1

a

De figuur op de volgende bladzijde bestaat uit drie gelijkvormige rechthoekige driehoeken.
$a = \cos (α)$ , $b = \sin (α)$ , $c = \sin (β) \cdot b = \sin (α) \cdot \sin (β)$ , $d = \cos (β) \cdot b = \sin (α) \cdot \cos (β)$ , $e = a \cdot \sin (β) = \cos (α) \cdot \sin (β)$ , $f = a \cdot \cos (β) = \cos (α) \cdot \cos (β)$ .

figuur bij opgave 9

b

Zie figuur. Bijvoorbeeld $\cos (α + β) = f - c = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)$ , enzovoort.

2

$x = \sqrt{2} \cdot \cos (t)$ , $y = \sqrt{2} \cdot \sin (t)$ zijn de bewegingsvergelijkingen van een punt over de gegeven cirkel. Neem aan dat $P$ bereikt wordt op tijdstip $a$ , dan wordt $Q$ bereikt op tijdstip $a + \frac{2}{3} π$ . Er geldt: $\cos (a) = \sin (a) =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $x_{Q} = \sqrt{2} \cdot \cos (a + \frac{2}{3} π) =$ $\sqrt{2} \cdot (\cos (a) \cos (\frac{2}{3} π) - \sin (a) \sin (\frac{2}{3} π)) =$ $= ‐ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$ en
$y_{Q} = \sqrt{2} \cdot \sin (a + \frac{2}{3} π) =$ $\sqrt{2} \cdot (\sin (a) \cos (\frac{2}{3} π) + \cos (a) \sin (\frac{2}{3} π)) =$ $‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .
$R$ wordt bereikt op tijdstip $t = a - \frac{2}{3} π$ , dus $x_{R} = \sqrt{2} \cdot \cos (a - \frac{2}{3} π) =$ $\sqrt{2} \cdot (\cos (a) \cos (\frac{2}{3} π) + \sin (a) \sin (\frac{2}{3} π)) =$ $‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$ en
$y_{R} = \sqrt{2} \cdot \sin (a - \frac{2}{3} π) =$ $\sqrt{2} \cdot (\sin (a) \cos (\frac{2}{3} π) - \cos (a) \sin (\frac{2}{3} π)) =$ $‐ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

3

a

De hoogte van de rechthoek is $2 \sin (t)$ en de breedte $2 \cos (t)$ , dus de oppervlakte is: $4 \sin (t) \cos (t) = 2 \sin (2 t)$ volgens formule 16.

b

Als $\sin (2 t) = 1$ , dus als $t = \frac{1}{4} π$ .

4

a

$x_{P} = \sin (t)$ , dus $‐ 1 \leq x_{P} \leq 1$ en $x_{Q} = 3 \sin (t)$ , dus $‐ 3 \leq x_{P} \leq 3$ ; hieruit volgt dat de grote ellips bij $Q$ hoort en de kleine bij $P$ .

b

$6 \cos (t) = 1 + 4 \cos (t)$ $\to$ $\cos (t) = \frac{1}{2}$ $\to$ ;
tussen $0$ en $\frac{1}{2} π$ is de enige oplossing $t = \frac{1}{3} π$ .

c

De lengte van $P Q$ is $\sqrt{{(3 \sin (t) - \sin (t))}^{2} + {(6 \cos (t) - 4 \cos (t))}^{2}}$ $= \sqrt{4 \sin^{2} (t) + 4 \cos^{2} (t)}$ $= \sqrt{4 (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))} = \sqrt{4} = 2$ (voor elke $t$ )

5

a

-

b

${\begin{cases} x = \sqrt{2} \cos (t - \frac{1}{4} π) \\ y = \sqrt{2} \sin (t - \frac{1}{4} π) \end{cases}$ , dus $a = b = 0$ , $r = \sqrt{2}$ , $ω = 1$ en $ϕ = ‐ \frac{1}{4} π$

c

$\sqrt{2} \cos (t - \frac{1}{4} π) = \sqrt{2} (\cos (t) \cos (\frac{1}{4} π) + \sin (t) \sin (\frac{1}{4} π)) =$
$\cos (t) + \sin (t)$ en $\sqrt{2} \sin (t - \frac{1}{4} π) = \sqrt{2} (\sin (t) \cos (\frac{1}{4} π) - \cos (t) \sin (\frac{1}{4} π)) = \cos (t) - \sin (t)$ .

d

$2 \cos (‐ 2 t) + 2 = 2 (2 \cos^{2} (t) - 1) + 2 = 4 \cos^{2} (t)$ volgens formule 16;
$2 \cos (\frac{1}{2} π + 2 t) = 2 \sin (‐ 2 t)$ , dus het is de cirkelbeweging met $a = 2$ , $b = 0$ , $ω = ‐ 2$ en $ϕ = 0$ .

