1

Gegeven is de beweging $(x (t), y (t)) = (t^{2} - 2 t, t^{2} + 2 t)$
Hieronder staat de baan. Die is symmetrisch in de lijn $y = x$ .

a

Hoe kun je dit aan de bewegingsvergelijkingen zien?

In het punt $A$ is de raaklijn horizontaal.

b

Bereken de coördinaten van $A$ .

Het tijdstip $t$ waarop een punt $(x, y)$ van de baan bereikt wordt is $t = \frac{1}{4} (y - x)$ .

c

Laat dat zien.

d

(x, y)

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van de raaklijn in het punt $(15,35)$ aan de baan.

Door substitutie van $t = \frac{1}{4} (y - x)$ in $x = t^{2} - 2 t$ vind je een vergelijking van de baan.

e

Geef een vergelijking van de baan.

2

Het punt $P$ is op tijdstip $t$ in $(x (t), y (t)) = (t^{2} - 4,2 t)$ .

a

Ga na dat $x (‐ t) = x (t)$ en $y (t) = ‐ y (t)$ .
Wat betekent dit voor de baan?

b

Ga na dat de afstand van $P$ tot $O$ gelijk is aan: $\sqrt{t^{4} - 4 t^{2} + 16}$ .

Er zijn twee punten van de baan die minimale afstand tot $O$ hebben.

c

Bereken de coördinaten van die punten exact.

Het punt uit onderdeel c dat boven de $x$ -as ligt, noemen we $A$ .

d

Laat zien dat de snelheidsvector in $A$ loodrecht op lijn $O A$ staat.

3

De bewegingsvergelijkingen van $P$ en $Q$ zijn respectievelijk:
${\begin{cases} x = t - 3 \\ y = \frac{1}{2} t - 1 \frac{1}{2} \end{cases}$ en ${\begin{cases} x = t + 3 \\ y = \frac{1}{4} t^{2} - 2 \frac{1}{4} \end{cases}$ .

a

Teken de baan van $P$ en van $Q$ .

b

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de twee banen.

(hint)

Geef van één van de banen een vergelijking.

c

Bereken exact de minimale afstand van de punten $P$ en $Q$ .

d

Geef bewegingsvergelijkingen van een punt $R$ dat dezelfde baan als $P$ doorloopt, waarbij de minimale afstand van $Q$ en $R$ nul is.

4

Hieronder is een deel van de baan getekend die het punt $P$ aflegt met bewegingsvergelijkingen
${\begin{cases} x = {1,2}^{t} \cdot \cos (t) \\ y = {1,2}^{t} \cdot \sin (t) \end{cases}$ , met $t \geq 0$ .

Het punt van de baan dat het dichtst bij $O (0,0)$ ligt is $(1,0)$ .

a

Welke waarde van $t$ hoort hierbij?

Op de aangegeven plaats $X$ op de spiraal maakt de lijn $O X$ een hoek van $30 °$ met de $x$ -as.

b

Op welk tijdstip wordt die plaats bereikt?

c

Bereken de snelheidsvector op tijdstip $t$ .

We ontbinden de snelheidsvector in elk punt $Q$ van de spiraal in een component langs lijn $O Q$ en een component daar loodrecht op.

d

Toon aan dat de verhouding van de lengtes van die twee componenten niet van $Q$ afhangt.

5

Een draad wordt van een klosje gehaald. De draad wordt steeds strak gehouden. We bekijken de baan die het eindpunt $P$ van de draad beschrijft. Die hebben we eerder in het hoofdstuk Bewegen bekeken. We hebben gezien dat de bewegingsvergelijkingen van $P$ zijn: ${\begin{cases} x = \cos (t) + t \sin (t) \\ y = \sin (t) - t \cos (t) \end{cases}$ , met $t \geq 0$ .

a

Bepaal de snelheidsvector met differentiëren.

b

Toon aan dat de snelheid van het punt $P$ op tijdstip $t$ gelijk is aan $t$ .

In de figuur hieronder is het punt $P$ op een zeker tijdstip getekend.

c

Leg uit hoe je de snelheidsvector van $P$ op dat tijdstip kunt construeren.

6

$A$ is het punt $(0,5)$ .
Het punt $T$ beweegt over de $x$ -as en is op tijdstip $t$ in $(t,0)$ . De verticale lijn door $T$ beweegt mee. $P$ is het punt van die verticale lijn zo dat hoek $P A T$ recht is.

a

Teken enkele punten $P$ door met een geodriehoek te schuiven.

b

Schets de baan van $P$ .

In het hoofdstuk Meetkunde en algebra heb je het volgende gezien.
In een rechthoekige driehoek verdeelt het hoogtelijnstuk van lengte $h$ de schuine zijde in stukken van lengte $p$ en $q$ , zó dat $h^{2} = p \cdot q$ .

c

Geef met behulp hiervan een vergelijking van de baan van $P$ .

Je krijgt dus een parabool.

d

Bepaal langs algebraïsche weg de coördinaten van de top van de parabool.

7

In de figuur zie je in een zijaanzicht hoe een garagedeur geopend wordt.

De deuropening is het lijnstuk $O N$ ; de deur is het lijnstuk $D E$ . Als de deur dicht is, vallen $O N$ en $D E$ samen. De bovenkant $D$ van de deur loopt over een horizontale rail. Het midden $M$ van de deur is met een staaf in $O$ bevestigd; in $O$ en $M$ zit die staaf vast met scharnieren.
Omdat $O M$ steeds dezelfde lengte heeft, loopt de onderkant $E$ van de deur over lijnstuk $O N$ .

a

Waarom is dat zo?

figuur 1

figuur 2

In het volgende bekijken we een ander geval. (Voor het gemak hebben we de tekening een halve slag gedraaid.)

