16.5  Producten van tweetermen >
Terrassen uitbreiden
1

Mijn buurman legt een vierkant terras. Hij werkt vanuit de hoek linksonder. Hij gebruikt vierkante betontegels die op een grote stapel voor zijn huis liggen. Op een gegeven moment heeft buurman een stuk van 6 bij 6 tegels gelegd. Hij wil het stuk uitbreiden tot een stuk van 7 bij 7 tegels.

a

Hoeveel tegels moet hij dan van de stapel halen?

b

Hoeveel tegels moet hij halen als hij een stuk van 15 bij 15 tegels wil uitbreiden tot een stuk van 16 bij 16 tegels?

c

En hoeveel als hij een stuk van n bij n tegels wil uitbreiden tot een stuk van n + 1 bij n + 1 tegels?

d

Bereken het aantal tegels dat je nodig hebt voor een terras van n + 1 bij n + 1 tegels op de volgende twee manieren.

Manier 1: het aantal tegels voor een terras van n bij n tegels + het aantal tegels dat erbij komt.

Manier 2: het aantal tegels in de lengte × aantal tegels in de breedte.

e

Welke gelijkheid vind je?

f

Bereken met deze formule 101 2 .

2

Bekijk het vierkante terras in het plaatje. Het is gelegd met n 2 + 10 n + 25 tegels.

a

Hoeveel tegels liggen er op elk van de vier delen van het terras?

b

Wat zijn de afmetingen van dit terras (lengte en breedte)?

c

Welke gelijkheid vind je als je de oppervlakte van het terras op twee manieren opschrijft?

3
4

Het terras in dit plaatje is n + 4 bij n + 3 tegels.

a

Hoeveel tegels liggen er op elk van de vier delen van het terras?

b

Welke gelijkheid vind je als je de oppervlakte van het terras op twee manieren opschrijft?

Een ander terras meet n + 2 bij n + 5 tegels.

c

Teken een plaatje bij dit terras. Vermeld de afmetingen erbij.

d

Welke gelijkheid vind je door de oppervlakte van dit terras op twee manieren op te schrijven?

Het rechthoekig terras in het plaatje is gelegd met n 2 + 6 n + 8 tegels.

e

Welke gelijkheid vind je door de oppervlakte van het terras op een andere manier op te schrijven?

3s
4s

Hermelien maakt van lucifers een vierkant. Daarna maakt zij een groter vierkant door kleine vierkantjes aan te leggen. Zo gaat ze door. Hieronder staan de eerste drie vierkanten.

Hoeveel lucifers heeft Hermelien nodig om het n de vierkant uit te breiden tot het ( n + 1 ) de ?

Producten van tweetermen

a en b zijn getallen. Een uitdrukking als a + b heet een tweeterm, omdat er twee termen worden opgeteld;
a en b zijn de termen.
Ook 3 a 2 + 17 b is een tweeterm.

5

Een rechthoek van lengte 10 en breedte 7 heeft oppervlakte 70. Een tweede rechthoek is langer en ook breder; de lengte is 10 + a , de breedte is 7 + b . Zie het plaatje.

a

Hoeveel is de oppervlakte van de rechthoek groter dan 70?

Er zijn a + 3 personen die elk x + 5 euro betalen. Je kunt het bedrag dat in totaal wordt betaald op twee manieren opschrijven, met en zonder haakjes.

b

Welke gelijkheid vind je?

Er zijn p Duitse meisjes en 7 Duitse jongens. Zij maken kennis met q Nederlandse meisjes en 5 Nederlandse jongens. Bij de kennismaking worden handen geschud. Je kunt het aantal keer dat handen wordt geschud op twee manieren opschrijven, met en zonder haakjes.

c

Welke gelijkheid vind je?

Het getal 100 + p vermenigvuldigen we met 3 + q : dus ( 100 + p ) ( 3 + q ) . Dat doen we door 100 te vermenigvuldigen met 3 en ook nog met q .
Vervolgens vermenigvuldigen we p met 3 en ook nog met q . De uitkomst bestaat uit vier termen.

d

Schrijf die uitkomst op.

a , b , c en d zijn getallen. ( a + b ) ( c + d ) is een product van twee tweetermen, omdat twee tweetermen ( a + b ) en ( c + b ) worden vermenigvuldigd. Ook ( 3 a + b ) ( c a ) is een product van twee tweetermen. ( 3 a + b ) ( c 2 + 5 a 2008 ) is het product van een tweeterm en een drieterm.

Voor alle getallen a , b , c en d geldt:
( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d .

6
7

Controleer de bovenstaande gelijkheid voor de getallen a = ‐1 , b = 5 , c = ‐7 en d = 3 .

6s
7s

De gelijkheid ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d kun je ook goed begrijpen met behulp van de distributiewet: p ( c + d ) = p c + p d .
De distributiewet is juist voor alle getallen p . Vul voor p in: a + b .
Dan krijg je: ( a + b ) ( c + d ) = ( a + b ) c + ( a + b ) d .