6

(Telkens geldt $k$ geheel.)

$x = \frac{3}{8} π + k \cdot π$	$x = ‐ \frac{1}{8} π + k \cdot π$
$x = \frac{1}{8} π + k \cdot π$	$x = ‐ \frac{3}{8} π + k \cdot π$
geen oplossing	$x = \pm 1,37 + k \cdot 2 π$
$x = ‐ \frac{1}{3} π + k \cdot π$	(deel door $\cos (x)$ : $x = ‐ 1,11 + k \cdot π$

7

Van links naar rechts, van boven naar beneden (telkens geldt $k$ geheel):

$x = k \cdot π$ of $x = ‐ \frac{1}{6} π + k \cdot 2 π$ of $x = ‐ \frac{5}{6} π + k \cdot 2 π$ ;
$x = ‐ \frac{1}{6} π + k \cdot 2 π$ of $x = ‐ \frac{5}{6} π + k \cdot 2 π$ of $x = \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π$ ;
Na substitutie $\cos^{2} (t) = 1 - \sin^{2} (t)$ krijg je dezelfde vergelijking als de eerste, dus zie hierboven;
$x = \frac{1}{2} π + k \cdot π$ of $x = k \cdot 2 π$ .

8

$2 \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 1 \frac{3}{4} \Rightarrow 2 \cos^{2} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) = 1 \frac{3}{4} \Rightarrow 1 + \cos^{2} (x) = 1 \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$ , dus
$\cos (x) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ geeft $x = \frac{1}{6} π$ en $x = 1 \frac{5}{6} π$ ;
$\cos (x) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{3}$ geeft $x = \frac{5}{6} π$ en $x = 1 \frac{1}{6} π$ .

9

Van links naar rechts.
$•$ $\cos^{2} (x + \frac{1}{4} π) =$ ${(\frac{1}{2} \sqrt{2} \cos (x) - \frac{1}{2} \sqrt{2} \sin (x))}^{2} =$ $(\frac{1}{2} \cos^{2} (x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)) =$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 x)$
$• \cos (x + \frac{1}{4} π) \cos (x - \frac{1}{4} π) =$
$(\cos (x) \cos (\frac{1}{4} π) - \sin (x) \sin (\frac{1}{4} π)) \cdot (\cos (x) \cos (\frac{1}{4} π) + \sin (x) \sin (\frac{1}{4} π)) =$
$\frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos (x) - \sin (x)) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos (x) + \sin (x)) =$ $\frac{1}{2} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) =$ $\frac{1}{2} \cos (2 x)$
$• \cos (x + \frac{1}{4} π) \sin (x - \frac{1}{4} π) =$
$(\cos (x) \cos (\frac{1}{4} π) - \sin (x) \sin (\frac{1}{4} π)) (\sin (x) \cos (\frac{1}{4} π) - \cos (x) \sin (\frac{1}{4} π)) =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2} (\cos (x) - \sin (x)) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} (\sin (x) - \cos (x)) =$
$\frac{1}{2} (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \sin (x) \cos (x) =$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 x)$
$•$ $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{1 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2 \sin (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)$

10

$α + β + γ = π$ , dus $tan (α + β) = \tan (π - γ) = ‐ \tan (γ)$ .
Dus: $\frac{tan (α) + tan (β)}{1 - tan (α) tan (β)} = ‐ \tan (γ)$ .
Kruislings vermenigvuldigen geeft het gewenste resultaat.
Van een rechte hoek is de tangens niet gedefinieerd.

