Verzamelingen bij kansen

Iemand werpt met een rode en een blauwe dobbelsteen.
Er zijn 36 worpen mogelijk. Elke worp is in het diagram weergegeven door een stip.

Kleur met de applet (of op het werkblad) de stippen waarbij de som van de ogen 8 is.

Kleur met de applet (of op het werkblad) de stippen waarbij het aantal ogen op de rode dobbelsteen groter is dan op de blauwe.

In plaats van elke uitkomst afzonderlijk te kleuren kun je ook een kring om die stippen trekken. De uitkomsten $(1,1)$ , $(2,1)$ , $(2,2)$ , $(3,2)$ en $(3,3)$ zijn aangewezen.

Kleur met de applet (of op het werkblad) met een kring de “dubbelen” aan, dat zijn de worpen waarbij de aantallen ogen op beide dobbelstenen gelijk zijn.

Kleur met de applet (of op het werkblad) met een kring de worpen aan waarbij minstens één zes voorkomt.

Hoe groot is bij een worp met de twee dobbelstenen de kans dat:

het totaal aantal ogen gelijk is aan 8?
het aantal ogen op de rode dobbelsteen groter is dan op de blauwe?
er met de rode dobbelsteen niet meer gegooid is dan met de blauwe?
er minstens één 6 gegooid wordt?

In een vaas zitten 5 zwarte en 2 witte ballen. Pak een eerste bal uit de vaas en daarna nog een tweede.
Elke greep van twee ballen wordt weergegeven door een stip in het rooster.

Op een van de diagonalen zijn de stippen weggelaten. Waarom?

Kleur met de applet (of op het werkblad) met een kring de grepen aan met een witte en een zwarte bal.

Wat is de kans op 1 witte en 1 zwarte bal?

Twee buurvrouwen, Ans en Bea, zijn in verwachting. De kinderen kunnen op elke dag van de week geboren worden, elke dag met kans $\frac{1}{7}$ .
Elke combinatie van dagen is weergegeven door een stip.

Kleur met de applet (of op het werkblad) met een kring aan de combinaties waarbij geen van beide kinderen in het weekend (zaterdag of zondag) geboren wordt.

Hoe groot is de kans dat geen van beide kinderen in het weekend geboren wordt?

Bij een minilotto kies je twee nummers uit de getallen 1 tot en met 6. Op je spelformulier kruis je die twee nummers aan, bijvoorbeeld de nummers 2 en 5.

De notaris trekt twee winnende nummers.

Teken een diagram bij deze situatie. Zet het eerste nummer langs de horizontale as en het tweede langs de verticale as.

Wat is de kans dat de nummers die jij aangekruist hebt allebei goed zijn?

Wat is de kans dat ze allebei fout zijn?

Wat is de kans op precies één goed cijfer?

Als we de worpen met drie dobbelstenen willen weergeven hebben we een driedimensionaal systeem nodig. We zijn geïnteresseerd in 5 of 6 ogen; dat noemen we HOOG.

Kleur op je werkblad de worpen met drie keer HOOG?

Hoeveel worpen zijn er met twee keer HOOG, met een keer HOOG en met nul keer HOOG?

Wat is de kans op elk van deze vier mogelijkheden?

Stef en Leon gaan een avondje stappen. Wat later op de avond komen ze een café binnen waar aan de bar negen lege barkrukken op een rij staan. Ze zijn wat aangeschoten. Daardoor nemen ze, zonder verder op elkaar te letten, op een kruk plaats. In het diagram wordt elke combinatie van een kruk waar L op zit en een kruk waar S op zit, weergegeven door een stip.

Uiteraard gaan L en S op verschillende krukken zitten.

Geef aan welke stippen afvallen.

Geef op het werkblad aan bij welke stippen L en S naast elkaar zitten.

Wat is de kans dat L en S naast elkaar komen te zitten?

Meer diagrammen

Een voorbeeld uit de dierenwereld.
$Z$ is de verzameling zoogdieren, $W$ is de verzameling waterdieren en $R$ is de verzameling roofdieren.
Wat deze drie kenmerken betreft kunnen we acht soorten dieren onderscheiden.
Neem de figuur over.