Leg uit hoe je hieruit de gelijkheid krijgt.

Als je twee tweetermen vermenigvuldigt, bestaat de uitkomst uit vier termen. Elke term van de eerste tweeterm moet worden vermenigvuldigd met elke term van de tweede tweeterm.

8
10

Teken voor positieve getallen a , b , c en d een plaatje bij de gelijkheid ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d . Leg uit hoe je aan de hand van het plaatje de gelijkheid kunt begrijpen.

9
11

De gelijkheid ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d kun je gebruiken om de getallen 34 en 27 te vermenigvuldigen:
34 27 = ( 30 + 4 ) ( 20 + 7 ) = 30 20 + 30 7 + 4 20 + 4 7 . Dit komt op hetzelfde neer als de manier die je op de basisschool geleerd hebt om 34 en 27 te vermenigvuldigen!

a

Welke uitkomst krijg je?

b

Bereken zo ook: ( 80 + 1 ) ( 30 + 9 ) . Controleer achteraf je uitkomst door het product 81 39 met je rekenmachine uit te rekenen.

8s
10s

( a + b + c ) ( d + e + f ) is een product van twee drietermen.

a

Maak een plaatje bij dit product.

b

Schrijf ( a + b + c ) ( d + e + f ) zonder haakjes.
Je krijgt dan een .....-term.

9s
11s

( a + b ) ( c + d ) ( e + f ) is een product van drie tweetermen.

a

Maak een plaatje bij dit product.

b

Schrijf ( a + b ) ( c + d ) ( e + f ) zonder haakjes.

Oefenen
Voorbeeld:

( x + 2 ) ( x + 5 ) = x x + x 5 + 2 x + 2 5 en dit kun je korter schrijven als x 2 + 7 x + 10 . Hierbij kun je ook een plaatje tekenen.

12

Schrijf zo ook zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

a

( x 3 ) ( x 7 )

( x + 3 ) ( x 7 )

( x + 8 ) ( x 1 )

( x 8 ) ( x + 1 )

( x + 4 ) ( x 4 )

( x 4 ) ( x 4 )

( x 1 2 ) ( x + 2 )

( x + 1 2 ) ( x + 1 2 )

b

( 2 x 3 ) ( x 7 )

( 2 x + 3 ) ( x 7 )

( 2 x + 8 ) ( 3 x 1 )

( 2 x 8 ) ( 3 x + 1 )

( 2 x + 4 ) ( 1 2 x 4 )

( 2 x 4 ) ( 2 x 4 )

2 ( x 1 2 ) ( x + 2 )

2 ( x + 1 2 ) ( x + 1 2 )

c

( p + 2 q ) 2

( p 2 q ) 2

( 5 p + 2 q ) 2

( 5 p 2 q ) 2

( ‐5 p + 2 q ) 2

( ‐5 p 2 q ) 2

( ‐5 p + 2 q ) ( 5 p + 2 q )

( 5 p 2 q ) ( ‐5 p + 2 q )

Wil je meer oefenen met het uitschrijven van haakjes, ga naar de site van AlgebraKiT en kies niveau 1 of niveau 2 of niveau 3.

13

Los op en controleer je antwoord.

a

( x + 4 ) ( x 4 ) = ( x 2 ) 2

b

2 x 2 ( x + 1 ) 2 = ( x 2 ) 2

c

4 ( x + 1 ) ( x 3 ) = ( 2 x ) 2

d

x ( x + 5 ) = ( x + 1 ) ( x + 5 )

14

Omgekeerd kun je sommige drietermen schrijven als product van twee tweetermen.

a

Doe dat bij:

x 2 + 5 x + 6 = ( x + 3 ) ( x + 2 )

x 2 5 x + 6

x 2 + 7 x + 6 = ( x + ..... ) ( x + ..... )

x 2 7 x + 6

x 2 + x 6

x 2 x 6

x 2 + 5 x 6

x 2 5 x 6

b
Doe dat ook bij

4 a 2 + 4 a b + b 2

4 a 2 4 a b + b 2

4 a 2 + 5 a b + b 2

4 a 2 5 a b + b 2

2 a 2 + 7 a b + 5 b 2

2 a 2 7 a b + 5 b 2

2 a 2 + 11 a b + 5 b 2

2 a 2 11 a b + 5 b 2

Wil je meer oefenen met ontbinden, ga naar de site van AlgebraKiT en kies niveau 1 of niveau 2.

Toepassingen
15

In de bioscoopzaal Carré is het aantal stoelen in een rij net zo groot als het aantal rijen. De zaal Carolus is langer en smaller: er zijn vijf rijen meer dan in Carré, maar in elke rij staan er vier stoelen minder.
We noemen het aantal rijen in Carré x .

a

Druk het aantal plaatsen in Carré uit in x .

b

Druk het aantal rijen in Carolus uit in x .
Druk het aantal stoelen op een rij in Carolus uit in x .

