Een kogeltje maakt de standaard-cirkelbeweging. De tijdsduur van een rondje over de eenheidscirkel is $2 π$ seconde. Op tijdstip $t$ is de breedte $\cos (t)$ en de hoogte $\sin (t)$ . Dus ${\begin{cases} x = \cos (t) \\ y = \sin (t) \end{cases}$ .
Als je de beweging op de GR wilt maken, moet hij in de stand Radian staan.
Op het scherm zijn de eenheden op de assen niet altijd hetzelfde. Je kunt het scherm zo instellen dat ze gelijk zijn, dan zie je een mooie cirkel. Zoek uit hoe dat op jouw apparaat gaat.

Op welke tijdstippen tussen $‐ 2 π$ en $2 π$ is het kogeltje in $(1,0)$ ? En in $(0,1)$ ? En in $(‐ 1,0)$ ? En in $(0, ‐ 1)$ ?

Bepaal met de GR de coördinaten van de positie van het kogeltje op $t = 2$ in twee decimalen.
Geef exact de tijdstippen tussen $‐ 2 π$ en $2 π$ waarop het kogeltje op dezelfde hoogte is als op $t = 2$ .
Geef ook exact de tijdstippen tussen $‐ 2 π$ en $2 π$ waarop het kogeltje op dezelfde breedte is als op $t = 2$ .

Voor welke $t$ uit $[‐ 2 π,2 π]$ geldt: $\cos (t) = \sin (t)$ ?

Voor welke $t$ uit $[‐ 2 π,2 π]$ geldt: $\cos (t) = \frac{1}{2}$ ?
En voor welke $t$ uit $[‐ 2 π,2 π]$ geldt: $\sin (t) = \frac{1}{2}$ ?
Geef exacte waarden.

Welke baan hoort bij de volgende parametervoorstellingen? Geef in elk van de gevallen ook de omlooptijd (de tijd die nodig is voor één rondje) en de grootte van de snelheid van het kogeltje.

${\begin{matrix} x = cos (2 t) \\ y = sin (2 t) \end{matrix}$	${\begin{matrix} x = 2 \cdot cos (2 t) \\ y = 2 \cdot sin (2 t) \end{matrix}$
${\begin{matrix} x = 4 \cdot sin (2 t) \\ y = 4 \cdot cos (2 t) \end{matrix}$	${\begin{matrix} x = ‐ 2 \cdot cos (3 t) \\ y = 2 \cdot sin (3 t) \end{matrix}$
${\begin{matrix} x = cos (‐ t) \\ y = sin(‐ t) \end{matrix}$	${\begin{matrix} x = 12 \cdot \sin (2 t) \\ y = 12 \cdot \cos (2 t) \end{matrix}$

We bekijken de beweging: ${\begin{cases} x = m + r cos (ω t) \\ y = n + r sin (ω t) \end{cases}$ , met $r > 0$ .

Ga na wat de getallen $m$ , $n$ , $r$ en $ω$ te maken hebben met de baan van het kogeltje en de snelheid waarmee het kogeltje beweegt.

Geef de bewegingsformules voor het kogeltje dat over een cirkel met middelpunt $(2,3)$ en straal $4$ in $\frac{1}{2} π$ seconden ronddraait met de klok mee.
Controleer je formules met de GR.

Wat je ook voor de parameters $m$ , $n$ , $r$ en $ω$ neemt in de formule hierboven, het startpunt van de beweging (dat is de plaats van het kogeltje op $t = 0$ ) is steeds het punt op de cirkel met de grootste $x$ -coördinaat.
De eenparige cirkelbeweging met middelpunt $(m, n)$ , straal $r$ en hoeksnelheid $ω$ kan worden beschreven met de formule: ${\begin{cases} x = m + r cos (ω (t - t_{0})) \\ y = n + r sin (ω (t - t_{0})) \end{cases}$ .
Waar het kogeltje zich op $t = 0$ bevindt, hangt van $t_{0}$ af.
De betekenis van $t_{0}$ voor de beweging bekijken we in de volgende opgave.

Vergelijk de volgende twee bewegingen.
${\begin{cases} x = 2 + 3 cos (\frac{1}{2} π t) \\ y = - 1 + 3 sin (\frac{1}{2} π t) \end{cases}$ en ${\begin{cases} x = 2 + 3 cos (\frac{1}{2} π (t - 1)) \\ y = - 1 + 3 sin (\frac{1}{2} π (t - 1)) \end{cases}$ .

Teken de cirkel waarover de eerste beweging gaat. Geef aan waar het kogeltje zich bevindt op $t = 0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ en $6$ (zonder GR).

De tweede beweging gaat over dezelfde cirkel.