Plaats de volgende dieren in het diagram:
haai, konijn, paling, rob, slak, python, tijger, potvis. In elk deel van het diagram hoort precies één van deze dieren.

Een zeker dier legt eieren en leeft op het land.

Kleur het gebied in het diagram waar dat dier geplaatst moet worden.

Je hebt één muntstuk van 5 cent, één van 10 cent en één van 20 cent.

Welke bedragen kun je daarmee betalen? Je kunt daarvoor handig een Venndiagram gebruiken.

Hoeveel verschillende bedragen zijn dat?

We hebben drie zuivere kleuren verf: rood, geel en blauw. Oranje krijg je door rood en geel te mengen. Rood met blauw levert paars op; geel met blauw geeft groen. Als alle drie de kleuren voorkomen hebben we bruine verf.
Neem het diagram over.

Schrijf in elk van de zeven stukken van het diagram de bijbehorende kleur.

10s

Je hebt één muntstuk van 5 cent, één van 1 cent en één van 20 cent en één van 50 cent.

Hoeveel verschillende bedragen kun je daarmee betalen?

En als je er ook nog één muntstuk van 1 euro bij hebt?

11s

Een schilder heeft 5 liter rode verf en 7 liter gele verf. Met die twee kleuren maak hij 6 liter oranje verf. De schilder houdt van de rode en gele verf evenveel over.
De oranje verf is een mengsel van rode en gele verf.

In welke verhouding?

John Venn (1834-1923)

Als je met verzamelingen te doen hebt, is het vaak handig die schematisch in plaatjes weer te geven. Voor elke verzameling teken je een kring. Als iets tot die verzameling behoort, hoort het binnen de kring, anders daarbuiten.

Dergelijke plaatjes heten wel Venndiagrammen, genoemd naar de Engelse wiskundige en logicus John Venn.

Hiernaast staat een kleine enquête van vier vragen over het financiële leven van een leerling. Elk van de vragen moet met “ja” of “nee” worden beantwoord.

Toelichting bij de vragen:

Verdien je regelmatig wat geld? Dat kan zijn met een baantje, maar ook als kinderoppas of met klussen zoals autowassen of het rondbrengen van folders.
Geef je geld uit aan uitgaan? Dat kan ook zijn in een cafetaria, of aan bezoeken van voetbalwedstrijden.
Krijg je kleedgeld? Bedoeld is bijvoorbeeld elke maand een vast bedrag dat je zelf aan kleren mag besteden.
Heb je een eigen tv of computer? Bijvoorbeeld op je kamer; mag ook samen met je broer of zo.

Misschien twijfel je bij een vraag of jouw antwoord ja of nee moet zijn. Toch moet je bij elke vraag uit een van de twee kiezen. In geval van ja zet je een kruis (X) in het eerste hok, anders in het tweede.

Vul even op het werkblad jouw persoonlijke enquête in.

Hiernaast staat een diagram van de vier verzamelingen die bij de enquête horen.
$V$ is de verzameling leerlingen die regelmatig wat verdienen.
$U$ is de verzameling leerlingen die geld uitgeven aan uitgaan.
$K$ is de verzameling leerlingen die kleedgeld krijgen.
$T$ is de verzameling leerlingen met een eigen televisie of computer.
Elke leerling krijgt een plaats in het diagram. Als hij regelmatig wat verdient (dan heeft hij dus de eerste vraag van de enquête met ja beantwoord), is zijn plaats binnen kring $V$ , anders daarbuiten. Net zo gaat het bij $U$ , $K$ en $T$ .

Geef op het werkblad jouw plaats in het diagram aan met een stip.

Kleur op het werkblad het gebied rood waar de leerlingen komen die regelmatig wat verdienen, geld uitgeven aan uitgaan, geen kleedgeld krijgen en geen eigen tv of computer hebben

Anneke heeft de enquête precies tegengesteld ingevuld als jij. Dat wil zeggen: waar jij “ja” antwoordde, heeft zij “nee” geantwoord en omgekeerd.

Plaats Anneke in het diagram.

Om de enquête te beantwoorden moet je vier keer kiezen of je “ja” of “nee” invult. Met een berekening kun je laten zien dat de enquête op zestien manieren kan worden ingevuld.

Welke berekening is dat?

