16.3 Limieten, perforaties en asymptoten >

Hiernaast is de grafiek van een functie $f$ getekend.
Er geldt: $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 2$ , dus de lijn $y = 2$ is horizontale asymptoot van de grafiek van $f$ .
Er geldt: $\lim_{x ↓ 1} f (x) = \infty$ , dus de lijn $x = 1$ is verticale asymptoot van de grafiek van $f$ .
$\lim_{x ↑ ‐ 1} f (x) = ‐ \infty$ dus de lijn $x = ‐ 1$ is verticale asymptoot van de grafiek van $f$ .

Als $t$ en $n$ bijvoorbeeld veeltermfuncties zijn en $t (a) \neq 0$ en $n (a) = 0$ , dan $\lim_{x ↓ a} \frac{t (x)}{n (x)} = \infty$ of $\lim_{x ↓ a} \frac{t (x)}{n (x)} = ‐ \infty$ en
$\lim_{x ↑ a} \frac{t (x)}{n (x)} = \infty$ of $\lim_{x ↑ a} \frac{t (x)}{n (x)} = ‐ \infty$ .
Als $t (a) = n (a) = 0$ , moet je nader onderzoek doen. De grafiek kan een perforatie hebben.

Voorbeeld:

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{x^{3} - 4 x}{x^{3} - 2 x^{2}}$ . Hiernaast staat de grafiek.
Voor $x = 0$ en $x = 2$ zijn zowel $x^{3} - 4 x$ als $x^{3} - 2 x^{2}$ gelijk aan $0$ .
Er geldt: $f (x) = \frac{x (x - 2) (x + 2)}{x^{2} (x - 2)}$ als $x \neq 0$ en $x \neq 2$ .
Dus $\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x} = 2$ , dus de grafiek van $f$ heeft een perforatie $P (2,2)$ .
$\lim_{x ↓ 0} f (x) = \lim_{x ↓ 0} \frac{x + 2}{x} = \infty$ en $\lim_{x ↑ 0} f (x) = \lim_{x ↑ 0} \frac{x + 2}{x} = ‐ \infty$ , dus de grafiek van $f$ heeft een verticale asymptoot $x = 0$ .

Voorbeeld
Gegeven is de functie $g : x \to \frac{x^{2} - x}{x - | x - 2 |}$ .
Als $x > 2$ , dan $g (x) = \frac{1}{2} (x^{2} - x)$ .
Als $x \leq 2$ , dan $g (x) = \frac{x (x - 1)}{2 (x - 1)} = \frac{1}{2} x$ als $x \neq 1$ .
Dus $\lim_{x \to 1} g (x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}$ .
De grafiek van $g$ (hiernaast getekend) heeft perforatie $(1, \frac{1}{2})$ .

Voor elke waarde van $a$ is $f_{a}$ de functie met $f_{a} (x) = \frac{a x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ .

Voor welke waarde van $a$ heeft de grafiek van $f_{a}$ slechts één verticale asymptoot?
Welk punt is in dat geval perforatie?

Voor welke waarde van $a$ is de lijn $y = 2$ horizontale asymptoot?

Bepaal van de volgende functies de horizontale en verticale asymptoten en de perforaties. Schrijf de bijbehorende limieten op.

$f : x \to \frac{2 x + 1}{x - 1}$	$g : x \to \frac{2 x + 1}{\| x - 1 \|}$
$h : x \to \frac{x - 3}{x^{2} - 9}$	$k : x \to \frac{\| x \| - 3}{x^{2} - 9}$

Met exponentiële en logaritmische functies

Standaardlimieten

In de figuur links staan de grafieken van twee standaard-exponentiële functies.
Als $g > 1$ , dan $\lim_{x \to ‐ \infty} g^{x} = 0$ , $\lim_{x \to \infty} g^{x} = \infty$ .
Als $0 < g < 1$ , dan $\lim_{x \to ‐ \infty} g^{x} = \infty$ , $\lim_{x \to \infty} g^{x} = 0$ .
De $x$ -as is horizontale asymptoot van de grafiek van $y = g^{x}$ .
In de figuur rechts staan de grafieken van twee standaard-logaritmische functies.
De functie $y =^{g} \log x$ is de standaard-logaritmische functie met grondtal $g$ , met $0 < g < 1$ of $g > 1$ .
Als $0 < g < 1$ , dan $\lim_{x ↓ 0} {}^{g} \log x = \infty$ , $\lim_{x \to \infty} {}^{g} \log x = ‐ \infty$ .
Als $g > 1$ , dan $\lim_{x ↓ 0} {}^{g} \log x = ‐ \infty$ , $\lim_{x \to \infty} {}^{g} \log x = \infty$ .
De $y$ -as is verticale asymptoot.

