1

Een kogeltje beweegt volgens { x = t 2 + 1 y = 2 t t 2 + 1 .
De baan B is hiernaast getekend.

a

Bewijs dat de x -as symmetrie-as van de baan is.

Een verticale lijn snijdt de baan in twee punten die afstand 1 1 5 tot elkaar hebben.

b

Bereken exact hoe ver deze punten van de y -as afliggen. Twee mogelijkheden.

c

Wat is lim t x ( t ) , lim t y ( t ) , lim t x ( t ) , lim t y ( t ) ?
Wat betekent dat voor de baan?

2

We gaan verder met de vorige opgave.

a

Druk t uit in x en/of y .

b

Toon aan dat voor punten ( x , y ) van B geldt: y 2 = 4 x 2 4 x 4 .

Het gebied ingesloten door de baan B en de lijn x = 2 wordt om de x -as gewenteld.

c

Bereken de inhoud van het gebied dat ontstaat exact.

3

Een kogeltje beweegt volgens:
{ x = 1 4 t 2 1 y = t + 20 t + 6 2 .
Hiernaast is de baan getekend.
De baan 'snijdt zichzelf'.

a

Bereken het de coördinaten van het snijpunt exact.

b

Bereken langs algebraïsche weg de hoek waaronder de baan zichzelf snijdt in graden nauwkeurig.

4

De bewegingsvergelijkingen van P zijn:
( x , y ) = ( 2 + cos ( t ) , sin ( t ) ) .
De helling van lijn O P is een functie van t . We noemen die h ( t ) .

a

Bereken de maximale waarde van h ( t ) exact met differentiëren.

b

Bereken de maximale waarde van h ( t ) exact zonder differentiëren.

5

Voor 0 t π is de baan van het punt P gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: { x ( t ) = sin ( 2 t ) + sin ( t ) y ( t ) = cos ( t ) .
In de figuur is de baan van P weergegeven.
Op t = 0 bevindt P zich in het hoogste punt A ( 0,1 ) van de baan.
Op t = π bevindt P zich in het laagste punt C ( 0,‐1 ) van de baan.
Tussen t = 0 en t = π snijdt de baan de y -as één keer in het punt B .

Bereken exact de snelheid van P in punt B .

6

Een punt P beweegt volgens { x = 1 4 t 2 y = t 2 1 2 t 3 .

a

Bereken exact voor welke waarden van t geldt: x ( t ) = 0 of y ( t ) = 0 .

Je kunt op voorhand uit het vorige onderdeel niet concluderen of de raaklijn in O ( 0,0 ) horizontaal of verticaal is.

b

Waarom niet?

De baan van P bestaat uit twee takken, die in O bij elkaar komen. Elke tak is grafiek van een functie.

c

Geef van beide functies een formule.

d

Wat is de richtingscoëficiënt van de raaklijn in O ( 0,0 ) aan de baan?

7

Hieronder staat de grafiek van de kromme K met bewegingsvergelijkingen ( x , y ) = ( t + 2 t + 2, t 1 t ) .

a

Bepaal lim t x ( t ) , lim t y ( t ) , lim t ( x ( t ) y ( t ) ) .

b

Welke scheve asymptoot van K volgt hieruit? Licht toe.

c

Bepaal lim t 0 x ( t ) , lim t 0 y ( t ) .

Er is een waarde van a waarvoor lim t 0 ( a x ( t ) + y ( t ) ) bestaat, dat wil zeggen niet ± is.

d

Bepaal die waarde van a .
Welke asymptoot van K levert dit op?

Baansnelheid en baanversnelling

In hoofdstuk 14 Snelheid en richting, staat in Eindpunt het volgende.

Een bewegend punt P bevindt zich op tijdstip t in ( f ( t ) , g ( t ) ) .
Op tijdstip t is:
( f ( t ) g ( t ) ) de snelheidsvector,
( f ( t ) g ( t ) ) de versnellingsvector,
f ( t ) 2 + g ( t ) 2 de grootte van de snelheid.
De raaklijn in P aan de baan heeft richtingsvector ( f ( t ) g ( t ) ) .

In het vervolg noemen we de grootte van de snelheid ook wel de baansnelheid waarmee het punt P beweegt.

8

Een kogelbaan
We bekijken de eerste opgave van hoofdstuk 14 nog eens.
Een kogel wordt afschoten, we veronderstellen vanaf de grond. De baan van de kogel ligt in een verticaal vlak. We brengen daarin een assenstelsel aan: de x -as horizontaal over de grond en de y -as verticaal door het uiteinde van de loop. De snelheidsvector waarmee de kogel de loop verlaat is te ontbinden in zijn componenten langs de x - en y -as.
Neem aan dat de horizontale component grootte 20 m/s en de verticale component grootte 40 m/s heeft. Na t seconden is de kogel in ( 20 t ,40 t 5 t 2 ) ; hierbij is de valversnelling afgerond op 10 m/s2. Hiernaast staat de baan.

a

Geef een formule voor de baansnelheid.

b

Bereken voor welke t de baansnelheid minimaal is.

c

Geef een formule voor de afgeleide van de baansnelheid en controleer hiermee je antwoord op het voorgaande onderdeel.

