sin ( t ) en cos ( t )

De eenheidscirkel is de cirkel met straal 1 en middelpunt O ( 0,0 ) .
Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging, dat wil zeggen het beweegt met een snelheid van 1  eenheid per seconde over de eenheidscirkel, tegen de wijzers van de klok in. Het startpunt (de positie op tijdstip 0 ) is S ( 1,0 ) .
De coördinaten van de positie P van het kogeltje op tijdstip t zijn ( cos ( t ) , sin ( t ) ) .
Als 0 t 2 π geldt: S O P = t radialen.

Formules

  1. cos ( t ) = cos ( t )

  2. sin ( t ) = sin ( t )

  3. sin ( t + π ) = sin ( t )

  4. cos ( t + π ) = cos ( t )

  5. sin ( π t ) = sin ( t )

  6. cos ( π t ) = cos ( t )

  7. sin ( 1 2 π t ) = cos ( t )

  8. cos ( 1 2 π t ) = sin ( t )

  9. sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1 (stelling van Pythagoras)

  10. cos ( t + 1 2 π ) = sin ( t )

  11. sin ( t + 1 2 π ) = cos ( t )

  12. cos ( α + β ) = cos ( α ) cos ( β ) sin ( α ) sin ( β )

  13. sin ( α + β ) = sin ( α ) cos ( β ) + cos ( α ) sin ( β )

  14. cos ( α β ) = cos ( α ) cos ( β ) + sin ( α ) sin ( β )

  15. sin ( α β ) = sin ( α ) cos ( β ) cos ( α ) sin ( β )

  16. sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

  17. cos ( 2 x ) = cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) 1 = 1 2 sin 2 ( x )

Opmerking:

De fomules 12 tot en met 15 worden wel somformules
En de formules 16 en 17 verdubbelingsformules genoemd.
De formules 12 tot en met 17 worden op het examen verstrekt.

Cirkelbewegingen
ω , r , ϕ , a en b zijn getallen, ω 0 , r > 0 .
Dan zijn: { x = a + r cos ( ω t + ϕ ) y = b + r sin ( ω t + ϕ )
de bewegingsvergelijkingen van een kogeltje over de cirkel met straal r en middelpunt ( a , b ) .
De hoeksnelheid is ω . De fasehoek is ϕ .

1

Gegevens zie figuur. Verder zijn de lijnstukken c en f evenwijdig.

a

Druk de lengte van de lijnstukken a tot en met f uit in α en β. Een van de lijnstukken is bijvoorbeeld sin ( α ) cos ( β ) .

b

Leid met behulp van de figuur de regels 12 tot en met 16 af:
12. cos ( α + β ) = cos ( α ) cos ( β ) sin ( α ) sin ( β )
13. sin ( α + β ) = sin ( α ) cos ( β ) + cos ( α ) sin ( β )
14. cos ( α β ) = cos ( α ) cos ( β ) + sin ( α ) sin ( β )
15. sin ( α β ) = sin ( α ) cos ( β ) cos ( α ) sin ( β )
16. sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

2

P is het punt ( 1,1 ) . De gelijkzijdige driehoek P Q R heeft de oorsprong als middelpunt van de omgeschreven cirkel.

Bereken de coördinaten van Q en R exact.

3

Op de eenheidscirkel liggen de hoekpunten van een rechthoek. Eén van de hoekpunten is P ( cos ( t ) , sin ( t ) ) met 0 < t < 1 2 π .

a

Toon aan dat de oppervlakte van de rechthoek gelijk is aan 2 sin ( 2 t ) .

b

Voor welke waarde van t is de oppervlakte van de rechthoek maximaal?

4

Van twee punten zijn de volgende bewegingsvergelijkingen gegeven:
{ x P = sin ( t ) y P = 4 cos ( t ) en { x Q = 3 sin ( t ) y Q = 6 cos ( t ) .
Beide punten bewegen over een ellips met het middelpunt in de oorsprong. In de figuur is van beide punten de baan getekend.

a

Leg met behulp van de bewegingsvergelijkingen uit welke ellips bij P hoort en welke bij Q .

Er is een tijdstip tussen 0 en 1 2 π waarvoor geldt: y Q = 1 + y P .

b

Bereken exact dat tijdstip.

c

Bewijs dat de afstand tussen P en Q op elk tijdstip t hetzelfde is.

5

Gegeven is de beweging: ( x , y ) = ( sin ( t ) + cos ( t ) , sin ( t ) cos ( t ) ) .

a

Teken de beweging op de GR.

