1

a

Met de sinusregel: $\frac{\sin (45 °)}{c} = \frac{\sin (75 °)}{3} \Leftrightarrow c = \frac{3 \sin (45 °)}{\sin (75 °)} = 2,2$ ;
$\frac{\sin (60 °)}{a} = \frac{\sin (75 °)}{3} \Leftrightarrow a = \frac{3 \sin (60 °)}{\sin (75 °)} = 2,7$

b

Met de cosinusregel: $P C^{2} = 3^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos (120 °) = 19$ , dus $P C = \sqrt{19}$ .

c

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin (120 °) =$ $1 \frac{1}{2} \sqrt{3}$

2

Zeg, de zijden van het vierkant hebben lengte $x$ . Dan heeft een van de twee 'kleinere' driehoeken zijden $a - x$ en $x$ . Uit gelijkvormigheid volgt: $\frac{a}{b} = \frac{a - x}{x} \Leftrightarrow a x = a b - b x \Leftrightarrow x = \frac{a b}{a + b}$ .

3

a

Noem $B D = x$ en pas de cosinusregel toe in driehoek $A B D$ :
$5^{2} = x^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot x \cdot \cos (60 °)$ geeft: $x = 2 + \sqrt{13}$ .

b

Hoek $A D B$ noemen we α.
De cosinusregel in driehoek $A D B$ geeft:
$16 = 25 + {(2 + \sqrt{13})}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot (2 + \sqrt{13}) \cos (α)$ , dus $\cos (α) = 0,72...$ , dus $α = 44 °$ , dus de gevraagde hoek is $136 °$ .
Of met de sinusregel: $\frac{\sin (α)}{4} = \frac{\sin (60 °)}{5}$ $\to$ $\sin (α) = \frac{4}{5} \cdot \sin (60 °) = 0,6928...$ $\to$ $α = 44 °$

4

Volgens Thales: de hoeken bij $D$ en $E$ zijn recht, dus driehoeken $A B D$ en $A C E$ zijn gelijkvormig;
$\frac{A B}{16} = \frac{A B + 30}{40}$ $\to$ $A B = 20$ .

5

a

De oppervlakte van driehoek $C P Q = \frac{1}{4}$ dus $\frac{1}{2} \cdot C P \cdot x_{Q} = \frac{1}{4}$ $\to$ $x_{Q} = \frac{1}{2 x}$ $\to$ $y_{Q} = 1 - x_{Q} = 1 - \frac{1}{2 x}$ ;
$P (0,1 - x)$ en $Q (\frac{1}{2 x},1 - \frac{1}{2 x})$ geeft $P Q^{2} = {(\frac{1}{2 x})}^{2} + {(1 - x - (1 - \frac{1}{2 x}))}^{2} = ... = x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} - 1$ ; dus $P Q$ is minimaal als $x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} - 1$ minimaal is.

b

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x^{3}} = 0$ $\to$ $x^{4} = \frac{1}{2}$ $\to$ $x = \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$ ;
$P Q^{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{2}}} - 1 = \sqrt{2} - 1$ , dus $P Q$ is minimaal $\sqrt{\sqrt{2} - 1}$ .

6

$D P = D C = \sqrt{2}$ ; $∠ A D P = 45 ° = ∠ P D C$ en driehoek $D P C$ is gelijkbenig, dus $∠ D P C = ∠ D C P = \frac{1}{2} \cdot (180 ° - 45 °) = 67 \frac{1}{2} °$ $\to$ $∠ B C P = 22 \frac{1}{2} °$ ;
$P B = \sqrt{2} - 1$ en $B C = 1$ , dus $\tan (∠ B C P) = \tan (22 \frac{1}{2} °) = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$ .

7

Volgens de stelling van Thales is $A B$ middellijn van de cirkel waar $D$ op ligt, en evenzo van de cirkel waar $E$ op ligt. Dus $M$ is het midden van deze cirkel waar $A$ , $B$ , $D$ en $E$ op liggen; $M D = M E =$ straal, dus zijn even lang.

8

We nemen de straal van de cirkel als eenheid en we noemen $D B = x$ . Dan volgt uit het feit dat de twee raaklijnstukken vanuit een punt aan een cirkel even lang zijn, dat de zijden van de driehoek $x + 1$ , $x + 3$ en $4$ zijn. Uit de stelling van Pythagoras volgt:
${(x + 1)}^{2} + 4^{2} = {(x + 3)}^{2} \Leftrightarrow x = 2$ .
Dus de zijden van de driehoek verhouden zich als $3 : 4 : 5$ .

9

Zie figuur hierboven rechts.
Noem de straal $r$ en de afstand van het middelpunt tot de verticale lijn $x$ . Maak twee rechthoekige driehoeken, zie figuur (eentje voor duidelijkheid rechts getekend).
$x^{2} + 10^{2} = r^{2}$ en ${(x + 2)}^{2} + 6^{2} = r^{2}$
$\to$ ${(x + 2)}^{2} + 36 = x^{2} + 100$ $\to$ $x = 15$
$\to$ $r = \sqrt{325} = 5 \sqrt{13}$