11

a

b

$f (x) = 2 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2} \sin (2 (x - \frac{1}{4} π))$ .

c

We berekenen eerst de waarden van $x$ met $f (x) = 4$ .
$f (x) = 4 \Leftrightarrow \sin (2 (x - \frac{1}{4} π)) = \frac{3}{7}$ . De GR geeft: $\sin^{‐ 1} (\frac{3}{7}) = 0,4429 \dots$ , dus $0,443 < x < π - 0,443$
of $0,443 + π < x < 2 π - 0,443$ , dus
$0,443 < x < 2,70$
of $3,58 < x < 5,84$

12

A: $y = ‐ 2 \frac{1}{2} + 7 \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{10} (x - 5))$ of $y = ‐ 2 \frac{1}{2} - 7 \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{10} x)$ of ...
B: $y = 2 + \frac{1}{2} \sin (2 π x)$ of ...
C: $y = ‐ 3 \sin (π x)$ of $y = 3 \sin (π(x - 1))$ of ...
D: $y = \cos (x)$ of $y = \sin (x - 1 \frac{1}{2} π)$ of ...
E: $y = ‐ 1 - \cos (\frac{1}{2} x)$ of $y = ‐ 1 + \sin (\frac{1}{2} (x - π))$ of ...
F: $y = ‐ 5 - 10 \cos (6 x)$ of $y = ‐ 5 + 10 \sin (6 (x - \frac{1}{12} π))$ of $...$ .

13

a

-

b

Bijvoorbeeld $a = 1 \frac{1}{2}$ , $b = 2$ , $c = \frac{1}{4} π$ en $d = \frac{1}{2}$ .

c

Er geldt: $cos (2 x) = 2 \cdot {cos}^{2} (x) - 1$ , dus $f (x) = cos (2 x) + \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{2} =$ $1 \frac{1}{2} sin (\frac{1}{2} π - 2 x) + \frac{1}{2} =$ $1 \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} =$ $1 \frac{1}{2} \cdot sin (2 (x + \frac{1}{4} π)) + \frac{1}{2}$ .

14

$•$ $sin (2 x) = tan (x) \Leftrightarrow 2 \cdot sin (x) cos (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}$ , dus $\sin (x) = 0$ of $\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$ .
En $\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} π + k \cdot π$ .
De oplossingen zijn dus: $x = \frac{1}{4} π + k \cdot π$ of $x = k \cdot π$ .
$•$ $\sin (x) = \frac{2}{\tan (x)}$ $\Leftrightarrow$ $\sin^{2} (x) = 2 \cos (x)$ $\Leftrightarrow$ $\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$
$\Leftrightarrow$ $\cos (x) = ‐ 1 \pm \sqrt{2}$ ;
de GR geeft: $\cos^{‐ 1} (‐ 1 + \sqrt{2}) = 1,143 \dots$ , dus $x = \pm 1,143 \dots + k \cdot 2 π$ .
De vergelijking $\cos (x) = ‐ 1 - \sqrt{2}$ heeft geen oplossingen, want $‐ 1 \leq \cos (x) \leq 1$ .
$• \sin (x) = \cos (2 x + \frac{1}{3} π) \Leftrightarrow \cos (\frac{1}{2} π - x) = \cos (2 x + \frac{1}{3} π)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2} π - x = \pm (2 x + \frac{1}{3} π) + k \cdot 2 π$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{18} π + k \cdot \frac{2}{3} π$ of $x = ‐ \frac{5}{6} π + k \cdot 2 π$ .
$• \sin (x + \frac{1}{6} π) = 2 \cos (x)$ geeft door toepassen van formule 13:
$\frac{1}{2} \sqrt{3} \sin (x) + \frac{1}{2} \cos (x) = 2 \cos (x) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sqrt{3} \sin (x) = 1 \frac{1}{2} \cos (x) \Leftrightarrow \tan (x) = \sqrt{3}$ , dus $x = \frac{1}{3} π + k \cdot π$ .

15

We lossen eerst de vergelijking $\sin (x) = \sqrt{3} \cos (x)$ op.
$\sin (x) = \sqrt{3} \cos (x) \Leftrightarrow \tan (x) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} π + k \cdot π$ .
Vervolgens tekenen we de grafieken van $x \to \sin (x)$ en $x \to \sqrt{3} \cos (x)$ in één figuur.

Uit de figuur lezen we af: $‐ π \leq x < ‐ \frac{2}{3} π$ of $\frac{1}{3} π < x < 1 \frac{1}{3} π$ .