-

De hoogste punten krijg je als $\sin (2t)=1\iff t=\frac{1}{4}\text{π},1\frac{1}{4}\text{π}$, de coördinaten van die punten zijn: $\left(5\sqrt{2}\mathrm{,5}\right)$ en $\left(\mathrm{‐}5\sqrt{2}\mathrm{,5}\right)$.
De laagste punten krijg je als $\sin (2t)=\mathrm{‐}1\iff t=\frac{3}{4}\text{π},1\frac{3}{4}\text{π}$, de coördinaten van die punten zijn: $(\mathrm{‐}5\sqrt{2},\mathrm{‐}5)$ en $(5\sqrt{2},\mathrm{‐}5)$.
De verticale component van de snelheidsvector is $0$.

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}10\sin (t)\\ 10\cos (2t)\end{array}\right)$

De verticale component van de snelheidsvector is $0$.

Het meest rechtste punt krijg je als $\cos$, dus als $t=0$, de coördinaten van dat punt zijn: $(\mathrm{10,0})$.
Het meest linkse punt krijg je als $\cos$, dus $t=\text{π}$, de coördinaten van dat punt zijn: $(\mathrm{‐}\mathrm{10,0})$.
De horizontale component van de snelheidsvector is $0$.

Dan geldt: $\cos (t)=\sin (2t)=0$, dus $t=\frac{1}{2}\text{π}$ of $t=1\frac{1}{2}\text{π}$. De snelheidsvector heeft dan lengte $10\sqrt{2}$.

De amplitude van $x=2$ en van $y=1$.

Zie figuur op de volgende bladzijde.

figuur bij opgave 49

$x(t)=2\cdot \cos (t)$ en $y(t)=\sin (3t)$.

-

De $y$-coördinaat is $5$ keer maximaal en $5$ keer minimaal op $[\mathrm{0,2}\text{π}]$, dus $5$ periodes op $[\mathrm{0,2}\text{π}]$.
De $x$-coördinaat is $4$ keer maximaal en $4$ keer minimaal op $[\mathrm{0,2}\text{π}]$, dus $4$ periodes op $[\mathrm{0,2}\text{π}]$.

$(x,y)=(\sin (4t),\sin (5t))$

-

$\cos (t)=\mathrm{0,7}\iff t=\pm \mathrm{0,80}+k\cdot 2\text{π}$
Als $t=\mathrm{0,80}$, krijg je $\sin (2t)=\mathrm{1,00}$ en als $t=2\text{π}-\mathrm{0,80}$ dan vind je $\sin (2t)=\mathrm{‐}\mathrm{1,00}$, dus de punten zijn: $(\mathrm{1,00};\mathrm{0,7})$ en $(\mathrm{‐}\mathrm{1,00};\mathrm{0,7})$.

$\sin (2t)=\mathrm{0,7}\iff 2t=\mathrm{0,78}+k\cdot 2\text{π}\text{ of }2t=\text{π}-\mathrm{0,78}+k\cdot 2\text{π}$.
Je vindt zo de punten: $(\mathrm{0,7};\mathrm{0,93}),(\mathrm{0,7};\mathrm{‐}\mathrm{0,93}),(\mathrm{0,7};\mathrm{0,38}),(\mathrm{0,7};\mathrm{‐}\mathrm{0,38})$.

Omdat een vergelijking van de vorm $\sin (t)=a$ of $\cos (t)=a$ meer dan één oplossing heeft op $[\mathrm{0,2}\text{π}]$. Die oplossingen hebben bij gelijke waarde van de sinus, verschillende waarden voor de cosinus en omgekeerd.

De snelheidsvector is $\left(\begin{array}{c}2\cos \left(2t\right)\\ \mathrm{‐}\sin \left(t\right)\end{array}\right)$. Het bewegend punt is in $(\mathrm{0,0})$ als
$t=\pm \frac{1}{2}\text{π}+k\cdot 2\text{π}$. De snelheidsvectoren zijn dan $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ \mathrm{‐1}\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ 1\end{array}\right)$. Na verticale vermenigvuldiging met $a$, krijg je de vectoren $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ \mathrm{‐}a\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}\mathrm{‐}2\\ a\end{array}\right)$. Deze vectoren moeten inproduct $0$ hebben, dus $a=\pm 2$.

Als $q=2$, gaat het bewegende punt door $(\mathrm{0,}\mathrm{‐}\frac{1}{2})$ voor $t=\frac{2}{3}\text{π}$ en $t=1\frac{1}{3}\text{π}$. De snelheidsvector op tijdstip $t$ is: $\left(\begin{array}{c}3\cos (3t)\\ \mathrm{‐}2\sin (2t)\end{array}\right)$. Op die tijdstippen is de snelheidsvector $\left(\begin{array}{c}3\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}3\\ \mathrm{‐}\sqrt{3}\end{array}\right)$.
De gevraagde hoek noemen we α, dan $\cos \left(\text{α}\right)=\frac{3\cdot 3-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{12}=\frac{1}{2}$, dus de hoek is $60°$.

$\left(\begin{array}{c}p\cos (pt)\\ \mathrm{‐}q\sin (qt)\end{array}\right)$ en als $t=0$, dan is $\sin (qt)=0$ en $\cos (pt)=1$.
De grootte is $p$.

Dan moeten de snelheden in de $x$- en de $y$-richting $0$ zijn, dus $\cos (3t)=0$ én $\sin (4t)=0$.
Dus $t=\frac{1}{6}\text{π}+k\cdot \frac{1}{3}\text{π}$ én $t=m\cdot \frac{1}{4}\text{π}$ voor zekere gehele waarden van $k$ en $m$. Dus $t=\frac{1}{2}\text{π}$ of $t=1\frac{1}{2}\text{π}$.

De snelheid in de $x$-richting is $0$ als $\cos (t)=0$, dus als $t=\frac{1}{2}\text{π}$ of $t=1\frac{1}{2}\text{π}$, maar $\sin (3\cdot \frac{1}{2}\text{π})=\mathrm{‐}1$ en $\sin (3\cdot 1\frac{1}{2}\text{π})=1$.

In punten waar de kromme niet vloeiend gesloten is, daar keert het punt om. Daar is de snelheid dus $0$.

-

$x=0\iff t=\frac{1}{2}\text{π}+k\cdot \text{π}$ en $\cos (q(\frac{1}{2}\text{π}+k\cdot \text{π}))=0$ als $q$ oneven is en anders $\cos (q(\frac{1}{2}\text{π}+k\cdot \text{π}))=\pm 1$.

Als $\mathrm{‐}1<x<1$, dan $\cos$ voor precies twee waarden van $t$ tussen $0$ en $2\text{π}$.
Als de een zeg maar $\text{α}$ is, dan is de ander $2\text{π}-\text{α}$ en $\cos$ en dat is dezelfde $y$-waarde als bij $t$.

$y=\cos (2t)=2{\cos }^2(t)-1=2x^2-1$, dus de functie is: $x\to 2x^2-1$.