16.6  Transformaties en symmetrie >
Functies transformeren

Gegeven een functie f .

  • Neem aan: g ( x ) = f ( a x ) met a 0 .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f horizontaal met 1 a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = a f ( x ) .
    De grafiek van g krijg je dan door de grafiek van f verticaal met a te vermenigvuldigen.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x + a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar links te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x a ) met a > 0 .
    Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar rechts te schuiven.

  • Neem aan: g ( x ) = f ( x ) + a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar boven te schuiven.
    Neem aan: g ( x ) = f ( x ) a met a > 0 . Je krijgt de grafiek van g door de grafiek van f a eenheden naar beneden te schuiven.

De grafiek van een functie en die van zijn inverse functie vormen elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x .
Een functie f en zijn inverse functie g neutraliseren elkaars werking, dat wil zeggen:
x f ( x ) = u g ( u ) = x en x g ( x ) = s f ( s ) = x .
De inverse functie van een functie f noteren we wel als f 1 of f inv .

Voorbeeld:

In de figuur hiernaast is de grafiek van de functie
f : x x 2 3 + 1 en zijn inverse g getekend.
Er geldt:
f : x Min 2 [Derdemachtswortel] [Plus 1 ] f ( x ) , dus g : x [Min 1 ] [Tot de derde] [Plus 2 ] g ( x ) , dus
g ( x ) = ( x 1 ) 3 + 2

De grafiek van f ontstaat uit die van de 3 -functie door:
2 eenheden naar rechts te schuiven en 1 omhoog.

Opmerking:

Let op!
Als je twee horizontale of twee verticale transformaties achter elkaar uitvoert, is de volgorde van belang.

Voorbeeld:

Gegeven is de functie f met f ( x ) = x 2 .
Als je grafiek van de functie eerst 1 eenheid omhoog schuift en vervolgens verticaal met 2 vermenigvuldigt, krijg je de grafiek van de functie g met g ( x ) = 2 x 2 + 2 .
Als je eerst verticaal met 2 vermenigvuldigt en vervolgens 1 eenheid omhoog schuift, krijg je de grafiek van de functie h met h ( x ) = 2 x 2 + 1 .

1

Gegeven is de functie f : x 2 x + 2 .
De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van de -functie door een verticale vermenigvuldiging en een horizontale verschuiving.

a

Welke?

De grafiek van f ontstaat ook uit de grafiek van de -functie door eerst horizontaal te vermenigvuldigen en daarna horizontaal te verschuiven.

b

Hoe?

De grafiek van f ontstaat ook uit de grafiek van de -functie door eerst horizontaal te verschuiven en daarna horizontaal te vermenigvuldigen.

c

Hoe?

d

Geef een formule voor de inverse functie van f .

2

De functie f met f ( x ) = 1 2 x 2 + 2 x is niet inverteerbaar, dat wil zeggen heeft geen inverse functie.

a

Waarom niet?

Het domein van f kun je in twee stukken verdelen waarop f wel een inverse heeft.

b

Hoe bijvoorbeeld?

c

Geef op elk van de stukken een formule voor de inverse functie. (Controleer met de GR.)

(hint)
Splits het kwadraat af.
Opmerking:

Een functie is niet inverteerbaar als een uitvoer meer dan één keer voorkomt.

3

We bekijken de functies sin, cos en tan. Geen van drieën is inverteerbaar.

a

Wat is het grootst mogelijke domein met het getal 0 waarop de sinus-functie inverteerbaar is? En de tangens-functie?

Bij de cosinus-functie heb je twee mogelijkheden voor het grootst mogelijke domein met het getal 0 waarop de functie inverteerbaar is.

b

Welke?

Opmerking:

Als domein waarop de sinus-, cosinus- en tangens-functie geïnverteerd worden, neemt de GR achtereenvolgens [ 1 2 π , 1 2 π ] , [ 0 ] en 1 2 π , 1 2 π .

4

De grafiek van de functie f ontstaat uit de grafiek van de functie y = e x door 1 eenheid naar links te schuiven en verticaal met 3 te vermenigvuldigen.

a

Geef een formule voor f ( x ) .

De grafiek van f wordt gespiegeld in de lijn y = x . Je krijgt de grafiek van de functie g .

b

Geef een formule voor g ( x ) .

5

De grafiek van de functie f , met f ( x ) = ( x + 1 ) 2 2 wordt gespiegeld in de lijn y = 1 , zie de figuur links. Je krijgt de grafiek van de functie g .

a

Geef een formule voor g ( x ) .

De grafiek van h krijg je door die van f te spiegelen in het punt P ( 1, 1 ) , zie de figuur midden.

b

Geef een formule voor h ( x ) .

Gegeven is de functie p met p ( x ) = x 3 3 x .
Als je de grafiek van p spiegelt in de lijn y = 1 , krijg je de grafiek van de functie q , zie de figuur rechts.

c

Geef een formule voor q ( x ) .

