 5 < 11$ ?

Oplossing:

$3 x + 5$	$<$	$11$	MIN 5
$3 x$	$<$	$6$	DELEN DOOR 3
$x$	$<$	$2$

Plaatje:

Voorbeeld
Vraag:
Voor welke getallen $x$ geldt: $5 - 2 x \geq 1$ ?

Oplossing:

$5 - 2 x$	$\geq$	$1$	PLUS $2 x$ , MIN 1
$4$	$\geq$	$2 x$	DELEN DOOR 2
$2$	$\geq$	$x$

Plaatje:

Los zo ook de volgende ongelijkheden op en teken het passende plaatje.

$\frac{1}{2} x + 5 > 4$

$3 x - 6 < ‐ 3$

$\frac{1}{2} (x + 1) \leq 3$

$3 \leq 4 + 0,4 x$

$4 x < 2 x + 7$

$4 x + 1 + 2 x \geq 7$

Teken op een getallenlijn een plaatje van de gehele getallen $x$ waarvoor $‐ 2 \leq x \leq 3$ .

Teken op een getallenlijn een plaatje van de gehele getallen $x$ waarvoor $‐ 2 < x < 3$ .

Stel dat je van een geheel getal $x$ weet: $10 < x < 20$ .

Hoeveel getallen zijn er dan voor $x$ mogelijk?

Voor gehele getallen komen “ $10 < x < 20$ ” en “ $11 \leq x \leq 19$ ” op hetzelfde neer.

Stel dat je van een geheel getal $x$ weet: $65 \leq x \leq 85$ .

Schrijf die informatie ook op met twee keer het teken “ $<$ ”.

Stel dat je van een geheel getal $x$ weet: $65 < x < 85$ .

Schrijf die informatie ook op met twee keer het teken “ $\leq$ ”.

Een auto heeft vijf versnellingen; en ook nog de “achteruit”, maar daar letten we nu niet op. Bij elke versnelling hoort een zeker interval van snelheden.
Zo rijd je bijvoorbeeld in de tweede versnelling met een snelheid tussen 10 en 55 km/uur.
10 km/uur is een beetje weinig; goede chauffeurs zullen eerder terugschakelen naar de eerste versnelling. 55 km/uur is een beetje veel; goede chauffeurs zullen eerder verder schakelen naar de derde versnelling. Maar in deze opgave werken we met 10 en 55 km/uur.

Bij de andere versnellingen horen ook intervallen van snelheden. Dit vind je in het overzicht, waarbij $x$ de snelheid in km/uur voorstelt.

Geef op (of boven) een getallenlijn deze intervallen aan; gebruik kleur.

Bij welke snelheden $x$ kun je zowel in de tweede als in de derde versnelling rijden?

Welke versnelling kun je eigenlijk wel missen?
Waarom?

Welke snelheden kun je wèl rijden in de derde versnelling, maar niet in de vierde versnelling?

Als je van een getal $x$ weet dat $0 < x < 30$ en bovendien dat $10 < x \leq 55$ , dan weet je van het getal $x$ dat: $10 < x < 30$ .
Schrijf op deze manier ook korter:

$x \leq 54$ en $40 \leq x \leq 60$

$x \leq 54$ en $x > 30$

$x \leq 54$ en $x < 41$

$A$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt: $x \leq 2$ .

$B$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt: $‐ 1 < x < 3$ .

Geef op een getallenlijn de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt:

$x \leq 2$ of $‐ 1 < x < 3$ ,
$x \leq 2$ en $‐ 1 < x < 3$ ,
$x \leq 2$ en niet $‐ 1 < x < 3$ ,
$‐ 1 < x < 3$ en niet $x \leq 2$ .

Beschrijf elk van deze vier verzamelingen zo eenvoudig mogelijk; gebruik de variabele $x$ .

$C$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor: $‐ 1 \leq x \leq 3$ .

$D$ is de verzameling getallen $x$ waarvoor: $0 < x \leq 2$ .

Geef op een getallenlijn de verzameling getallen $x$ waarvoor geldt:

$‐ 1 \leq x \leq 3$ of $0 < x \leq 2$ ,
$‐ 1 \leq x \leq 3$ en $0 < x \leq 2$ ,
$‐ 1 \leq x \leq 3$ en niet $0 < x \leq 2$ ,
$0 < x \leq 2$ en niet $‐ 1 \leq x \leq 3$ .

Beschrijf elk van deze vier verzamelingen zo eenvoudig mogelijk; gebruik de variabele $x$ .