Geef aan waar het kogeltje zich bevindt op de zeven tijdstippen volgens het tweede paar bewegingsformules.

Wat is het verschil tussen de eerste en de tweede beweging?

Gegeven is de beweging ${\begin{cases} x = m + r cos (ω t) \\ y = n + r sin (ω t) \end{cases}$ , $r > 0$ .
De baan is een cirkel met straal $r$ en middelpunt $(m, n)$ . De hoeksnelheid is $| ω |$ rad/s. Het startpunt ligt helemaal rechts op de cirkel (is dus het punt met de grootste $x$ -coördinaat).
Als $ω > 0$ , gaat de beweging tegen de klok in; als $ω < 0$ , gaat de beweging met de klok mee.

De beweging ${\begin{cases} x = m + r cos (ω (t - t_{0})) \\ y = n + r sin (ω (t - t_{0})) \end{cases}$ loopt $t_{0}$ seconden achter op de eerste beweging.

Een kogeltje beweegt met de klok mee over de cirkel met straal $2$ en middelpunt $(0,2)$ . Het maakt rondjes van $6$ seconden. Zijn startpunt (de plaats waar het zich op $t = 0$ bevindt) is: $O (0,0)$ .

Bepaal de bij de beweging horende parameters $m$ , $n$ , $r$ , $ω$ , en $t_{0}$ . Controleer met de GR.

Er zijn meer mogelijkheden om $t_{0}$ te kiezen.

Wat kun je daarover opmerken met betrekking tot de waarde van $t_{0}$ die jij gekozen hebt?

In het hoofdstuk Goniometrie uit 5vb hebben we als algemene formule van de cirkelbeweging gegeven: ${\begin{matrix} x = m + r cos (ω t + φ) \\ y = n + r sin (ω t + φ) \end{matrix}$ .
Een van de mogelijke antwoorden op vraag a is: ${\begin{matrix} x = 0 + 2 cos (‐ \frac{1}{3} π (t + 1 \frac{1}{2})) \\ y = 2 + 2 sin (‐ \frac{1}{3} π (t + 1 \frac{1}{2})) \end{matrix}$ .

Wat is $φ$ bij dat antwoord op vraag a?
Controleer je antwoord door $‐ \frac{1}{3} π (t + 1 \frac{1}{2})$ zonder haakjes te schrijven.

Een kogeltje draait tegen de klok in over de cirkel met straal $2$ en middelpunt $M (1,2)$ . De snijpunten van de cirkel met de $y$ -as noemen we $P$ en $Q$ ; $P$ ligt boven $Q$ .

Bereken hoek $P M Q$ en de coördinaten van $P$ en $Q$ exact.

Op $t = 0$ is het kogeltje in $S (3,2)$ en op $t = 4$ voor de eerste keer in $P$ .

Wat is de periode van de beweging?

Bereken de hoeksnelheid van het kogeltje.

Een tweede kogeltje heeft dezelfde periode als het eerste, maar het startpunt is $P$ . Je kunt de volgende parametervoorstelling van de beweging van het tweede kogeltje geven: ${\begin{cases} x = m + r cos (ω (t - t_{0})) \\ y = n + r sin (ω (t - t_{0})) \end{cases}$ .

Geef $m$ , $n$ , $r$ , $ω$ en $t_{0}$ . Er zijn meer mogelijkheden.

We beperken ons nu tot de hoogte $h$ van het eerste kogeltje. Er geldt: $h (t) = 2 + 2 \sin (\frac{2 π}{12} t)$ .

Schets de grafiek van $h$ als functie van $t$ op een tijdsinterval van twee periodes, te beginnen bij $t = 0$ . Controleer je tekening met de GR.

Het tweede kogeltje loopt $4$ seconden voor op het eerste kogeltje, zo je wilt: $8$ seconden achter. De hoogte van het tweede kogeltje op tijdstip $t$ is $k (t)$ .

Teken in dezelfde figuur als bij vraag e de grafiek van $k$ als functie van $t$ .

Hoe ontstaat de grafiek van $k$ uit die van $h$ ? Geef een formule van $k (t)$ .

Een kogeltje draait gelijkmatig over een cirkel. De grafiek van de hoogte van het kogeltje als functie van de tijd, heet een sinusoïde.

Een kogeltje draait gelijkmatig (in de natuurkunde heet dat eenparig) over een cirkel.

Geef het verband tussen de periode $p$ en de hoeksnelheid $| ω |$ .

Een kogeltje draait gelijkmatig (eenparig) over een cirkel met periode $p$ en hoeksnelheid $ω$ .
Dan $| ω | \cdot p = 2 π$ .

Hieronder zie je de grafieken van de functies $f$ en $g$ . Het zijn sinusoïden.