Krommen transformeren
Parameterkrommen transformeren

Verschuiven over de vector ( a b ) :

( x , y ) ( x + a , y + b )

Vermenigvuldigen ten opzichte van de x -as met factor p :

( x , y ) ( x , p y )

Vermenigvuldigen ten opzichte van de y -as met factor p :

( x , y ) ( p x , y )

Puntvermenigvuldigen ten opzichte van O met factor p :

( x , y ) ( p x , p y )

Spiegelen in de x -as:

( x , y ) ( x , y )

Spiegelen in de y -as:

( x , y ) ( x , y )

Spiegelen in de lijn y = x :

( x , y ) ( y , x )

Spiegelen in de lijn y = x :

( x , y ) ( y , x )

Spiegelen in O ( 0,0 )

( x , y ) ( x , y )

6

De kromme K heeft pv ( x , y ) = ( t + 1 t ,1 1 t ) .
De kromme L ontstaat uit K door horizontaal met 1 2 te vermenigvuldigen.

a

Geef een pv van L . Controleer je antwoord met de GR.

De kromme M ontstaat uit K door te spiegelen in de lijn y = x .

b

Geef een pv van M . Controleer je antwoord met de GR.

Voor punten ( x ( t ) , y ( t ) ) van de kromme K geldt: x ( t ) = x ( t ) en y ( t ) = y ( t ) .

c

Wat betekent dat voor K ?

d

Hoe bewijs je dat K symmetrisch is in de x -as?

Vergelijking aanpassen

Gegeven een figuur waarvan je een vergelijking kent.
Om een vergelijking van de beeldfiguur te krijgen vervang je in de vergelijking van het origineel:

  • x door x a en y door y b bij verschuiving over de vector ( a b ) .

  • x door 1 p x bij horizontale vermenigvuldiging met p en
    y door 1 p y bij verticale vermenigvuldiging met p .

  • y door x en x door y bij spiegelen in de lijn y = x en
    y door x en x door y bij spiegelen in de lijn y = x .

Voorbeeld:

Als je de parabool met vergelijking y = x 2 verschuift over de vector ( 2 3 ) , krijg je de parabool met vergelijking
y 3 = ( x 2 ) 2 , dus met vergelijking y = ( x 2 ) 2 + 3 .

Voorbeeld:

Je kunt bovenstaande ook gebruiken om een formule voor de inverse functie te vinden, want de inverse is het beeld na spiegeling in de lijn y = x .
In opgave 63b heb je een formule voor de inverse functie van
y = 3 e x + 1 bepaald.
Een vergelijking voor de inverse functie is dus: x = 3 e y + 1 .
Om hieruit een formule voor de inverse functie te vinden, moet je de vergelijking nog schrijven in de vorm: y = .
Dat gaat zo.

x

=

3 e y + 1

deel beide kanten door 3

x 3

=

e y + 1

Neem van beide kanten de ln .

y + 1

=

ln ( x 3 )

Trek aan beide kanten 1 af.

y

=

ln ( x 3 ) 1

7

Gegeven is het verband y = 2 x 2 + 4 x 3 .
De grafiek is hiernaast getekend met zijn spiegelbeeld in de lijn y = x .
Het verband voor punten ( x , y ) van het spiegelbeeld is
x = 2 y 2 + 4 y 3 .

Druk voor de punten van het spiegelbeeld y uit in x , als volgt:
y = ± .

(hint)
Splits kwadraat af of gebruik de a b c -formule
Opmerking:

Gegeven is de functie f : x 2 x 2 + 4 x 3 .
Uit de vorige opgave volgt:
als x > 1 , dan f 1 ( x ) = 1 + 1 2 x + 2 1 2 ,
als x < 1 , dan f 1 ( x ) = 1 1 2 x + 2 1 2 .
Vergelijk dat met wat je in opgave 61 hebt gedaan.

8

Gegeven is de functie f met f ( x ) = x + 1 x .

Bepaal een formule voor f 1 ( x ) .

9

Gegeven is de kromme met de volgende parametervoorstelling:
{ x ( t ) = 2 1 t y ( t ) = t 2 + 1 t

Een vergelijking van de kromme is y = 2 x + 1 ( 2 x ) 2 .

a

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

(hint)

Schrijf met de formule voor de x -coördinaat eerst t = ... en vul dit bij de y -coördinaat in.

b

Bereken de vergelijkingen van de twee asymptoten van de kromme.

De kromme wordt eerst verschoven over de vector ( 4 3 ) en daarna horizontaal vermenigvuldigd ten opzichte van de y -as met factor 3 .

c

Geef een vergelijking en parametervoorstelling van de beeldfiguur. (Je hoeft niet te vereenvoudigen.)

We kunnen dezelfde beeldfiguur ook krijgen door eerst een vermenigvuldiging en daarna een translatie uit te voeren.

d

Welke vermenigvuldiging en translatie zijn dat?