De afgeleide van de baansnelheid noemen we de baanversnelling.

In de voorgaande opgave heb je voor de baanversnelling a gevonden:
a = 10 ( t 4 ) t 2 8 t + 20 .
De baanversnelling is 0 in de top van de kogelbaan.

9

Een punt P beweegt volgens de standaard-cirkelbeweging, is dus op tijdstip t in ( cos ( t ) , sin ( t ) ) .

a

Bereken de snelheidsvector en de versnellingsvector waarmee P beweegt.

b

Bereken ook de baansnelheid en de baanversnelling van P .

Opmerking:

Een punt P beweegt volgens de standaard-cirkelbeweging. Zonder te rekenen, kun je zeggen wat de baanversnelling van P is.
P beweegt immers met constante snelheid over de eenheidscirkel, dus de baanversnelling is 0 .
De versnellingsvector is echter niet de 0 -vector, maar heeft grootte 1 en is steeds naar O , het middelpunt van de eenheidscirkel gericht.

10

Een punt P beweegt volgens ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( t 2 2 t , t 2 + 2 t ) .
In Extra opgave 1 van hoofdstuk 14 hebben we de baan van P bekeken.

a

Druk de snelheidheidsvector en de versnellingsvector van P in t uit.

b

Druk nu ook de baansnelheid en de baanversnelling van P in t uit.

c

Bereken de baansnelheid en de baanversnelling van P in A ( 3, 1 ) exact.

d

Bereken exact op welk tijdstip de baanversnelling 0 is.

11

De bewegingsvergelijkingen van het punt Q zijn:
{ x ( t ) = 2 sin ( t ) y ( t ) = cos ( t ) .
De baan is een ellips. De lange as heeft lengte 4 en de korte as lengte 2 .

a

Heb je enig idee in welke punten de baanversnelling 0 is? Leg uit waarom je dat denkt.

De baansnelheid van Q noemen we v .

b

Toon aan v = 4 3 sin 2 ( t ) .

c

Hoe kun je aan de formule uit het vorig onderdeel zien dat de baanversnelling 0 is in de snijpunten met de coördinaatassen?

De baanversnelling noemen we a .
Er geldt: a = 3 sin ( 2 t ) 2 4 3 sin 2 ( t ) .

d

Toon dat aan.

e

Geef een formule voor de versnellingsvector.

Stelling
Een bewegend punt P bevindt zich op tijdstip t in ( f ( t ) , g ( t ) ) .
Als v 0 , dan is de baanversnelling van P : a v | v | .
Hierbij is v de snelheidsvector en a de versnellingsvector waarmee P beweegt.

Opmerking:

Uit bovenstaande en de stelling in paragraaf 9.3 van deel2 5vb volgt dat de baanversnelling gelijk is aan de lengte van de projectie van a op v als de hoek tussen a en v scherp is en het tegengestelde daarvan als de hoek tussen a en v stomp is.

12

Bewijs de stelling.



13
a

Hoe kun je met behulp van de stelling inzien dat de baanversnelling 0 is in de top van een kogelbaan?

In opgave 71 b en opgave 72 d heb je een formule voor de baanversnelling moeten geven.

b

Geef deze formules ook door de stelling te gebruiken.

14

In hoofdstuk 14 Bewegen, hebben we de cycloïde bekeken.
Een punt P neemt deel aan twee bewegingen.

  • P beweegt over de cirkel met middelpunt M in wijzerrichting en is op tijdstip t = 0 in het laagste punt van de cirkel.

  • M beweegt over de lijn y = 1 in de positieve x -richting en is op tijdstip 0 in ( 0,1 ) .

We nemen aan dat de snelheid waarmee M beweegt gelijk is aan 1 .
Hieronder is de baan getekend.

De bewegingsvergelijkingen van P zijn:
{ x = t sin ( t ) y = 1 cos ( t ) .

De baanversnelling noemen we a . Er geldt: a = sin ( t ) 2 2 cos ( t ) .

a

Toon dat aan.

b

Wat kun je zeggen over a als P op de x -as komt?

Als t = 1 3 π , vind je de formule uit onderdeel a: a = 1 2 3 .
We berekenen a op dit tijdstip ook met de stelling hierboven.

c

Teken een cirkel met straal 1 met daarop het punt P op
t = 1 3 π .
Teken v en a en bereken a v | v | .

In onderdeel b heb je gezien dat a niet bestaat op de momenten t dat P op de x -as komt.

d

Onderzoek of a op die momenten t een perforatie heeft.