We bekijken eerst de grafiek van $f$ . De eerste top rechts van de verticale as is $(\frac{3}{4},1)$ en de tweede top (in dit geval een laagste punt) is $(2 \frac{1}{4}, ‐ 3)$ .

Wat is de gemiddelde hoogte van $f (t)$ ?

De gemiddelde hoogte is in de grafiek gekleurd. Die noemen we de evenwichtswaarde of evenwichtsstand van de sinusoïde.

Wat is de maximale afwijking van de evenwichtswaarde?
Dat noemen we de amplitude.

Bepaal de periode van $f$ .

Je kunt $f (t)$ zien als de hoogte van een kogeltje dat over een cirkel draait in een assenstelsel.

Wat is de bijbehorende hoeksnelheid, en wat zijn de straal en de hoogte van het middelpunt van de cirkel?

Het kogeltje is op het startmoment $t = 0$ helemaal rechts op de cirkel.

Hoe valt dat uit de grafiek van $f$ op te maken?

Geef een formule voor $f (t)$ .
Controleer de formule met de GR.

De grafiek van $g$ heeft dezelfde periode, amplitude en evenwichtswaarde als $f$ , maar loopt $1$ tijdseenheid achter op $f$ .

Geef een formule voor $g (t)$ .
Controleer de formule met de GR.

Verklaar dat ook $g (t) = ‐ 1 + 2 \cdot \sin (\frac{2 π}{3} (t - 100))$ een goede formule is.

De slinger van een wandklok maakt een regelmatige beweging. $u (t)$ is de uitwijking van de slinger op tijdstip $t$ ( $u$ in centimeter en $t$ in seconde.) De maximale uitwijking is $5$ cm, de slingertijd is $4$ seconde (zo lang duurt één keer heen en weer). We rekenen de uitwijking naar rechts positief, naar links negatief. Neem aan dat de slinger op $t = 0$ door het laagste punt naar rechts gaat. De tijd-uitwijking-grafiek is (nagenoeg) een sinusoïde.

Teken de grafiek.

Geef een formule voor $u (t)$ .

Wanneer gedurende de eerste seconde is de uitwijking $1$ cm naar rechts, in drie decimalen nauwkeurig? En wanneer gedurende de tweede seconde?

Wat is het aantal periodes per seconde?

Het aantal periodes van een sinusoïde per seconde noemen we de frequentie van de sinusoïde.
Als $p$ de periode is en $f$ de frequentie, dan geldt:
$p \cdot f = 1$ .
De frequentie wordt uitgedrukt in Hz (hertz)

De wisselspanning op een stopcontact heeft een frequentie van $50$ Hz (hertz). De spanning is een sinusoïde met een frequentie van $50$ periodes (trillingen) per seconde.

Opmerking:

Sinusoïden komen in de natuurkunde vaak voor, bijvoorbeeld bij

een stemvork,
de spanning opgewekt door een dynamo als functie van de tijd (dus ook de spanning op het elektriciteitsnet),
de uitwijking van een slingerbeweging.

Hieronder staan twee sinusoïden ( $f (1) = 1,5$ ).

Geef van elk een formule. Controleer je antwoorden met de GR.

De verkeersdrempel in de figuur hoort bij een maximumsnelheid van $30$ km/uur en beslaat precies één periode van een sinusoïde. Deze drempel is exact $4$ meter lang en $12$ cm hoog.
Het bijbehorende sinusmodel is
$h = 0,06 + 0,06 \cdot \sin (\frac{1}{2} π x - \frac{1}{2} π)$ ( $x$ en $h$ in meter).

Een verkeersdrempel die behoort bij een maximumsnelheid van $60$ km/uur is exact $12$ meter lang en $14$ cm hoog.

Bereken algebraïsch in cm nauwkeurig over welke horizontale afstand deze verkeersdrempel meer dan $10$ cm hoog is.

$K$ is de kromme met parametervoorstelling: ${\begin{cases} x = 5 cos (t) \\ y = 10 sin (t) \end{cases}$ .
De pv ontstaat door een horizontale vermenigvuldiging met $5$ en een verticale vermenigvuldiging van $10$ van de standaard-cirkelbeweging.

Geef een vergelijking van de baan.

Controleer dat $(x, y) = (5 \cos (t),10 \sin (t))$ aan de gegeven vergelijking voldoet voor alle waarden van $t$ .

Het punt $(3,8)$ op $K$ is het beeld van $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ op de eenheidscirkel.

Geef een richtingsvector van de raaklijn in dat punt aan de eenheidscirkel.

Geef een vergelijking van de raaklijn in $(3,8)$ aan $K$ .

