$\mathrm{‐}2\text{π}$, $0$, $2\text{π}$; $\mathrm{‐}1\frac{1}{2}\text{π}$, $\frac{1}{2}\text{π}$; $\mathrm{‐}\text{π}$, $\text{π}$; $\mathrm{‐}\frac{1}{2}\text{π}$, $1\frac{1}{2}\text{π}$.

Positie:$(\mathrm{‐}\mathrm{0,42};\mathrm{0,91})$; op dezelfde hoogte: $\text{π}-2$, $\mathrm{‐}\text{π}-2$ en $\mathrm{‐}2\text{π}+2$; op dezelfde breedte: $\mathrm{‐}2$, $2-2\text{π}$, $2\text{π}-2$.

$\mathrm{‐}1\frac{3}{4}\text{π}$, $\mathrm{‐}\frac{3}{4}\text{π}$, $\frac{1}{4}\text{π}$, $1\frac{1}{4}\text{π}$.

$\mathrm{‐}1\frac{2}{3}\text{π}$, $\mathrm{‐}\frac{1}{3}\text{π}$, $\frac{1}{3}\text{π}$, $1\frac{2}{3}\text{π}$; $\mathrm{‐}1\frac{5}{6}\text{π}$, $\mathrm{‐}1\frac{1}{6}\text{π}$, $\frac{1}{6}\text{π}$, $\frac{5}{6}\text{π}$

Middelpunt $(m,n)$, straal $r$, hoeksnelheid $\text{ω}$.

$\{\begin{array}{l}x=2+4\text{cos}\text{(‐}4t\text{)}\\ y=3+4\text{sin}\text{(‐}4t\text{)}\end{array}$

Zie figuur.

figuur bij opgave 4a

figuur bij opgave 4b

Zie figuur.

De tweede beweging loopt $1$ seconde achter.

$m=0$, $n=2$, $r=2$, $\text{ω}=\mathrm{‐}\frac{1}{3}\text{π}$, $t_0=\mathrm{‐}1\frac{1}{2}$

Ze verschillen een geheel veelvoud van $6$.

$\text{φ}=\mathrm{‐}\frac{1}{2}\text{π}$

$120°$, $P(\mathrm{0,2}+\sqrt{3})$, $Q(\mathrm{0,2}-\sqrt{3})$

$12$ seconden

$\frac{1}{6}\text{π}$

$1$, $2$, $2$, $\frac{1}{6}\text{π}$, $\mathrm{‐}4$.

Zie de figuur hieronder.

Zie figuur hierboven.

De grafiek $4$ eenheden naar links schuiven; $k(t)=2+2\sin \left(\frac{2\text{π}}{12}(t+4)\right)$.

$\mathrm{‐}1$

$2$

$3$

$\frac{2}{3}\text{π}$; $2$; $\mathrm{‐}1$

Omdat de beweging daar stijgend door het evenwicht gaat.

$f(t)=\mathrm{‐}1+2\cdot \sin \left(\frac{2\text{π}}{3}t\right)$

$g(t)=\mathrm{‐}1+2\cdot \sin \left(\frac{2\text{π}}{3}(t-1)\right)$

Die beweging loopt $33$ (dus een geheel aantal) periodes achter op die bij het vorige onderdeel.

$u(t)=5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\text{π}t\right)$

$\mathrm{0,128}$, $2-\mathrm{0,128}=\mathrm{1,872}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1\iff 4x^2+y^2=100$

Als je $(5\cos (t)\mathrm{,10}\sin (t))$ in de vergelijking $4x^2+y^2=100$ invult, krijg je:
$100{\sin }^2(t)+100{\cos }^2(t)=100$ en dat klopt want ${\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)=1$.

Een richtingsvector van de raaklijn staat loodrecht op de lijn door $O$ en $(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$. De raaklijn aan de eenheidscirkel heeft dus richtingsvector $\left(\begin{array}{c}4\\ \mathrm{‐}3\end{array}\right)$.

Een richtingsvector van de raaklijn is $\left(\begin{array}{c}5\cdot 4\\ 10\cdot \mathrm{‐}3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\ \mathrm{‐}30\end{array}\right)$ ofwel $\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{‐}3\end{array}\right)$, dus een vergelijking is $3x+2y=25$.

