De twee punten zijn: $\left(a\sqrt{a}-2a,a\right)$ en $\left(\mathrm{‐}a\sqrt{a}-2a,a\right)$. De afstand van de twee punten is het verschil van de $x$-coördinaten, dus $2a\sqrt{a}$, dus $a\sqrt{a}=3$ en $a=\sqrt[3]{9}$.

Vul voor de parameter $t=\sqrt{a}$ in $\left(t^3-2t,t^2\right)$ in.

De "linkertak" tot aan de oorsprong, dus de punten $\left(t^3-2t,t^2\right)$ met $t<0$.

Vul voor $t=\mathrm{‐}\sqrt{a}$ in de pv van $K$ in.
Dat je alle punten krijgt volgt uit het feit dat als $t^2=a$, dan $t=\pm \sqrt{a}$.

De snelheidsvectoren zijn $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\sqrt{t}-2\\ 1\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}1\frac{1}{2}\sqrt{t}-2\\ 1\end{array}\right)$, dus in $O\left(\mathrm{0,0}\right)$ beide $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ 1\end{array}\right)$.

$\underset{t\downarrow \mathrm{‐}2}{\lim }x(t)=\infty$ en $\underset{t\downarrow \mathrm{‐}2}{\lim }y(t)=4$.
De lijn $y$ is horizontale asymptoot van de baan.

Gezien de $y$-coördinaat gebeurt dit op tegengestelde tijdstippen, zeg $t$ en $\mathrm{‐}t$.
Dan $\frac{2t^2+3t}{t+2}=\frac{2{\left(\mathrm{‐}t\right)}^2-3t}{\mathrm{‐}t+2}\iff t=0\text{ of }t=\pm \sqrt{3}$.
Dus de tweede coördinaat is $3$.
De eerste coördinaat is $x\left(\sqrt{3}\right)=\frac{6+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=3$ (of: $x\left(\mathrm{‐}\sqrt{3}\right)=\frac{6-3\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=3$).

$x=0\iff t=0\text{ of }t=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$, dus het andere punt wordt op $t=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$ bereikt en is dus $\left(\mathrm{0,2}\frac{1}{4}\right)$; $x^{\prime }\left(t\right)=\frac{2t^2+8t+6}{{\left(t+2\right)}^2}$ en $y^{\prime }\left(t\right)=2t$, dus de helling van de raaklijn is: $\frac{y^{\prime }\left(\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\right)}{x^{\prime }\left(\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{2}$, dus een vergelijking van de raaklijn is: $y=\frac{1}{2}x+2\frac{1}{4}$.

$x(t)=x(\mathrm{‐}t)$ en $y(\mathrm{‐}t)=\mathrm{‐}y(t)$, dus als $(x,y)$ op de baan ligt, dan ook $(x,\mathrm{‐}y)$.

$\underset{t\uparrow \frac{1}{2}\text{π}}{\lim }x(t)=\mathrm{‐}1$ en $\underset{t\uparrow \frac{1}{2}\text{π}}{\lim }y(t)=\infty$, dus $x=\mathrm{‐}1$ is verticale asymptoot

$y^2+1={\tan }^2\left(t\right)+1=\frac{1}{{\cos }^2\left(t\right)}$ en $\frac{2}{x+1}=\frac{2}{\cos (2t)+1}=\frac{2}{2{\cos }^2(t)}=\frac{1}{{\cos }^2(t)}$, klopt dus.

De baan snijdt de $x$-as behalve in $O$ op $t=0$ ook op $t=\mathrm{‐}2$. De helling van de raaklijn is $\frac{y^{\prime }\left(\mathrm{‐}2\right)}{x^{\prime }\left(\mathrm{‐}2\right)}=$ $\frac{\mathrm{‐}2}{\mathrm{‐}6}=$ $\frac{1}{3}$, de hoek is dus ${\tan }^{\mathrm{‐}1}\left(\frac{1}{3}\right)=18°$.

$\left(x_Q\left(t\right),y_Q\left(t\right)\right)=\left(x_P\left(t+1\right),y_P\left(t+1\right)\right)=$ $\left(t^2-\mathrm{1,}{t}^2+4t+3\right)$

$PQ=\sqrt{{\left(x_Q-x_P\right)}^2+{\left(y_Q-y_P\right)}^2}$ $=\sqrt{8t^2+8t+10}=$ $\sqrt{8{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+8}$, dus minimaal als $t=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$.

Dan $x^{\prime }\left(t\right)=0$ en $y^{\prime }\left(t\right)\ne 0$, dus $\sin \left(t\right)=1$, dus $t=\frac{1}{2}\text{π}$, $t=2\frac{1}{2}\text{π}$.

Dan $x^{\prime }\left(t\right)=y^{\prime }\left(t\right)\ne 0$, dus $1-\sin \left(t\right)=1+\cos \left(t\right)$, dus $\tan \left(t\right)=\mathrm{‐}1$, dus $t=\frac{3}{4}\text{π}$, $t=1\frac{3}{4}\text{π}$.