Nu is bovendien gegeven dat er in de bioscoopzalen evenveel plaatsen zijn.

c

Welke vergelijking voor x volgt hieruit?

d

Los deze vergelijking op.

e

Hoeveel plaatsen zijn er in elk van de zalen?

16

In het plaatje staan twee vierkanten. Het linker vierkant is 4 bij 4 hokjes en telt dus 16 hokjes. Door een aantal hokjes te kleuren, is in dit vierkant de letter Z aangeven.
Een mooiere letter Z krijg je als je begint met een vierkant van 8 bij 8 hokjes. Dan bestaat het vierkant uit 64 hokjes. Op deze manier worden op het scherm van een computer letters en cijfers aangegeven.

a

Hoeveel hokjes blijven er wit als je op deze manier de letter Z aangeeft in een vierkant van 8 bij 8 hokjes?
En in een vierkant van 32 bij 32 hokjes?

Het aantal hokjes dat wit blijft als je de letter Z aangeeft in een vierkant, kun je op twee manieren berekenen.

  • Je berekent het totaal aantal hokjes en trekt daar het aantal gekleurde hokjes vanaf.

  • Je let niet op de bovenste en de onderste rij van het vierkant; dat zijn allemaal gekleurde hokjes. Dan doe je: aantal rijen maal aantal witte hokjes per rij.

b

Bereken op deze twee manieren het aantal hokjes dat wit blijft in een vierkant van 64 bij 64 hokjes.

In het plaatje is in een vierkant van n bij n hokjes de letter Z aangegeven.

c

Schrijf op de twee manieren het aantal hokjes op dat wit blijft. Laat haakjes in je antwoord gewoon staan.

d

Welke gelijkheid vind je?

e

Werk de haakjes uit en controleer of de gelijkheid klopt.

17

De supporters van de club D.D.Z.Z. hebben een contract afgesloten met een firma in Didam. Naar elke uitwedstrijd worden in elk geval 30 supporters vervoerd. Die 30 fans betalen dan 6 euro per persoon. Voor elke persoon die er meer meegaat, wordt de prijs voor iedereen met 5 eurocent verlaagd. Deze regeling geldt voor maximaal 50 personen; dan is de bus vol.

a

Ga na dat de bus 220 euro kost als er 10 supporters extra meegaan.

b

Bereken de totale prijs als er 5 supporters extra meegaan.
Bereken de totale prijs ook als er 17 supporters extra meegaan.

c

Wat is de totale prijs als er n supporters extra meegaan? Schrijf de formule met haakjes en ook zonder haakjes.

d

Wat is volgens de formule de totale prijs bij een volle bus (50 personen)?

18
19

Boer Berends - uit het hoofdstuk Vergelijkingen - had een vierkante akker. Het oostelijke deel van die akker, een strook van 10 meter breed, heeft hij moeten afstaan vanwege de aanleg van een weg. Je ziet dat in de linker tekening.

In plaats van die oostelijke strook krijgt hij er aan de zuidkant een andere strook bij. Die strook is 12 meter breed. Dat zie je in de rechter tekening. De akker van boer Berends is nu rechthoekig geworden, maar de oppervlakte is hetzelfde gebleven. Uit deze gegevens kunnen we de afmetingen van de akker berekenen. We noemen de lengte van de oude akker x  meter.

a

Wat zijn de afmetingen van de nieuwe akker van Berends?

b

Hoe groot is de oppervlakte van de oorspronkelijke vierkante akker?
En van de rechthoekige akker?

c

Welke vergelijking kun je nu opstellen?

d

Los die vergelijking op.

e

Wat zijn de afmetingen van de nieuwe akker?

18s
19s

De boeren Hoogakker en Van Galen hebben elk een rechthoekig stuk weiland waarvan de lengte tweemaal zo groot is als de breedte. De weilanden zijn even groot.
Beide boeren graven een sloot om hun weiland; na een regenbui blijft het land dan minder drassig. Hoogakker maakt sloten van 1 meter breed langs de lange kant en sloten van 1,5  meter breed langs de korte kant.
Van Galen graaft sloten van 0,5  meter breed langs de lange kant en 2,5  meter breed langs de korte kant.

We willen weten welke boer het meeste grasland overhoudt. We noemen de breedte van de oorspronkelijke stukken weiland x (in meters).

a

Wat zijn de afmetingen van het weiland van Hoogakker dat overblijft na het graven van de sloten?

b

Wat zijn de afmetingen van het weiland van Van Galen dat overblijft?

c

Wat is de oppervlakte van het stuk weiland dat Hoogakker na het graven van zijn sloten nog over heeft? Schrijf je antwoord zonder haakjes.

d

Dezelfde vraag voor het weiland van Van Galen.

e

Wie van de twee houdt het meeste weiland over? Hoeveel meer?