$0$
De keerpunten zijn (GR): $(\mathrm{1,0})$ en $(\mathrm{‐}\mathrm{1,0})$. Deze worden bereikt op de tijdstippen $t=k\cdot \text{π}$, met $k$ geheel. De snelheidsvector is $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\sin (t)\\ 2\cdot \sin (t)\cdot \cos (t)\end{array}\right)$. Deze is de nulvector als $t=k\cdot \text{π}$.

$y=1-x^2$

Invullen leidt tot: ${\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)=1$.

$x=\cos (t)$ en $\mathrm{‐}1\le \cos (t)\le 1$, dus je krijgt $y=1-x^2$ op het $x$-interval $[\mathrm{‐}\mathrm{1,1}]$.

$\cos (2\text{π}-t)=\cos (\mathrm{‐}t)=\cos (t)$ en $\sin (2\text{π}-t)=\sin (\mathrm{‐}t)=\mathrm{‐}\sin (t)$, dus ${\sin }^2(2\text{π}-t)={\sin }^2(t)$.
Tussen de tijdstippen $0$ en $2\text{π}$ wordt elk punt (minstens) twee keer aangedaan.

$\cos (\text{π}-t)=\mathrm{‐}\cos (t)$ en $\sin (\text{π}-t)=\sin (t)$; De baan is symmetrisch in de $y$-as.

$(\mathrm{1,1})$

$x(\mathrm{‐}t)=y(t)$ (en dus ook $y(\mathrm{‐}t)=x(t)$, dus als $(x,y)$ op $K$ dan ook $(y,x)$. De kromme is symmetrisch in de lijn $y=x$.

Je krijgt een cirkel met straal $\sqrt{2}$ en middelpunt $O$.

$\sqrt{2}$, dit is de afstand van $(\mathrm{1,1})$ to $(\mathrm{0,0})$.

$x^2+y^2=2$

${(\cos (t)-\sin (t))}^2+{(\cos (t)+\sin (t))}^2=2\cdot ({\sin }^2(t)+{\cos }^2(t))=2$

$m=n=0$, $r=\sqrt{2}$, $\text{ω}=1$ en $t_0=\mathrm{‐}\frac{1}{4}\text{π}$.

$\sqrt{2}\cdot \cos (t+\frac{1}{4}\text{π})=\sqrt{2}\cdot (\cos (t)\cos (\frac{1}{4}\text{π})-\sin (t)\sin (\frac{1}{4}\text{π}))=$ $\cos (t)-\sin (t)$ en
$\sqrt{2}\cdot \sin (t+\frac{1}{4}\text{π})=\sqrt{2}\cdot (\sin (t)\cos (\frac{1}{4}\text{π})+\cos (t)\sin (\frac{1}{4}\text{π}))=$ $\cos (t)+\sin (t)$, want $\sin (\frac{1}{4}\text{π})=\cos (\frac{1}{4}\text{π})=\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Je krijgt een ellips met een horizontale as van lengte $1$ en een verticale as van lengte $2$. Een vergelijking is $4x^2+y^2=1$.

Invulllen geeft: $4{\sin }^2(t){\cos }^2(t)+{\cos }^4(t)-2{\sin }^2(t){\cos }^2(t)+{\sin }^4(t)=$ ${({\sin }^2(t)+{\cos }^2(t))}^2=1$.

$1+\text{sin}(2t)={\cos }^2(t)+2\sin (t)\cos (t)+{\sin }^2(t)=$ ${(\cos (t)+\sin (t))}^2$

De snelheidsvector is: $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}\sin (t)+\cos (t)\\ 2\cos (2t)\end{array}\right)$. De grootte van de snelheid is $0$ als $\sin (t)=\cos (t)$, want dan is de $x$-component $0$; maar ook de $y$-component is dan $0$, want $\cos (2t)={\cos }^2(t)-{\sin }^2(t)$.
Dus $t=\frac{1}{4}\text{π}+k\cdot \text{π}$, voor alle gehele waarden van $k$.

-

$1-2y=x$, dit volgt uit een van de verdubbelingsformules.

Je krijgt een eindpunt als een van de coördinaten extreem is, dus als $\sin$ of $\sin (t)=\pm 1$, dus als $t=\mathrm{0,}\frac{1}{2}\text{π},\text{π},1\frac{1}{2}\text{π},2\text{π}$.
De bijbehorende eindpunten zijn $(\mathrm{1,0})$ en $(\mathrm{‐}\mathrm{1,1})$.