In hoofdstuk 12, paragraaf 5 van het eerste deel van V6 hebben we gedefinieerd: .
Alternatieve definitie van de tangens
De helling van lijn , zie figuur, noemen we de tangens van ,
kortweg: .
In de volgende opgave zullen we zien dat de definities op hetzelfde neerkomen.
Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging en is op tijdstip in punt . We bekijken de richtingscoëfficiënt van de lijn (als die bestaat).
is het snijpunt van lijn en de raaklijn in aan de eenheidscirkel.
Toon aan dat de -coördinaat van gelijk is aan de helling van lijn .
Voor welke waarden van is de helling van lijn niet gedefinieerd?
Toon aan: de helling van lijn .
is gedefinieerd als met
geheel.
Er geldt:
is de tweede coördinaat van het snijpunt van
lijn met de lijn
. Hierbij is .
Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging.
Teken de eenheidscirkel. Construeer de punten waar het kogeltje zich kan bevinden
op de tijdstippen met .
Zoek met behulp van de GR een tijdstip waarop het kogeltje zich in zo'n geconstrueerd
punt bevindt en benader de coördinaten van de twee punten waar het
kogeltje zich kan bevinden in twee decimalen.
Voor welke tussen en geldt: ? Rond je antwoord af op twee decimalen.
Geef de exacte waarde van , en .
Geef ook de exacte waarden van , en
Bekijk nog eens het plaatje bij opgave 47.
Toon aan: .
Waarom staan er eigenlijk absolute-waardestrepen?
Laat zien dat uit de stelling van Pythagoras volgt:
Laat zien dat de formule uit b ook volgt uit de formule .
Teken de grafiek van tangens op .
Verklaar met opgave 47b dat de grafiek asymptoten heeft.
Bewijs dat voor alle .
Wat betekent de formule uit c voor de functie tangens?
De periode van de tangens is .
Los de volgende vergelijkingen in met , zo mogelijk exact op en anders in twee decimalen.
|
|
|
|
Laat zien:
Bereken de afgeleide van de volgende functies.
|
|
|
|
Hiernaast is de grafiek van de functie met
.
De buigpunten van de grafiek liggen op een rechte lijn.
Toon dat aan en geef een vergelijking van die lijn.
Toon aan dat de functie met een primitieve functie van de functie is.
Bereken exact de oppervlakte van het gebied ingesloten door de -as, de grafiek van en de lijn .
Toon aan dat voor alle en (voor zover gedefinieerd) geldt:
,
,
,
,
.
Voor alle en (voor zover gedefinieerd) geldt:
en
.
In het bijzonder: .
Je hoeft de somformules voor de tangens niet te kennen.
Boven een autoweg hangt een ANWB-bord. De onderkant van het bord is
meter boven het wegdek en de bovenkant m.
Een langsrazende automobilist heeft ooghoogte m boven het wegdek.
Bereken exact hoeveel meter voor het bord hij dit bord onder de grootste hoek ziet.
Er geldt (voor zover gedefinieerd):
.
Ga na dat de formule juist is voor .
Bewijs de formule.
Bewijs dat voor zover gedefinieerd.
Een staaf van lengte is draaibaar om de oorsprong .
Het eindpunt
ligt op de eenheidscirkel, met
.
In het punt bevindt zich een lampje. De schaduw van de staaf (lijnstuk
) op de
-as (dat is lijnstuk ), hangt van af en
noemen we .
Toon aan: .
Lees uit het plaatje de waarde af van .
Je hebt nu met behulp van het plaatje gevonden.
Het kan ook langs algebraïsche weg. Dat doen we in de volgende twee onderdelen.
Toon aan:
Hoe vind je met het voorgaande en wat is ?
Bepaal langs algebraïsche weg ?
.
Wat is, denk je, .
Bepaal langs algebraïsche weg door een handige substitutie in .
Bereken exact.