Het lijkt wel een cirkelbeweging. Als dat zo is, kun je hem schrijven in de vorm: { x = a + r cos ( ω t + ϕ ) y = b + r sin ( ω t + ϕ ) .

b

Bepaal de getallen a , b , r , ω en ϕ

c

Laat met behulp van de formules 12 tot en met 16 zien dat de beweging inderdaad een cirkelbeweging is.

d

Dezelfde vragen voor de beweging:
( x , y ) = ( 4 cos 2 ( t ) ,2 cos ( 1 2 π + 2 t ) ) .

tan ( t )
We definiëren: tan ( t ) = sin ( t ) cos ( t ) , voor alle t 1 2 π + k π met k geheel.
De tangens is periodiek met periode π .

Er geldt: tan ( t ) is de tweede coördinaat van het snijpunt van de lijn O P met de lijn x = 1 waarbij P ( cos ( t ) , sin ( t ) ) , zie figuur.

Tabel met exacte waarden

t

0

1 6 π

1 4 π

1 3 π

1 2 π

sin ( t )

0

1 2

1 2 2

1 2 3

1

cos ( t )

1

1 2 3

1 2 2

1 2

0

tan ( t )

0

1 3 3

1

3

-

Hiernaast staat de grafiek van y = tan ( t ) getekend.
De grafiek heeft verticale asymptoten bij t = 1 2 π + k π (met k geheel), want dan is de noemer nul.

De volgende formules worden niet bekend verondersteld, maar je mag ze eventueel wel gebruiken. Dus het kan handig zijn als je ze wel kent.

  • tan 2 ( t ) = sin 2 ( t ) cos 2 ( t ) = 1 cos 2 ( t ) 1

  • tan ( t ) = tan ( a ) t = a + k π , met k geheel

  • Voor alle a en b (voor zover gedefinieerd) geldt:
    tan ( a + b ) = tan ( a ) + tan ( b ) 1 tan ( a ) tan ( b )
    en tan ( a b ) = tan ( a ) tan ( b ) 1 + tan ( a ) tan ( b ) .
    In het bijzonder: tan ( 2 a ) = 2 tan ( a ) 1 tan 2 ( a ) .

Vergelijkingen oplossen

Het volgende kun je gebruiken om bepaalde vergelijkingen op te lossen.

sin ( x ) = sin ( a ) x = a + k 2 π of x = π a + k 2 π ,
cos ( x ) = cos ( a ) x = a + k 2 π of x = a + k 2 π ,
tan ( t ) = tan ( a ) t = a + k π ,
voor alle gehele waarden van k .

We herhalen enkele voorbeelden uit hoofdstuk 8 en 15.

Voorbeeld:

De oplossingen van de vergelijking sin ( 2 x ) = sin ( 3 x ) op het interval [ 0,2 π ] vind je als volgt.
sin ( 2 x ) = sin ( 3 x )
2 x = 3 x + k 2 π of 2 x = π 3 x + k 2 π
x = k 2 π of 5 x = π + k 2 π
x = k 2 π of x = 1 5 π + k 2 5 π .
De oplossingen tussen 0 en 2 π zijn: 0 , 1 5 π , 3 5 π , π , 1 2 5 π , 1 4 5 π , 2 π .

Voorbeeld
De exacte oplossingen van de vergelijking cos ( x ) = cos ( 1 7 π ) vind je zó.
Er geldt: cos ( 1 7 π ) = cos ( 1 1 7 π ) , volgens formule 4. Dus:
cos ( x ) = cos ( 1 7 π )
cos ( x ) = cos ( 1 1 7 π )
x = 1 1 7 π + k 2 π of x = 1 1 7 π + k 2 π ,
voor alle gehele waarden van k .

Voorbeeld
De oplossingen tussen π en 2 π van de vergelijking
cos ( x ) = 0,2 benader je zó in drie decimalen.
De GR geeft één oplossing: cos 1 0,2 = 1,3694... .
Alle oplossingen zijn: x = ± 1,3694... + k 2 π met k geheel.
De gezochte oplossingen zijn:
1,369 , 1,369 , en 1,3694... + 2 π = 4,914 .

Voorbeeld
De oplossingen van de vergelijking sin ( x ) = 2 cos ( x ) vind je zó.
sin ( x ) = 2 cos ( x ) tan ( x ) = 2 .
De GR geeft tan 1 ( 2 ) = 1,107 , dus de oplossingen zijn:
x = 1,107 + k π met k geheel.