$D E$ is een staaf van lengte $3$ , met daarop punt $P$ op afstand $2$ van $D$ . Punt $D$ beweegt over een rail $r$ . $P$ zit via een staaf van lengte $2$ vast aan een punt $O$ op de rail; in $O$ en $P$ zitten scharnieren, zie figuur 1.
In onderdeel a hebben we gezien: als $O P = D P = E P = 1 \frac{1}{2}$ , dan loopt $E$ over de lijn door $O$ loodrecht op $r$ .

b

Teken de baan van $E$ in Geogebra via een meetkundige constructie. Licht je werkwijze toe.

In figuur 2 hiernaast zie je het resultaat.
We kiezen een assenstelsel: $r$ is de $x$ -as; de $y$ -as gaat door $O$ . Noem de eerste coördinaat van $D$ : $t$ .

c

Laat zien dat een pv van de baan van $E$ is: ${\begin{cases} x = \frac{1}{4} t \\ y = 1 \frac{1}{2} \sqrt{4 - \frac{1}{4} t^{2}} \end{cases}$ .

(hint)

Projecteer

E

en

P

op de

x

-as. Noem de projecties

F

en

Q

.
Gebruik vervolgens gelijkvormigheid.

Het lijkt erop dat de baan een ellips is met halfassen $1$ en $3$ .

d

Geef een vergelijking van de ellips met middelpunt $O$ en halfassen $1$ en $3$ .

e

Laat zien dat de punten van de baan inderdaad aan deze vergelijking voldoen.

8

Hieronder staat de figuur met vergelijking $\sqrt{x} + \sqrt{y} = x + y$ .

Hoe ontstaat hieruit de figuur met vergelijking:

$\sqrt{2 x} + \sqrt{y} = 2 x + y$
$\sqrt{x} + \sqrt{‐ y} = x - y$
$\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3} = x - y - 5$

9

In de figuur hiernaast heeft lijnstuk $A B$ lengte $2$ . $A$ beweegt over de $x$ -as en $B$ beweegt mee over de $y$ -as. Neem aan dat $A$ op tijdstip $t$ in $(t,0)$ is.

a

Stel bewegingsvergelijkingen op van het zwaartepunt $Z$ van driehoek $O A B$ .

(hint)

In een driehoek verdeelt het zwaartepunt de zwaartelijnen in een verhouding .....

b

Teken de baan van $Z$ .

Zo te zien doorloopt $Z$ een deel van een cirkel.

c

Geef een vergelijking van die cirkel.

d

Laat zien dat de coördinaten van $Z$ aan de vergelijking voldoen.

10

De deltoïde heeft bewegingsvergelijkingen: ${\begin{cases} x (t) = 2 \cos (t) + \cos (2 t) \\ y (t) = 2 \sin (t) - \sin (2 t) \end{cases}$ .

a

Waarom geldt: $x (‐ t) = x (t)$ voor alle waarden van $t$ ?

b

Wat is het verband tussen $y (‐ t)$ en $y (t)$ ?

c

Wat betekent dit voor de baan?

d

Toon aan dat de snelheidsvector grootte $\sqrt{8 - 8 \cos (3 t)}$ heeft.

In de punten $P$ , $Q$ en $R$ is de snelheid $0$ .

e

Bereken op welke tijdstippen tussen $0$ en $2 π$ die punten bereikt worden.

11

De Quadratrix van Hippias
Gegeven is een vierkant $O A B C$ met zijden $10$ , waarin de cirkelboog $A C$ getekend is met middelpunt $O$ .
We laten de horizontale lijn $O A$ met constante snelheid $1$ naar boven bewegen. Tegelijkertijd laten we een punt $P$ over de cirkelboog van $A$ naar $C$ bewegen, met constante snelheid $\frac{1}{2} π$ .
We bekijken het snijpunt $S$ van de horizontale lijn en de straal $O P$ .
In de figuur is de situatie getekend op tijdstip $3$ .

a

Leg uit dat de horizontale lijn en punt $P$ tegelijk in $C$ arriveren.

b

Neem de figuur over. Teken de punten $S$ op de tijdstippen $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ .
Teken vervolgens een vloeiende kromme door de punten $S$ .

c

Hoe groot is hoek $A O P$ op tijdstip $t$ in radialen?

d

Druk de coördinaten van $S$ uit in $t$ .

De vloeiende kromme is de zogenaamde Quadratrix van Hippias, genoemd naar de Griek Hippias (ca 450 – ca 400 v. Chr.)
Waarom is deze kromme interessant? Je kunt hiermee de trisectie van een hoek uitvoeren. Daarover gaat het volgende.

e

Kun je een hoek “met passer en liniaal” (de liniaal zonder schaalverdeling) in twee gelijke delen verdelen?

Het is onmogelijk een willekeurige hoek “met passer en liniaal” in drie gelijke delen te verdelen. Dat wisten de oude Grieken niet; zij hebben een constructie met passer en liniaal proberen te verzinnen. Met een geodriehoek is het natuurlijk eenvoudig de trisectie van een willekeurige hoek uit te voeren: je meet de hoek maar op, deelt het aantal graden door $3$ en tekent de hoek met dat aantal graden.
De Griek Hippias zou de kromme uit vraag b verzonnen hebben om de trisectie uit te voeren.

f

Bedenk hoe de kromme gebruikt kan worden om de trisectie van een scherpe hoek uit te voeren.

g

Kun je met de Quadratrix ook een scherpe hoek in bijvoorbeeld vijf gelijke delen verdelen?