17.7  De ruimte in >
De stelling van Pythagoras in de ruimte
1

In een doos van 12 bij 9 bij 8 dm zijn op drie manieren tussenschotten geplaatst.

a

Bereken van elk tussenschot de exacte maten.

In de doos wordt een zo lang mogelijke stok geplaatst. We willen de lengte van die stok berekenen. We kunnen verschillende rechthoekige driehoeken bekijken waarvan die stok de schuine zijde is.

b

Bereken z met behulp van het linker plaatje.

c

Bereken z met behulp van het rechter plaatje.

2

Bereken de lengte van een lichaamsdiagonaal (dit is hetzelfde als een binnendiagonaal) van de doos.

3

Een balk is 1 bij 2 bij 2 dm.
Mark maakt plaatjes om de lengte van een lichaamsdiagonaal te berekenen.
De berekening die hij uitvoert, staat hieronder:
y 2 = 2 2 + 2 2 = 8
dus y = 8 = 2,8
dus x 2 = 1 2 + 2,8 2 = 8,84
dus x = 8,84 = 2,97  dm

a

Welke fout maakt Mark?

b

Geef de juiste berekening.

De stelling van Pythagoras in de ruimte
Voor de lengte d van een lichaamsdiagonaal in een balk met ribben van lengte a , b en c geldt:
d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Oefenen met de stelling van Pythagoras in de ruimte
4
7

Een balk is 3 dm breed, 4 dm lang en 12 dm hoog.
Bereken hoe lang zijn lichaamsdiagonaal is.

5
8

Het grondvlak van de regelmatige piramide is 12 bij 12 en de hoogte van de piramide is 7.
Bereken de lengte van een opstaande ribbe.

6

Uit een boomstam wordt een balk gezaagd. De stam heeft een omtrek van 110 cm.

a

Bereken de diameter x (in cm) van de stam in twee decimalen nauwkeurig.

(hint)
omtrek cirkel = π diameter.

De balk moet 30 cm hoog worden en zo breed mogelijk.

b

Bereken de breedte van de balk afgerond op een geheel aantal cm.

(hint)
De diameter blijft natuurlijk gelijk.
c

Wat zijn de afmetingen van een zo groot mogelijke vierkante balk die uit de stam gezaagd kan worden (afgerond op een geheel aantal cm)?

4s
7s

De inhoud van een kubus is 27 cm3.

a

Bereken hoe lang zijn lichaamsdiagonaal is.

Dat is toch vreemd. De lengte van de lichaamsdiagonalen is de wortel van de inhoud. Zou dit voor alle kubussen gelden? Laten we dit onderzoeken. We noemen de lengte van de ribben van een willekeurige kubus a . De inhoud van de kubus is dan a 3 .

b

Bereken hoe lang zijn lichaamsdiagonaal is.

c

Voor welke waarden van a geldt:
inhoud = lengte lichaamsdiagonaal ?

5s
8s

De vier gevels van het vakantiehuisje hebben de vorm van een gelijkbenige driehoek. Het huisje is 4,80 m hoog, 4 m breed en 4 m lang. Op het werkblad staat een bouwplaat, schaal 1 : 100 .

a

Bereken de oppervlakte van de voorgevel.

b

Bereken de totale dakoppervlakte.

Er zijn vier dakgoten, elk tussen twee dakvlakken, schuin naar beneden.

c

Bereken de lengte van een dakgoot.

De zoldervloer ligt op 2,40 m hoogte.

d

Teken een plattegrond van de zoldervloer op schaal 1 : 100 .

9

Marcel heeft pech. Zijn vlieger raakt vast aan de dakgoot. Als hij het touw tot de grond strak trekt, is het 15 meter lang. Op de tekening zie je hoe hij ten opzichte van de dakgoot staat.
Bereken hoe hoog de dakgoot boven de grond ligt.