6

Los de volgende vergelijkingen in x langs algebraïsche weg, zo mogelijk exact op.

sin ( x ) = sin ( x + 1 4 π )

sin ( x ) = sin ( x + 1 4 π )

sin ( x ) = cos ( x + 1 4 π )

sin ( x ) = cos ( x + 1 4 π )

sin ( x ) = 2

cos ( x ) = 0,2

tan ( x ) = 3

sin ( x ) + 2 cos ( x ) = 0

7

Los de volgende vergelijkingen exact op.

(hint)
Substitueer sin ( x ) = y (of cos ( x ) = y ).

2 sin 2 ( x ) + sin ( x ) = 0

2 sin 2 ( x ) sin ( x ) = 1

2 cos 2 ( x ) sin ( x ) = 2

cos ( 2 x ) 2 cos ( x ) + 1 = 0

8

Los exact op voor 0 x 2 π : 2 cos 2 ( x ) + sin 2 ( x ) = 1 3 4 .

Identiteiten
Voorbeeld:

Voor alle x geldt: sin 2 ( x + 1 4 π ) = 1 2 ( 1 + sin ( 2 x ) ) .


goniometrische identiteit
Bewijs
sin 2 ( x + 1 4 π ) = ( 1 2 2 sin ( x ) + 1 2 2 cos ( x ) ) 2
= 1 2 sin 2 ( x ) + 1 2 cos 2 ( x ) + sin ( x ) cos ( x ) = 1 2 + 1 2 sin ( 2 x )
9

Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

cos 2 ( x + 1 4 π ) = 1 2 1 2 sin ( 2 x )

cos ( x + 1 4 π ) cos ( x 1 4 π ) = 1 2 cos ( 2 x )

cos ( x + 1 4 π ) sin ( x 1 4 π ) = 1 2 sin ( 2 x ) 1 2

tan ( x ) = 1 cos ( 2 x ) sin ( 2 x )

10

De hoeken van een driehoek noemen α , β en γ .

Toon aan: tan ( α ) tan ( β ) tan ( γ ) = tan ( α ) + tan ( β ) + tan ( γ ) als de driehoek niet rechthoekig is.
Waarom wordt geëist dat de driehoek niet rechthoekig is?

De grafiek van sinus en cosinus

Hieronder zie je de grafieken van de functies sinus en cosinus.

Een functie die uit de grafiek van de sinus- of cosinusfunctie ontstaat door schuiven en/of rekken noemen we een sinusoïde.
De grafiek van de functie f hieronder is een sinusoïde. De gemiddelde functiewaarde op een periode is de evenwichtswaarde en de maximale afwijking van de evenwichtswaarde is de amplitude van de sinusoïde.

De evenwichtswaarde van f is 2 , de amplitude is 3 en de periode is 2 .
De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van de sinusfunctie door verticaal met 3 te vermenigvuldigen, 2 eenheden omhoog te schuiven, dan horizontaal met 1 π te vermenigvuldigen en tenslotte 1 eenheid naar links te schuiven.
Dus f ( x ) = 3 sin ( π ( x 1 ) ) + 2 .

11

De grafiek van de functie f is een sinusoïde met periode π en evenwichtswaarde 2 1 2 . De maximale waarde van f ( x ) is 6 , die wordt aangenomen voor x = 1 2 π .

a

Schets de grafiek op het interval [ 0,2 π ] .

b

Geef een formule voor f ( x ) .
Controleer je antwoord met de GR.

c

Bereken langs algebraïsche weg voor welke x op het interval [ 0,2 π ] geldt: f ( x ) > 4 . Rond in je antwoord af op 2 decimalen.

12

Geef een formule voor elk van de volgende sinusoïden.

13

Gegeven is de functie f met f ( x ) = cos ( 2 x ) + cos 2 ( x ) .

a

Teken de grafiek van f op de GR.

De grafiek van f is een sinusoïde, dus
f ( x ) = a sin ( b ( x c ) ) + d voor zekere getallen a , b , c en d .

b

Bepaal die getallen.

c

Toon exact aan: f ( x ) = 1 1 2 sin ( 2 ( x + 1 4 π ) ) + 1 2 .

14

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch, zo mogelijk exact op.

sin ( 2 x ) = tan ( x )

sin ( x ) = 2 tan ( x )

sin ( x ) = cos ( 2 x + 1 3 π )

sin ( x + 1 6 π ) = 2 cos ( x )

15

Bepaal exact voor welke x uit [ π ,2 π ] geldt:
sin ( x ) > 3 cos ( x ) .