16.6 Merkwaardige producten >

Hoofdstukken > Haakjes

Voor alle getallen $a$ , $b$ en $c$ geldt:
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Dit zijn de zogenaamde merkwaardige producten. De producten krijgen extra aandacht, omdat er vaak tegen gezondigd wordt.

Om te zien dat de drie formules juist zijn, hoef je alleen maar de haakjes uit te werken.
Doe dat.

Bij het eerste merkwaardige product hoort het onderstaande plaatje (voor positieve getallen $a$ en $b$ .

Leg uit hoe je met het plaatje kunt begrijpen dat ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

${(3 x + 1)}^{2}$
${(3 x - 1)}^{2}$
$(3 x + 1) (3 x - 1)$

${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$
${(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2}$
${((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Misschien is wel de meest gemaakte fout in de wiskundelessen: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Er zijn weinig getallen waarvoor geldt dat ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Wat weet je van $a$ en $b$ als dit toch het geval is?

Bij het tweede merkwaardige product hoort het onderstaande plaatje (voor positieve getallen $a$ en $b$ ).

Leg uit hoe je daarmee kunt begrijpen dat ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Bij het derde merkwaardige product hoort het volgende plaatje (voor positieve getallen $a$ en $b$ ).

Leg uit hoe je daarmee kunt begrijpen dat $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Met behulp van een merkwaardig product kun je handig rekenen.

Bereken ${(1 \frac{1}{2})}^{2}$ , ${(2 \frac{1}{2})}^{2}$ , ${(3 \frac{1}{2})}^{2}$ , ${(4 \frac{1}{2})}^{2}$ en ${(5 \frac{1}{2})}^{2}$ .

De uitkomsten hebben een mooie regelmaat. Ze zijn allemaal een geheel getal plus een kwart. Bijvoorbeeld ${(3 \frac{1}{2})}^{2} = 12 \frac{1}{4}$ . En het gehele deel 12 heeft weer iets met 3 te maken.

Wat?

Welke formule vermoed je voor ${(n + \frac{1}{2})}^{2}$ ?

Ga na dat ${(n + \frac{1}{2})}^{2}$ en $n (n + 1) + \frac{1}{4}$ inderdaad gelijk zijn.

Kun je nu uit je hoofd het kwadraat van $10 \frac{1}{2}$ uitrekenen?

De term "merkwaardig" komt van "opmerkenswaardig" : de moeite van het onthouden waard, zou je dat (vrij) kunnen vertalen. De drie merkwaardige producten zijn onder die naam pas eind negentiende eeuw in het onderwijs terecht gekomen.

In opgave 1 heb je bij een getal $n$ vier getallen gemaakt: $n - 2$ , $n - 1$ , $n + 1$ en $n + 2$ . Je hebt ontdekt dat geldt: $(n - 1) (n + 1) - (n - 2) (n + 2) = 3$ .

Toon met behulp van een merkwaardig product aan dat dit inderdaad voor elk getal $n$ geldt.

In opgave 2 heb je bij drie opvolgende getallen $n$ , $n + 1$ en $n + 2$ ontdekt dat $n^{2} + {(n + 2)}^{2} - 2 {(n + 1)}^{2} = 2$ .

Toon met behulp van een merkwaardig product aan dat dit inderdaad voor elk getal $n$ geldt.

De merkwaardige producten worden vooral "van rechts naar links" gebruikt, dus als:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Schrijf op deze manier als kwadraat of als product van twee tweetermen.

$x^{2} + 16 x + 64$
$x^{2} - 16 x + 64$
$x^{2} - 64$

$4 x^{2} + 12 x + 9$
$4 x^{2} - 12 x + 9$
$4 x^{2} - 9$

$100 x^{2} + 20 x y + y^{2}$
$100 x^{2} - 20 x y + y^{2}$
$100 x^{2} - y^{2}$

Maak een tabel voor $x^{2} - 4 x + 4$ kies voor $x$ waarden tussen $‐ 3$ en $5$ .

Voor elk van de getallen in de tabel is $x^{2} - 4 x + 4$ groter dan of gelijk aan 0. Dat is geen toeval.

Schrijf $x^{2} - 4 x + 4$ als kwadraat.

Leg uit hoe je hieraan kunt zien dat $x^{2} - 4 x + 4$ inderdaad positief of 0 is voor alle waarden van $x$ .

Leg uit dat $x^{2} - 20 x + 100$ altijd positief of 0 is, wat je ook maar voor $x$ invult.

Als je voor $x$ alle mogelijke getallen invult, welke waarden kunnen er dan uit $x^{2} - 20 x$ komen?

En uit $x^{2} - 20 x + 37$ ?

10s

11s

Welke waarden kan $x^{2} + 10 x + 49$ aannemen?

De kleinste waarde die $x^{2} + 16 x + ...$ kan aannemen is 5.

Welk getal moet op de ... staan?