1

De punten $P$ en $Q$ voeren elk een harmonische trilling uit. Beide trillingen hebben verschillende amplitude en frequentie. Voor de uitwijking $u_{P}$ van $P$ uit de evenwichtsstand op tijdstip $t$ geldt $u_{P} = 5 \sin (\frac{1}{6} π t + \frac{1}{6} π)$ .
De trilling van punt $Q$ heeft een $2$ keer zo grote amplitude, een $3$ keer zo grote frequentie en $u_{Q} (0) = 10$ .

Geef een formule voor de uitwijking van $Q$ uit de evenwichtsstand op tijdstip $t$ .

2

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{4} \tan (x) - 2 \sin (x)$ .

a

Wat is de periode van $f$ ?

De grafiek van $f$ heeft asymptoten.

b

Geef een vergelijking van een asymptoot en schrijf de bijbehorende limiet op.

Er geldt: $f (π - x) = ‐ f (π + x)$ .

c

Bewijs dit.
Wat betekent dit voor de grafiek van $f$ ?

d

Bereken de extreme waarden van $f (x)$ exact.

3

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$ .
De grafiek is in de figuur hiernaast getekend.

a

Geef van elke asymptoot een vergelijking en schrijf bijbehorende limieten op.

b

Bereken de extreme waarden van $f (x)$ exact.

c

Welke waarden kan $f^{'} (x)$ aannemen?
Gebruik hierbij de grafiek van $f$ . Geef een toelichting.

4

Gegeven is de functie $f : x \to \sqrt{x^{2} - 12}$ .
Hiernaast staat de grafiek.

a

Wat is het domein van $f$ ?

b

Waarom is $f$ niet inverteerbaar?

Als $x \geq 2 \sqrt{3}$ is $f$ wel inverteerbaar.

c

Geef een formule voor $f_{inv} (x)$ .

Als $x \leq ‐ 2 \sqrt{3}$ is $f$ ook inverteerbaar.

d

Geef in dit geval ook een formule voor $f_{inv} (x)$ .

De functie $f$ heeft dus ook twee scheve asymptoten, namelijk de spiegelbeelden van de asymptoot van elk van de twee inverse functies uit c en d, dus de lijnen $y = x$ en $y = ‐ x$

5

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{2} x - 3 + \sqrt{x^{2} + 12}$ .

a

Bereken het nulpunt van $f$ exact.

b

Teken de grafiek van $f$ .

c

Bereken de extreme waarde van $f (x)$ exact.

d

Geef een vergelijking van elke asymptoot van de grafiek van $f$ . Schrijf de bijbehorende limieten op.

6

Over de cirkel met middelpunt $(0,0)$ en straal $1$ beweegt een punt $A$ volgens: ${\begin{cases} x = \sin (t) \\ y = \cos (t) \end{cases}$ , met $0 \leq t \leq 2 π$ .
Over de cirkel met middelpunt $(0,0)$ en straal $2$ beweegt een punt $B$ volgens: ${\begin{cases} x = 2 \sin (2 t) \\ y = 2 \cos (2 t) \end{cases}$ met $0 \leq t \leq 2 π$ .
In de figuur hieronder zijn de twee cirkels en het lijnstuk $A B$ voor de tijdstippen $t = 0$ en $t = 2$

Op de tijdstippen waarop $B$ zich op de $x$ -as bevindt, bevindt $A$ zich op de lijn met vergelijking $y = x$ of op de lijn met vergelijking $y = ‐ x$ .

a

Bewijs dit.

In de figuur hiernaast is het lijnstuk $A B$ getekend op een tijdstip waarop het horizontaal is en boven de $x$ -as ligt.
Er zijn twee tijdstippen waarop het lijnstuk $A B$ horizontaal is en onder de $x$ -as ligt.

b

Bereken voor één van deze tijdstippen de coördinaten van $A$ , afgerond op één decimaal, en teken het bijbehorende lijnstuk $A B$ in een figuur met twee concentrische cirkels met straal $1$ en $2$ .

Op het interval $< 0, π >$ is er één tijdstip waarop lijnstuk $A B$ raakt aan de kleinste cirkel. Zie de figuur hiernaast.
Op dit tijdstip staat de vector $\vec{A B}$ loodrecht op de vector $\vec{O A}$ .

c

Bereken exact dit tijdstip.

7

Voor $x > 0$ is de functie $f$ gegeven door $f (x) = 4 - \frac{2}{x}$ . Het punt $A (2,3)$ ligt op de grafiek van $f$ . De raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ heeft vergelijking $y = \frac{1}{2} x + 2$ .

a

Toon dit exact aan.

Het vlakdeel $V$ wordt begrensd door de grafiek van $f$ , de $x$ -as, de $y$ -as en de raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ .
In de figuur hiernaast is $V$ gekleurd.

b

Bereken exact de oppervlakte van $V$ .

In de figuur hiernaast is zijn de grafiek van $f$ en die van de inverse functie van $f$ getekend.

c

Bereken exact de maximale waarde van $f (x) - f_{inv} (x)$ .

8

Voor elke waarde van $a$ is de functie $f_{a}$ gegeven door:
$f_{a} (x) = \frac{4 x^{2} + 2 x + a}{2 x - 1}$ .

a

Bereken exact de afstand tussen de toppen van $f_{7}$ .

De grafiek van $f_{0}$ heeft een scheve asymptoot met vergelijking $y = p x + q$ voor zekere waarden van

b

p

q

Bereken de waarden van $x$ waarvoor $| f_{0} (x) - (p x + q) |$ kleiner is dan $0,001$ .

Er is een waarde van $a$ waarvoor de grafiek van $f_{a}$ een perforatie heeft.

c

Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.

9

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = \frac{‐ 2 x - 2}{x + 2}$
De grafiek van $f$ heeft twee asymptoten.

a

Geef van elke asymptoot een vergelijking.

De grafiek is lijnsymmetrisch en puntsymmetrisch.

b

Toon dat exact aan.

10

Een Grieks kruis heeft vier even grote 'poten'. In de eenheidscirkel is een Grieks kruis getekend met de hoekpunten op de cirkel. Eén van de hoekpunten is $P (\cos (t), \sin (t))$ met $0 < t < \frac{1}{4} π$ .
$O (t)$ is de oppervlakte van het kruis.

Er geldt:

O (t) = 4 \sin (2 t) + 2 \cos (2 t) - 2

.

a

Toon dat aan.

b

Toon aan: als $O (t)$ maximaal, dan $\tan (2 t) = 2$ .

c

Bereken $\sin (2 t)$ en $\cos (2 t)$ exact als $\tan (2 t) = 2$ .

d

Hoe groot is dus de maximale oppervlakte van het Grieks kruis exact?

11

Hiernaast is de grafiek van de functie $f$ getekend met
$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 6}$ .
De grafiek heeft twee scheve asymptoten. Die zijn gestippeld in de figuur.
Er is een getal $a$ zó, dat de grafiek van $f$ ontstaat uit die van de functie $g$ met $g (x) = \sqrt{x^{2} + a}$ door een horizontale verschuiving.

a

Bepaal het getal $a$ en het aantal eenheden waarover verschoven moet worden exact.

b

Geef een vergelijking van elke asymptoot van de grafiek van $f$ .

(hint)

Gebruik de asymptoten van

g

.

Eeen lijn door $O$ raakt de grafiek van $f$ in $P$ .

c

Bereken de coördinaten van $P$ exact.