De tangens

In hoofdstuk 12, paragraaf 5 van het eerste deel van V6 hebben we gedefinieerd: $\tan (t) = \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

Alternatieve definitie van de tangens
De helling van lijn $O P$ , zie figuur, noemen we de tangens van $t$ , kortweg: $\tan (t)$ .

In de volgende opgave zullen we zien dat de definities op hetzelfde neerkomen.

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging en is op tijdstip $t$ in punt $P$ . We bekijken de richtingscoëfficiënt van de lijn $O P$ (als die bestaat).
$Q$ is het snijpunt van lijn $O P$ en de raaklijn in $(1,0)$ aan de eenheidscirkel.

Toon aan dat de $y$ -coördinaat van $Q$ gelijk is aan de helling van lijn $O P$ .

Voor welke waarden van $t$ is de helling van lijn $O P$ niet gedefinieerd?

Toon aan: de helling van lijn $O P$ $= \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\tan (t)$ is gedefinieerd als $t \neq \frac{1}{2} π + k \cdot π$ met $k$ geheel.
Er geldt: $\tan (t)$ is de tweede coördinaat van het snijpunt van lijn $O P$ met de lijn $x = 1$ . Hierbij is $P (\cos (t), \sin (t))$ .

Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging.

Teken de eenheidscirkel. Construeer de punten waar het kogeltje zich kan bevinden op de tijdstippen $t$ met $\tan (t) = ‐ 3$ .
Zoek met behulp van de GR een tijdstip waarop het kogeltje zich in zo'n geconstrueerd punt bevindt en benader de coördinaten van de twee punten waar het kogeltje zich kan bevinden in twee decimalen.

Voor welke $t$ tussen $‐ 7$ en $7$ geldt: $\tan (t) = ‐ 3$ ? Rond je antwoord af op twee decimalen.

Geef de exacte waarde van $\tan (\frac{1}{6} π)$ , $\tan (\frac{1}{4} π)$ en $\tan (\frac{1}{3} π)$ .

Geef ook de exacte waarden van $\tan (‐ \frac{1}{6} π)$ , $\tan (1 \frac{1}{4} π)$ en $\tan (5 \frac{1}{3} π)$

Bekijk nog eens het plaatje bij opgave 47.

Toon aan: $O Q = \frac{1}{| \cos (t) |}$ .
Waarom staan er eigenlijk absolute-waardestrepen?

Laat zien dat uit de stelling van Pythagoras volgt:
$\tan^{2} (t) + 1 = \frac{1}{\cos^{2} (t)}$

Laat zien dat de formule uit b ook volgt uit de formule $\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1$ .

Teken de grafiek van tangens op $[- π, π]$ .

Verklaar met opgave 47b dat de grafiek asymptoten heeft.

Bewijs dat $\tan (t + π) = \tan (t)$ voor alle $t$ .

Wat betekent de formule uit c voor de functie tangens?

De periode van de tangens is $π$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ met $0 \leq x \leq 2 π$ , zo mogelijk exact op en anders in twee decimalen.

$\cos (x) = 2 \sin (x)$	$2 \cos^{2} (x) = \sin (x) \cos (x)$
$3 \cos (x) = 2 \sin^{2} (x)$	$\sin^{2} (x) = \sin (x) \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)$

De afgeleide van de tangens

Laat zien: $\frac{d}{d t} \tan (t)$ $= \frac{1}{\cos^{2} (t)} = \tan^{2} (t) + 1$

$\frac{d}{d t} \tan (t) = \frac{1}{\cos^{2} (t)}$ $= \tan^{2} (t) + 1$

Bereken de afgeleide van de volgende functies.

$y = \tan^{2} (x)$	$y = \sqrt{tan x}$
$y = \frac{1}{\tan (x)}$	$y = \frac{1 + \tan (x)}{\tan (x)}$

Hiernaast is de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = \tan (x) - x$ .
De buigpunten van de grafiek liggen op een rechte lijn.

Toon dat aan en geef een vergelijking van die lijn.

Toon aan dat de functie $G$ met $G (x) = ‐ \ln | \cos (x) |$ een primitieve functie van de functie $g : x \to \tan (x)$ is.

Bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de $x$ -as, de grafiek van $f$ en de lijn $x = \frac{1}{4} π$ .

Somformules met de tangens

Toon aan dat voor alle $a$ en $b$ (voor zover gedefinieerd) geldt:

$\tan (‐ a) = ‐ \tan (a)$ ,

$1 - \tan^{2} (a) = \frac{\cos (2 a)}{\cos^{2} (a)}$ ,

$\tan^{2} (a) + 1 = \frac{1}{\cos^{2} (a)}$ ,

$\tan (a + b) = \frac{\tan (a) + \tan (b)}{1 - \tan (a) \tan (b)}$ ,

$\tan (a - b) = \frac{\tan (a) - \tan (b)}{1 + \tan (a) \tan (b)}$ .

Voor alle $a$ en $b$ (voor zover gedefinieerd) geldt:
$\tan (a + b) = \frac{\tan (a) + \tan (b)}{1 - \tan (a) \tan (b)}$ en $\tan (a - b) = \frac{\tan (a) - \tan (b)}{1 + \tan (a) \tan (b)}$ .
In het bijzonder: $\tan (2 a) = \frac{2 \tan (a)}{1 - \tan^{2} (a)}$ .

Opmerking:

Je hoeft de somformules voor de tangens niet te kennen.

Boven een autoweg hangt een ANWB-bord. De onderkant van het bord is $6$ meter boven het wegdek en de bovenkant $10,80$ m.
Een langsrazende automobilist heeft ooghoogte $1$ m boven het wegdek.

Bereken exact hoeveel meter voor het bord hij dit bord onder de grootste hoek ziet.

(hint)

Noem de horizontale afstand tot het bord

x

.
Druk

\tan (α)

\tan (β)

x

uit. Met behulp van een van de formules na opgave 56 vind je ook een uitdrukking in

x

voor

\tan (α - β)

Er geldt (voor zover gedefinieerd):
$\tan (7 x) - \tan (5 x) - \tan (2 x) = \tan (7 x) \cdot \tan (5 x) \cdot \tan (2 x)$ .

Ga na dat de formule juist is voor $x = \frac{1}{3} π$ .

Bewijs de formule.

Bewijs dat $\tan (\frac{1}{4} π + x) = \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ voor zover gedefinieerd.

Limieten

Een staaf van lengte $1$ is draaibaar om de oorsprong $O$ .
Het eindpunt $R (\cos (t), \sin (t))$ ligt op de eenheidscirkel, met $0 < t < \frac{1}{2} π$ .
In het punt $L (0,1)$ bevindt zich een lampje. De schaduw van de staaf (lijnstuk $O R$ ) op de $x$ -as (dat is lijnstuk $O S$ ), hangt van $t$ af en noemen we $f (t)$ .

Toon aan: $f (t) = \frac{\cos (t)}{1 - \sin (t)}$ .

Lees uit het plaatje de waarde af van $\lim_{t ↑ \frac{1}{2} π} \frac{\cos (t)}{1 - \sin (t)}$ .

Je hebt nu met behulp van het plaatje $\lim_{t ↑ \frac{1}{2} π} \frac{\cos (t)}{1 - \sin (t)}$ gevonden.
Het kan ook langs algebraïsche weg. Dat doen we in de volgende twee onderdelen.

Toon aan: $\frac{\cos (t)}{1 - \sin (t)} = \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

(hint)

Vermenigvuldig teller en noemer met

1 + \sin (t)

Hoe vind je met het voorgaande $\lim_{t ↑ \frac{1}{2} π} \frac{\cos (t)}{1 - \sin (t)} = \infty$ en wat is $\lim_{t ↓ \frac{1}{2} π} \frac{\cos (t)}{1 - \sin (t)}$ ?

Bepaal langs algebraïsche weg $\lim_{t \to \frac{1}{2} π} \frac{1 - \sin (t)}{\cos (t)}$ ?

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = 1$ .

\lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = 1 \cdot 1 = 1

Wat is, denk je, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{x}$ .

Bepaal langs algebraïsche weg $\lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{x}$ door een handige substitutie in $\lim_{a \to 0} \frac{\tan (a)}{a}$ .

Bereken $\lim_{x \to \frac{1}{4} π} \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ exact.

(hint)

\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)