Hieronder staan alle zestien manieren om de enquête in te vullen, genummerd: 1 t/m 16. Er zijn dus ook zestien gebieden in het diagram.

Vul in het diagram op het werkblad in elk gebied het passende nummer in.

Vinja heeft de enquête ingevuld. Ze verdient regelmatig wat en geeft geld uit aan uitgaan. De andere twee dingen weten we niet.

Kleur op het werkblad het gebied waar Vinja geplaatst kan worden.

Fransje heeft één van de vragen met ja beantwoord en de andere drie met nee.

Kleur op het werkblad de gebieden waar Fransje geplaatst kan worden.

We kijken bij de enquête van opgave 13 onder andere naar de volgende twee dingen:

of de leerling regelmatig wat verdient,
of de leerling geld uitgeeft aan uitgaan.

De verzameling leerlingen in een klas die regelmatig wat verdienen hebben we $V$ genoemd, de verzameling leerlingen die geld uitgeven aan uitgaan hebben we $U$ genoemd.
Hiernaast staat voor een klas van 21 leerlingen het diagram getekend van de verzamelingen $V$ en $U$ .

Hoeveel leerlingen zitten:

in allebei de verzamelingen: in $V$ en in $U$ ?
in minstens een van de twee verzamelingen: in $V$ of in $U$ ?
wel in $V$ maar niet in $U$ ?
wel in $U$ maar niet in $V$ ?

Deze vier aantallen hebben met elkaar te maken.

Wat is het verband tussen de vier aantallen?

We kijken nog even naar opgave 1.
Anneke heeft een krantenwijk. ‘s Morgens, voordat zij naar school gaat, bezorgt zij bij 92 gezinnen hun ochtendblad: de Volkskrant bij 61 gezinnen en Trouw bij 36 gezinnen.

We tekenen een diagram met twee kringen bij deze situatie. De gezinnen waar de Volkskrant gelezen wordt, horen in de linker kring, waar Trouw gelezen wordt in de rechter kring.
De twee kringen maken drie gebieden:

waar alleen de Volkskrant gelezen wordt,
waar alleen Trouw gelezen wordt,
waar beide ochtendbladen gelezen worden.

Hoeveel gezinnen horen in elk van de gebieden?

Eigenlijk is er nog een vierde gebied, namelijk waar geen van beide ochtendbladen gelezen wordt. Maar dat speelt in opgave 15 geen rol.

In een klas van 28 leerlingen zitten er 16 op hockey en zitten er 10 op dansles. Sommige leerlingen zitten op allebei: zeg dat er dat $x$ zijn. Dan zijn er $16 - x$ die alleen op hockey zitten. In de bijbehorende twee gebieden hiernaast staan deze aantallen.

Schrijf in de andere twee gebieden van het diagram het juiste aantal, uitgedrukt in $x$ . Neem daarvoor het diagram over.

Stel dat je weet dat er twee keer zoveel leerlingen zijn die alleen op hockey zitten als leerlingen die op geen van beide zitten.

Bereken $x$ .

Op een school zijn de zogenaamde expressievakken: tekenen, handvaardigheid en muziek. De leerlingen moeten precies twee van die vakken kiezen.
In een klas van 21 leerlingen kozen er 6 geen tekenen, 7 geen handvaardigheid en 8 geen muziek.

Kleur in het diagram de gebieden waarin geen leerlingen mogen worden geplaatst. Neem daarvoor het diagram over.

Hoeveel leerlingen kozen er wel tekenen?
En hoeveel handvaardigheid en hoeveel muziek?

Op een secretaresseopleiding worden drie moderne vreemde talen gegeven: Engels, Frans en Duits. De leerlingen moeten er hiervan minstens twee opnemen in hun pakket.
Een groep meisjes meldt zich voor de opleiding aan. Van hen doen er 16 (in elk geval) Frans en Duits; 25 doen er (in elk geval) Frans en Engels; 33 doen er (in elk geval) Duits en Engels.
Noem het aantal dat alle drie de talen doet: $x$ .

Schrijf in elk gebied van het diagram het juiste aantal, uitgedrukt in $x$ .
Neem daarvoor het diagram over.

Stel dat de groep 50 meisjes telt.

Bereken dan $x$ .