Herhaling
Een kogeltje is op tijdstip $t$ in $(x (t), y (t))$ .
De snelheisdsvector waarmee het kogeltje beweegt is dan $(\begin{array}{l} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array})$ en de grootte van zijn snelheid is $\sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}}$ .

Een kogeltje maakt de beweging geparametriseerd door: ${\begin{cases} x = cos (t) \\ y = {sin}^{2} (t) \end{cases}$ . We nemen $0 \leq t \leq 2 π$ . De bijbehorende baan noemen we $K$ .

Teken de grafiek van $K$ op de GR.

De baan wordt twee keer doorlopen. Het kogeltje keert om.

Wat denk je van de snelheid van het kogeltje in het keerpunt, gegeven het feit dat de beweging vloeiend verloopt?
Controleer je bewering met een berekening.

$K$ lijkt een deel van de parabool met top $(0,1)$ die door $(1,0)$ gaat.

Stel een vergelijking van die parabool op.

Controleer of $(\cos (t), \sin^{2} (t))$ aan de vergelijking voldoet.

In vraag d heb je bewezen dat alle punten van $K$ op de parabool met vergelijking $y = 1 - x^{2}$ liggen.
$K$ is een (echt) deel van de parabool $y = 1 - x^{2}$ .

Hoe kun je dat zien aan de parametervoorstelling van $K$ ?

$(x (2 π - t), y (2 π - t)) = (x (t), y (t))$ .

Laat dat zien. Wat betekent dat voor de baan?

Er geldt: $(x (π - t), y (π - t)) = (‐ x (t), y (t))$

Laat dat zien. Wat betekent dat voor de baan?

$K$ is de kromme met parametervoorstelling: ${\begin{cases} x = cos (t) - sin (t) \\ y = cos (t) + sin(t) \end{cases}$ .

Geef de exacte coördinaten van het startpunt (het punt op $t = 0$ ).

Vergelijk de punten van $K$ op tegengestelde tijdstippen.

Wat kun je daarover zeggen en wat betekent het voor de kromme $K$ ?

Teken $K$ op de GR.

Het lijkt erop dat K een cirkel is met middelpunt O. Dat dit zo is, zullen we in de volgende onderdelen bewijzen. De straal moet een getal tussen $1$ en $2$ zijn. (Waarom eigenlijk?)

Bereken de straal exact met behulp van het startpunt.

Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt $O$ en straal $\sqrt{2}$ .

Controleer of $(\cos (t) - \sin (t), \cos (t) + \sin (t))$ aan de vergelijking uit e voldoet.

Je kunt de beweging ook parametriseren met behulp van ${\begin{cases} x = m + r cos (ω (t - t_{0})) \\ y = n + r sin (ω (t - t_{0})) \end{cases}$ .

Wat kun je dan voor $m$ , $n$ , $r$ , $ω$ en $t_{0}$ nemen?

Blijkbaar geldt: $\sqrt{2} \cdot \cos (t + \frac{1}{4} π) = \cos (t) - \sin (t)$
en: $\sqrt{2} \cdot \sin (t + \frac{1}{4} π) = \cos (t) + \sin (t)$ .

Bewijs dit.

$K$ is de kromme met parametervoorstelling: ${\begin{cases} x = cos (t) \cdot sin (t) \\ y = {cos}^{2} (t) - {sin}^{2} (t) \end{cases}$ .

Teken $K$ op de GR, je krijgt een ellips.
Geef een vergelijking van de ellips.

Laat zien dat de punten $(cos (t) \cdot sin (t), {cos}^{2} (t) - {sin}^{2} (t))$ aan de vergelijking van de ellips voldoen.

(hint)

Je krijgt:

{({cos}^{2} (t) + {sin}^{2} (t))}^{2} = 1

$K$ is de kromme met parametervoorstelling:
${\begin{cases} x = cos (t) + sin (t) \\ y = 1 + sin (2 t) \end{cases}$ .

Teken $K$ op de GR. Bewijs dat je een deel van de parabool $y = x^{2}$ krijgt.

Op welke tijdstippen $t$ is de snelheid $0$ ? Geef een exacte berekening.

$K$ is de kromme met parametervoorstelling: ${\begin{matrix} x = cos (2 t) \\ y = {sin}^{2} (t) \end{matrix}$ .
We nemen $0 \leq t \leq 2 π$ .

Teken $K$ op de GR.

Je krijgt een lijnstuk dat heen en terug doorlopen wordt.

Geef een vergelijking van de lijn waarvan dat lijnstuk deel uit maakt.

Welke zijn de eindpunten van dat lijnstuk. Bereken ook exact op welke tijdstippen $t$ de eindpunten van het lijnstuk bereikt worden.