Voorbeeld:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} + 2}{2^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{‐ x + 1}}{1} = \frac{1 + 0}{1} = 1$
$\lim_{x \to ‐ \infty} \frac{2^{x} + 2}{2^{x}} = \infty$
$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} + 2}{2^{x + 1} + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{‐ x + 1}}{2 + 2^{‐ x}} = \frac{1 + 0}{2 + 0} =$ $\frac{1}{2}$
$\lim_{x \to ‐ \infty} \frac{2^{x} + 2}{2^{x + 1} + 1} = \frac{0 + 2}{0 + 1} = 2$
$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{‐ x} + 2}{3^{‐ x + 1} + 1} = \frac{0 + 2}{0 + 1} = 2$
$\lim_{x \to ‐ \infty} \frac{2^{‐ x} + 2}{3^{‐ x + 1} + 1} = \lim_{x \to ‐ \infty} \frac{{1,5}^{x} + 2 \cdot 3^{x}}{3 + 3^{x}} = \frac{0 + 0}{3 + 0} = 0$
$\lim_{x ↓ 0} \frac{\ln (x) + 1}{2 \cdot \ln (x) - 1} = \lim_{x ↓ 0} \frac{1 + \frac{1}{\ln (x)}}{2 - \frac{1}{\ln (x)}} = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$

In het derde voorbeeld is bij de eerste stap teller en noemer gedeeld door $2^{x}$ ,
in het zesde voorbeeld is bij de eerste stap teller en noemer vermenigvuldigd met $3^{x}$ ,
merk bij het zevende voorbeeld op: als $x ↓ 0$ , dan $\ln (x) \to ‐ \infty$ .

Hiernaast is de grafiek van $f (x) = \frac{e^{x} + 4}{e^{x} - 2}$ getekend. Je ziet dat de grafiek drie asymptoten heeft.

Geef een vergelijking van de asymptoten en schrijf de bijbehorende limieten op.

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{2 \ln (x) + 1}{\ln (x) - 1}$ .

Bepaal het domein van $f$ .
Controleer je antwoord door de grafiek op de GR te tekenen.

Bepaal de twee asymptoten van de grafiek van $f$ ; schrijf bijbehorende limieten op.

Er gebeurt iets bijzonders met de functie bij $x = 0$ : de functiewaarde bestaat niet, maar $\lim_{x ↓ 0} f (x)$ bestaat wel.
Het is een open randpunt. (Je zou het ook een perforatie kunnen noemen, maar dat is een beetje vreemd omdat het zich aan de rand bevindt.)

Bepaal met een limiet de coördinaten van dit bijzondere punt.

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x} - 1}$ .

Bepaal de vergelijking van de horizontale asymptoot.

Toon aan dat de grafiek een perforatie heeft en bereken exact de coördinaten van de perforatie.

Scheve asymptoten

Sommige functies hebben een scheve asymptoot. We geven een definitie.

De functie $f$ heeft de lijn $y = a x + b$ als scheve asymptoot als $\lim_{x \to \infty} (f (x) - (a x + b)) = 0$ of $\lim_{x \to ‐ \infty} (f (x) - (a x + b)) = 0$ .

Voorbeeld:

Neem de functie $f (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - 3}{x + 3}$ .
Je kunt in de teller geforceerd de factor $x + 3$ buiten haakjes halen, ook al past dat niet helemaal. Ga na:
$f (x) = \frac{(x + 3) \cdot (4 x - 8) + 21}{x + 3} = \frac{(x + 3) \cdot (4 x - 8)}{x + 3} + \frac{21}{x + 3}$
dus $f (x) = 4 x - 8 + \frac{21}{x + 3}$ .
Er geldt blijkbaar: $f (x) - (4 x - 8) = \frac{21}{x + 3}$ .
Omdat $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{21}{x + 3} = 0$ is de lijn $y = 4 x - 8$ scheve asymptoot van de grafiek van $f$ .

Bereken de scheve asymptoot van $f (x) = \frac{6 x^{2} - 4 x + 2}{3 x + 1}$ .

Bereken de scheve asymptoot van $g (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 2}$ .

Bereken de scheve asymptoot van $h (x) = \frac{{(x + 3)}^{3}}{3 x^{2}}$ .

Voor elke waarde van

a

is de functie

f_{a} (x) = \frac{x^{2} + a x + 2}{x + 1}

gegeven.

Bereken de waarde van $a$ als de lijn $y = x - 3$ de scheve asymptoot is.

Er is één waarde van

a

waarvoor de grafiek van

f_{a}

geen scheve asymptoot heeft, maar een perforatie.

Bereken deze waarde van $a$ en de coördinaten van de perforatie.

Voor elke waarde van $a$ is gegeven de functie
$f_{a} (x) = \frac{(x - a) \cdot (2 x^{2} + 4 x)}{x^{2} - 9}$ .

Stel een vergelijking op van elk van de asymptoten van de grafiek van $f_{6}$ .

Voor welke waarde(n) van $a$ heeft de grafiek een perforatie? Bereken exact de coördinaten van de perforatie(s).

Hiernaast is de grafiek van de functie $f : x \to \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ getekend.

Wat is het domein van de functie?

Bereken langs algebraïsche weg $\lim_{x \to \infty} f (x)$ , $\lim_{x \to ‐ \infty} f (x)$ en $\lim_{x ↓ 1} f (x)$ .

Voor een negatief getal $a$ geldt: $\sqrt{a^{2}} = ‐ a$ , dus voor $x < ‐ 1$ geldt:
$\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = ‐ \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$ .

Leg dat uit.

Bereken nu langs algebraïsche weg $\lim_{x ↑ ‐ 1} f (x)$ .